金融工程学习题集.docx

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课程建设项目成果

金融工程学习题

第二章

一、判断题

1、市场风险可以通过多样化来消除。

（×）

2、与n个未来状态相对应，若市场存在n个收益线性无关的资产，则市场具有完全性。

（√）

3、根据风险中性定价原理，某项资产当前时刻的价值等于根据其未来风险中性概率计算的期望值。

（×）

4、如果套利组合含有衍生产品，则组合中通常包含对应的基础资产。

（√）

5、在套期保值中，若保值工具与保值对象的价格负相关，则一般可利用相反的头寸进行套期保值。

（×）

二、单选题

1、下列哪项不属于未来确定现金流和未来浮动现金流之间的现金流交换？

（B）

A、利率互换 B、股票

C、远期 D、期货

2、关于套利组合的特征，下列说法错误的是（A）。

A.套利组合中通常只包含风险资产

B.套利组合中任何资产的购买都是通过其他资产的卖空来融资

C.若套利组合含有衍生产品，则组合通常包含对应的基础资产

D．套利组合是无风险的

3、买入一单位远期，且买入一单位看跌期权（标的资产相同、到期日相同）等同于（C）

A、卖出一单位看涨期权 B、买入标的资产

C、买入一单位看涨期权 D、卖出标的资产

4、假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。

假设现在的无风险年利率等于10%，该股票3个月期的欧式看涨期权协议价格为10.5元。

则（D）

A. 一单位股票多头与4单位该看涨期权空头构成了无风险组合

B. 一单位该看涨期权空头与0.25单位股票多头构成了无风险组合

C. 当前市值为9的无风险证券多头和4单位该看涨期权多头复制了该股票多头

D．以上说法都对

三、名词解释

1、套利

答：

套利是在某项金融资产的交易过程中，交易者可以在不需要期初投资支出的条件下获取无风险报酬。

2、阿罗-德不鲁证券

答：

阿罗-德不鲁证券指的是在特定的状态发生时回报为1，否则回报为0的资产。

3、等价鞅测度

答：

资产价格是一个随机过程，假定资产价格的实际概率分布为，若存在另一种概率分布使得以计算的未来期望风险价格经无风险利率贴现后的价格序列是一个鞅，即，则称为的等价鞅测度。

四、计算题

1、每季度计一次复利的年利率为14%，请计算与之等价的每年计一次复利的年利率和连续复利年利率。

解：

利用复利计算公式：

，

每年计一次复利的年利率=（1+0.14/4）4-1=14.75%

连续复利年利率=4ln（1+0.14/4）=13.76%。

2、一只股票现在价格是40元，该股票一个月后价格将是42元或者38元。

假如无风险利率是8%，分别利用无风险套利方法、风险中性定价法以及状态价格定价法计算执行价格为39元的一个月期欧式看涨期权的价值。

解：

无风险套利方法：

考虑这样的证券组合：

购买一个看涨期权并卖出Δ股股票。

如果股票价格上涨到42元，组合价值是42Δ-3；如果股票价格下降到38元，组合价值是38Δ。

若两者相等，则42Δ-3=38Δ，Δ=075。

可以算出一个月后无论股票价格是多少，组合的价值都是28.5，今天的价值一定是28.5的现值，即28.31=28.5 e-0.08×0.08333。

即-f+40Δ=28.31，f是看涨期权价格。

f=1.69。

风险中性定价法：

按照风险中性的原则，我们首先计算风险中性条件下股票价格向上变动的概率p,它满足等式：

42p+38（1-p）=40 e0.08×0.08333,p=0.5669,期权的价值是：

f=（3×0.5669+0×0.4331）e-0.08×0.08333=1.69

状态价格定价法：

d=38/40=0.95，u=42/40=1.05，从而上升和下降两个状态的状态价格分别为：

，

从而期权的价值f =0.5631×3+0.4302×0=1.69

3、一只股票现在价格是100元。

有连续两个时间步，每个步长6个月，每个单步二叉树预期上涨10%，或下跌10%，无风险利率8%（连续复利），求执行价格为100元的看涨期权的价值。

解：

按照本章的符号，u=1.1,d=0.9,r=0.08,所以p=（e0.08×0.5-0.9）/（1.1-0.9）=0.7041。

这里p是风险中性概率。

该股票和以该股票为标的资产的期权的价格变化如下图

从而C2=0,C1=（0.7041*21+0.2959*0）×e-0.08×0.5=14.21

期权的价值C=（0.7041*C1+0.2959*C2）×e-0.08×0.5=9.61

第三章

一、判断题

1、远期利率协议是针对多时期利率风险的保值工具。

（×）

2、买入一份短期利率期货合约相当于存入一笔固定利率的定期存款。

（√）

3、远期利率协议到期时，多头以实现规定好的利率从空头处借款。

（×）

二、单选题

1、远期合约的多头是（A）

A.合约的买方 B.合约的卖方 C. 交割资产的人 D 经纪人

2、在“1×4FRA”中，合同期的时间长度是（C）。

A.1个月 B.4个月 C.3个月 D5个月

3、假设6个月期利率是9％，12个月期利率是10％，18个月期利率为12%，则6×12FRA的定价的理论价格为（D）

A.12%B.10%C.10.5% D11%

三、名词解释

1、FRA

答：

买卖双方同意从未来某一商定的时期开始在某一特定时期内按协议利率借贷一笔数额确定、以具体货币表示的名义本金的协议。

2、SAFE

答：

双方约定买方在结算日按照合同中规定的结算日直接远期汇率用第二货币向卖方买入一定名义金额的原货币，然后在到期日再按合同中规定的到期日直接远期汇率把一定名义金额原货币出售给卖方的协议。

四、计算题

1、某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票目前市价等于30，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，请问：

 该远期价格等于多少？

若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始值等于多少？

 3个月后，该股票价格涨到35元，无风险利率仍为6%，此时远期价格和该合约空头价值等于多少？

答：

（1）2个月和5个月后派发的1元股息的现值=e-0.06 2/12+e-0.06 5/12=1.96元。

远期价格=（30-1.96）e0.06 0.5=28.89元

若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价格为0。

（2）3个月后的2个月派发的1元股息的现值=e-0.06 2/12=0.99元。

远期价格=（35-0.99）e0.06 3/12=34.52元

此时空头远期合约价值=（28.89-34.52）e-0.06 3/12=-5.55元。

2、假设目前白银价格为每盎司80元，储存成本为每盎司每年2元，每3个月初预付一次，所有期限的无风险连续复利率均为5%，求9个月后交割的白银远期的价格。

答：

9个月储藏成本的现值=0.5+0.5e-0.05 3/12+0.5e-0.05 6/12=1.48元。

白银远期价格=（80+1.48）e0.05 9/12=84.59元。

3、1992年11月18日（交易日），一家德国公司预计在1993年5月份需要500万德国马克资金，由于担心未来利率上升，于是当天签订了一份名义本金为500万德国马克的FRA，合约利率为7.23%，合约期限为186天。

在确定日1993年5月18日，德国马克的LIBOR固定在7.63%的水平上。

假定公司能以7%的利率水平投资。

在1993年5月18日，公司可以按当时的市场利率加上30个基本点借入500万德国马克，这一协议是结算日1993年5月20日签订的，并于186天后在最终结算日11月22日进行偿付。

计算净借款成本及相应的实际借款利率。

解：

1993年5月20日收到的结算总额为：

（参考利率－合同利率）×合同金额×（合同期限/天数基数）/（1+参考利率×（合同期限/天数基数））

（0.0763－0.0723）×5000000×（186/360）/[1+0.0763×186/360]＝9941.43

在最后到期日的具体现金流量为：

359.55=9941.43×7%×186/360投资收益

从FRA中获得的总收入：

（9941.43+359.55）=10300.98

以7.93%借入500万马克186天的利息：

204858.33= 5000000×7.93%×186/360

减去FRA收入后的净借款成本194557.35=10300.98－204858.33

与净借款成本相应的实际借款利率7.53% = 194557.35/ 5000000/ （186/360 ）

4、假设6个月期利率是9％，12个月期利率是10％，求：

（1）6×12FRA的定价；

（2）当6个月利率上升1％时，FRA的价格如何变动；

（3）当12个月利率上升1％时，FRA的价格如何变动；

（4）当6个月和12个月利率均上升1％时，FRA的价格如何变动。

答案要点：

由远期利率的计算公式

（1）6×12FRA的定价为11%。

=（10％*12-9％*6）/6

（2）该FRA的价格下降1%。

（3）该FRA的价格上升2%。

（4）该FRA的价格上升1%。

第四章

一、判断题

1、在利率期货交易中，若未来利率上升则期货价格下降。

（√）

2、利率期货的标的资产是利率。

（×）

3、如果不存在基差风险，则方差套期保值比率总为1。

（√）

4、由于在CBOT交易的债券期货合约的面值为10万美元，因此，为了对价值1000万美元的债券资产完全保值，必须持有100份合约。

（×）

5、根据逐日结算制，期货合约潜在的损失只限于每日价格的最大波动幅度。

（√）

二、单选题

1、利用预期利率的上升，一个投资者很可能（A）

A．出售美国中长期国债期货合约 B 在小麦期货中做多头

C 买入标准普尔指数期货和约 D 在美国中长期国债中做多头

2、在芝加哥交易所按2005年10月的期货价格购买一份美国中长期国债期货合约，如果期货价格上升2个基点，到期日你将盈利（损失）（D）乘数1000

A. 损失2000美元 B 损失20美元 C.盈利20美元 D 盈利2000美元

3、在期货交易中，由于每日结算价格的波动而对保证金进行调整的数额称为（C）。

A.初始保证金 B.维持保证金 C.变动保证金 D.以上均不对

5、当一份期货合约在交易所交易时，未平仓合约数会（D）

A. 增加一份 B. 减少一份 C.不变 D.以上都有可能

6、在下列期货合约的交割或结算中，出现“卖方选择权”的是（B）。

A.短期利率期货 B.债券期货 C.股价指数期货 D．每日价格波动限制

三、名词解释

1、转换因子

答：

芝加哥交易所规定，空头方可以选择期限长于15年且在15年内不可赎回的任何国债用于交割。

由于各种债券息票率不同，期限也不同，因此芝加哥交易所规定交割的标准券为期限15年、息票率为6%的国债，其它券种均得按一定的比例折算成标准券。

这个比例称为转换因子。

2、利率期货

答：

利率期货是指标的资产价格依赖于利率水平的期货合约，如长期国债期货、短期国债期货和欧洲美元期货。

四、计算题

1、假设标准普尔500指数现在的点数为1000点，该指数所含股票的红利收益率每年为5%，3个月期的标准普尔指数期货的市价为950点，3个月期无风险连续复利年利率为10%，3个月后指数现货点数为1100点。

请问如何进行套利？

（复利计算）

答：

假定套利金额为1000万美元。

第一步，按各成份股在指数中所占权重卖空成分股；第二步，将卖空成分股所得款项1000万美元按无风险利率贷出3个月；第三步，买入20分3个月期的标准普尔500指数期货；第四步，3个月后收回本金1000万美元，利息收入为：

1000×（e0.1×0.25 -1）=25.32（万美元）；第五步，3个月后按市价买回成分股，平掉股票的空仓，则股票现货亏损（1100-1000）×1000/1000=100[（1000-1100）/1000]×1000（万美元）；第六步，3个月后按指数现货点数1100对期货头寸进行结算，盈利（1100-950）×500×20=1500000（美元）=150（万美元）；第七步，此次套利总盈利：

25.32-100+150=75.32万美元。

2、假设XX年12月15日，某公司投资经理A得知6个月后公司将会有一笔$970,000的资金流入并将用于90天期国库券投资。

已知当前市场上90天期国库券的贴现率为12%，收益曲线呈水平状（即所有的远期利率也均为12%），明年6月份到期的90天国库券期货合约的价格为$970,000。

请说明如何进行套期保值。

解答：

该投资经理预计6个月后的那笔资金$970,000刚好购买一份面值为$1,000,000的90天期国库券。

为了预防6个月后90天期国库券的价格上涨，该投资经理决定买入1份6个月后到期的90天期短期国库券期货合约进行套期保值。

假设到了6月15日，市场上90天期国库券的收益下降为10%，则同样购买1份面值为$1,000,000的90天期国库券需要的资金为$975,000（$975,000=$1,000,000－0.10×$1,000,000×90/360），因此，现货市场上亏损了$5,000。

而此时，原有的国库券期货合约恰好到期，期货的收益率应等于现货的收益率，也为10%，故该期货合约的价格也上涨为$975,000，期货市场上的盈利就为$5,000。

期货市场与现货市场的盈亏恰好可以相抵，有效地达到了保值的目的。

3、假定我们已知某一国债期货合约最合算的交割券是息票利率为14%，转换因子为1.3650的国债，其现货报价为118美元，该国债期货的交割日为270天后。

该交割券上一次付息是在60天前，下一次付息是在122天后，再下一次付息是在305天后，市场任何期限的无风险利率均为年利率10%（连续复利）。

请根据上述条件求出国债期货的理论价格。

解：

首先，可以运用公式求出交割券的现金价格为：

其次，要算出期货有效期内交割券支付利息的现值。

由于期货有效期内只有一次付息，是在122天（0.3342年）后支付7美元的利息，因此利息的现值为：

7e-0.3342 0.1=6.770美元

再次，由于该期货合约的有效期还有270天（即0.7397年）可以运用公式算出交割券期货理论上的现金价格为：

（120.308－7.770） e0.7397 0.1=121.178美元

再其次，要算出交割券期货的理论报价。

由于交割时，交割券还有148天（即270-122天）的累计利息，而该次付息期总天数为183天（即305天－122天）运用公式，可求出交割券期货的理论报价为：

最后，可以求出标准券的期货报价：

4、7月1日，一家服装零售公司看好今年的秋冬季服装市场，向厂家发出大量订单，并准备在9月1日从银行申请贷款以支付货款1000万美元。

7月份利率为9.75%，该公司考虑若9月份利率上升，必然会增加借款成本。

于是，该公司准备用9月份的90天期国库券期货做套期保值。

（a）设计套期保值方式，说明理由；

（b）9月1日申请贷款1000万美元，期限3个月，利率12%，计算利息成本；

（c）7月1日，9月份的90天期国库券期货报价为90.25；9月1日，报价为88.00，计算期货交易损益；

（d）计算该公司贷款实际利率。

答案：

①该公司欲固定未来的借款成本，避免利率上升造成的不利影响，应采用空头套期保值交易方式：

在7月1日卖出9月份的90天期国库券期货，待向银行贷款时，再买进9月份的90天期国库券期货平仓。

期货交易数量为10张合约（每张期货合约面值100万美元）。

②利息成本：

③ 7月1日：

每100美元的期货价值为

f＝100－（100－IMM指数）（90/360）=100－（100－90.25）（90/360）＝97.5625（美元）

每张合约的价值为1000000×97.5625÷100＝975625（美元）

卖出10张期货合约，总价值为10×975625＝9756250（美元）

9月1日：

每100元的期货价值为f=100－（100－88.00）（90/360）＝97（美元）

每张合约的价值为1000000×97÷100＝970000（美元）

买进10张期货合约，总价值为10×970000＝9700000（美元）

所以，期货交易赢利9756250－9700000＝56250（美元）

④套期保值后实际利息成本＝利息成本－期货交易盈利＝300000－56250（1+12%×0.25）＝242060美元。

实际利率 

第五章

一、判断题

1、互换头寸的结清方式之一是对冲原互换协议，这一方式完全抵消了违约风险。

（×）

二、单选题

1、下列说法正确的是（C）

A．互换协议从1984年开始走向标准化，开始在交易所内交易

B．利率互换中固定利率的支付频率与浮动利率的支付频率是相同的

C．利率互换采取净额结算的方式

D．以上说法都不对

三、名词解释

1、利率互换

答：

利率互换（InterestRateSwaps）是指双方同意在未来的一定期限内根据同种货币的同样的名义本金交换现金流，其中一方的现金流根据浮动利率计算出来，而另一方的现金流根据固定利率计算。

2、货币互换

答：

货币互换是在未来约定期限内将一种货币的本金和固定利息与另一货币的等价本金和固定利息进行交换。

四、计算题

1、考虑一个2003年9月1日生效的三年期的利率互换，名义本金是1亿美元。

B公司同意支付给A公司年利率为5％的利息，同时A公司同意支付给B公司6个月期LIBOR的利息，利息每半年支付一次。

请画出B公司的现金流量表。

解答：

B公司的先进流量如下表：

日期

LIBOR（5%）

收到的浮动利息

支付的固定利息

净现金流

2003.9.1

4.20

2004.3.1

4.80

+2.10

－2.50

－0.40

2004.9.1

5.30

+2.40

－2.50

－0.10

2005.3.1

5.50

+2.65

―2.50

＋0.15

2005.9.1

5.60

+2.75

－2.50

＋0.25

2006.3.1

5.90

+2.80

－2.50

＋0.30

2006.9.1

6.40

+2.95

－2.50

＋0.45

2、A公司和B公司如果要在金融市场上借入5年期本金为2000万美元的贷款，需支付的年利率分别为：

固定利率

浮动利率

A公司

12.0％

LIBOR+0.1%

B公司

13.4％

LIBOR+0.6%

A公司需要的是浮动利率贷款，B公司需要的是固定利率贷款。

请设计一个利率互换，其中银行作为中介获得的报酬是0.1％的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。

答：

A公司在固定利率贷款市场上有明显的比较优势，但A公司想借的是浮动利率贷款。

而B公司在浮动利率贷款市场上有明显的比较优势，但A公司想借的是固定利率贷款。

这为互换交易发挥作用提供了基础。

两个公司在固定利率贷款上的年利差是1.4%，在浮动利率贷款上的年利差是0.5。

如果双方合作，互换交易每年的总收益将是1.4%－0.5%=0.9%。

因为银行要获得0.1%的报酬，所以A公司和B公司每人将获得0.4%的收益。

这意味着A公司和B公司将分别以LIBOR－0.3%和13%的利率借入贷款。

合适的协议安排如图所示。

12.3%12.4%

 12% A 金融中介 B LIBOR+0.6%

LIBORLIBOR

6、设计一个案例，说明利率互换可以降低互换双方的融资成本。

答案要点：

信用评级分别为AA和BB的两个公司均需进行100万美元的5年期借款，AA公司欲以浮动利率融资，而BB公司则希望借入固定利率款项。

由于公司信用等级不同，故其市场融资条件亦有所差别，如下表所示：

固定利率

浮动利率

AA公司

11％

LIBOR＋0.1％

BB公司

12％

LIBOR＋0.5％

与AA公司相比，BB公司在浮动利率市场上必须支付40个基点的风险溢价，而在固定利率市场的风险溢价高达100个基点，即BB公司拥有浮动利率借款的比较优势，于是双方利用各自的比较优势向市场融资，然后进行交换：

AA公司以11％的固定利率、BB公司以（LIBOR＋0.5％）的浮动利率各借款100万美元，然后二者互换利率，AA按LIBOR向BB支付利息，而BB按11.20％向AA支付利息。

利率互换的流程如下：

通过互换，二者的境况均得到改善：

对于AA公司，以11％的利率借款，收入11.2％的固定利息并支付LIBOR的净结果相当于按LIBOR减20个基点的条件借入浮动利率资金；类似的，BB公司最终相当于以11.70％的固定利率借款。

显然，利率互换使双方都按照自己意愿的方式获得融资，但融资成本比不进行互换降低了30个基点。

7、假设在一笔互换合约中，某一金融机构支付6个月期的LIBOR，同时收取8％的年利率（半年计一次复利），名义本金为1亿美元。

互换还有1.25年的期限。

3个月、9个月和15个月的LIBOR（连续复利率）分别为10％、10.5％和11％。

上一次利息支付日的6个月LIBOR为10.2％（半年计一次复利）。

分别用债券组合法和远期合约法计算该互换合约对于此金融机构的价值。

解：

债券组合法：

单位：

亿K=0.04，K*=0.051 B~fix=0.9824

万，万，因此

亿

亿

因此，利率互换的价值为

98.4－102.5＝－$427万

远期合约法：

3个月后要交换的现金流是已知的，金融机构是用10.2％的年利率换入8％年利率。

所以这笔交换对金融机构的价值是

为了计算9个月后那笔现金流交换的价值，我们必须先计算从现在开始3个月到9个月的远期利率。

根据远期利率的计算公式，3个月到9个月的远期利率为

10.75％的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为

=0.11044

所以，9个月后那笔现金流交换的价值为

同样，为了计算15个月后那笔现金流交换的价值，我们必须先计算从现在开始9个月到15个月的远期利率。

11.75％的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为

=0.12102

所以，15个月后那笔现金流交换的价值为

那么，作为远期利率协议的组合，这笔利率互换的价值为

8、假设在一笔2年期的利率互换协议中，某一金融机构支付3个月期的LIBOR，同时每3个月收取固定利率（3个月计一次复利），名义本金为1亿美元。

目前3个月、6个月、9个月、12个月、15个月、18个月、21个月与2年的贴现率（连续复利）分别为4.8％、5％、5.1％、5.2％、5.15％、5.3％、5.3％与5.4％。

第一次支付的浮动利率即为当前3个月期利率4.8％（连续复利）。

试确定此笔利率互换中合理的固定利率。

答案：

利率互换中合理固定利率的选择应使得利率互换的价值为零，即  。

在这个例子中，万美元，而使得的k=543美元，即固定利率水平应确定为5.43%（3个月计一次复利）。

第六章

一、判断题

1、对于看涨期权，若基础资产市场价格低于执行价格，则称之为实值期权。

（×）

2、在风险中性假设下，欧式期权的价格等于期权到期日价值的期望值的现值。

（√）

3、当标的资产是无收益资产时，提前执行美式看跌期权是不合理的。

（×）

4、对于看跌期权，若标的资产市场价格高于执行价格，则称之为实值期权。

（×）

5、一份欧式看跌期权，标的资产在有效期内无收益，协定价格为18，资产的现价为22，则期权价格的上下限分别为1818e-r（T-t）和max（18e-r（T-t）－22,0）。

（×）

二、单选题

1、一般来说，期权的执行价格与期权合约标的物的市场价格差额越大，则时间价值就（D）

A.越大