②如果对于x0附近的所有点，都有：
f（x）>f（x0），称f（x0）为函数f（x）的—个极小值，记作y极小值=f（x0）。
极大值与极小值统称极值。
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
要点诠释：
①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f（x）在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。
②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。
由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
③极大值与极小值之间无确定的大小关系。
即一个函数的极大值未必大于极小值。
极小值不一定是整个定义区间上的最小值。
④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。
我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。
如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。
⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。
在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。
但反过来不一定。
如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。
（2）求极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f（x）在这个根处取得极小值。
（最好通过列表法）
要点诠释：
函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。
在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。
f＇（x0）=0仅是函数f（x）在点x0处有极值的必要条件，点x0是f（x）的极值点，当且仅当在x0的左右f＇（x）的符号产生变化。
考点四、函数的最值
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。
连续函数f（x）在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间（a，b）内连续的函数不一定有最大值和最小值。
（1）最值与极值的区别与联系：
①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；
②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；
③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。
（2）在区间[a，b]上求函数y=f（x）的最大与最小值的步骤
①求函数y=f（x）在（a，b）内的导数
②求函数y=f（x）在（a，b）内的极值
③将函数y=f（x）在（a，b）内的极值与区间两端的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
要点诠释：
①函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。
连续函数f（x）在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。
②在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f（x）,并注明其定义域，当在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f（x）的最值点。
【典型例题】
类型一：
函数的切线问题
例1.求曲线的分别满足下列条件的切线：
（1）在点的切线；
（2）过点的切线；
【解析】
（1）时，在点的切线的切线的斜率，
∴在点的切线为，即.
（2）当切点为点时，切线为
当切点不是点时，设切点为，
则，解得或（舍去）
∴切点为的切线为，即，
故过点的切线为或.
举一反三：
【变式1】设函数的图象与直线相切于点（1，－11）,求a，b的值.
【解析】
∵的图象与直线相切于点（1，－11）.
∴，即
解之得a=1，b=－3.
类型二：
函数单调性问题
例2．已知a∈R，求函数的单调区间.
【解析】.
（1）当a=0时，
若x＜0，则；若x＞0，则.
所以，当a=0时，
函数在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.
（2）当a＞0时，
由2x+ax2＞0，解得或x＞0；由2x+ax2＜0，解得.
所以，当a＞0时，
函数在区间内为增函数，
在区间内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.
（3）当a＜0时，
由2x+ax2＞0，解得；由2x+ax2＜0，解得x＜0或.
所以，当a＜0时，
函数在区间（－∞，0）内为减函数，
在区间内为增函数，在区间内为减函数.
举一反三：
【变式1】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.
【解析】
（1）当时，则恒成立，
此时f（x）在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意；
（2）当时，
，
∴当时，函数有三个单调区间，
增区间为：
；
减区间为：
，.
【变式2】已知f（x）=x2+1,g（x）=x4+2x2+2且F（x）=g（x）-f（x）,试问：
是否存在实数，使F（x）在（-,-1）上是减函数，且在（-1,0）上是增函数.
【解析】假设存在实数满足题设.
F（x）=g（x）-f（x）=（x4+2x2+2）-（x2+1）=x4-（-2）x2+（2-）,
F（x）=4x3-2（-2）x,
令4x3-2（-2）x=0,
（1）若≤2，则x=0.
当x∈（-∞,0）时，F（x）<0；当x∈（0,+∞）时，F（x）>0.
∴F（x）在（-∞,0）上单调递减，在（0,+∞）上单调递增，显然不符合题设.
（2）若>2，则x=0或，
当时，F（x）<0；当时，F（x）>0；
当时，F（x）<0；当时，F（x）>0.
∴F（x）的单调增区间是，，
单调减区间是，.
要使F（x）在（-∞,-1）上是减函数，且在（-1,0）上是增函数，
则，即=4.
故存在实数=4，使F（x）在（-∞,-1）上是减函数，且在（-1,0）上是增函数.
类型三：
函数的极值问题
例3.已知函数在处取得极值，求函数以及的极大值和极小值.
【解析】
依题意，，
即
∴，
令，得x=-1或x=1，
当x变化时，与的变化情况如下表：
1
（1，+∞）
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴在处取得极大值，在处取得极小值.
【总结升华】利用“在处取得极值，则必有导数”是本题的破题关键.
举一反三：
【变式1】已知函数，其中a∈R.
（1）当a=1时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当a≠0时，求函数的单调区间与极值.
【解析】
（1）当a=1时，，，
又，.
所以，曲线在点处的切线方程为，
即6x+25y－32=0.
（2）.
由于a≠0，令，得到x1=a，，
以下分两种情况讨论.
①当a＜0时，当x变化时，，的变化情况如下表：
x
（－∞，a）
a
＋
0
－
0
＋
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在区间（－∞，a），内为增函数，在区间内为减函数.
函数在处取得极小值且.
函数在x=a处取得极大值，且.
②当a>0时，当x变化时，，的变化情况如下表：
x
）
－
0
＋
0
－
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数.
函数在处取得极小值且.
函数在x=a处取得极大值，且.
类型四：
函数的最值问题
【高清课堂：
导数的应用（理）394572典型例题一】
例4.已知函数
（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求的值；
（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值。
【解析】
（1），
由题意：
（2）令
令
令
令
+
0
-
0
+
↗
极大
↘
极小
↗
所以函数的单调增区间是，
单调减区间是
结合函数单调性的草图知：
当即时，
在上单调增，
当即时，
在上单调增，在上单调减，
当即时，
由题意得，则
综上，当时，
当时，.
举一反三：
【变式1】设函数求的最小值;
【解析】函数f（x）的定义域为（0，1）
令
当时，,∴在区间是减函数；
当时，,∴在区间是增函数.
∴在时取得最小值且最小值为
【变式2】求函数在[0，2]上的最大值和最小值.
【解析】，
令，化简为x2+x－2=0.
解得x=－2（舍去）或x=1.
，又因为，，
，
所以为函数在[0，2]上的最小值，
为函数在[0，2]上的最大值.
例5.设函数f（x）=ax3+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f
（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数的最小值为-12
（Ⅰ）求a,b,c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1,3]上的最大值和最小值.
【解析】（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c，∴c=0
∵的最小值为-12，∴b=-12且
又直线x-6y-7=0的斜率为
因此，∴a=2,
∴a=2,b=-12,c=0
（Ⅱ）f（x）=2x3-12x，，
列表如下：
x
+
0
-
0
+
↗
极大
↘
极小
↗
所以函数f（x）的单调增区间是
∵f（-1）=10，，f（3）=18
∴f（x）在[-1,3]上的最大值是f（3）=18，最小值是
举一反三：
【变式1】已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。
（I）求的解析式；
（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？
若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
【解析】（I）是二次函数，且的解集是
可设
在区间上的最大值是
由已知，得
（II）方程等价于方程
设则
当时，是减函数；
当时，是增函数。
方程在区间内分别有惟一实数根，
而在区间内没有实数根，
所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。
例6．设函数f（x）＝（x＋1）ln（x＋1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．
【解一】令g（x）＝（x＋1）ln（x＋1）－ax，
对函数g（x）求导数：
g′（x）＝ln（x＋1）＋1－a
令g′（x）＝0，解得x＝ea－1－1，
（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，＋∞）上是增函数，
又g（0）＝0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．
（ii）当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，ea－1－1）是减函数，
又g（0）＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g（x）＜g（0），
即当a＞1时，对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．
综上，a的取值范围是（－∞，1]．
【解二】令g（x）＝（x＋1）ln（x＋1）－ax，于是不等式f（x）≥ax成立
即为g（x）≥g（0）成立
对函数g（x）求导数：
g′（x）＝ln（x＋1）＋1－a
令g′（x）＝0，解得x＝ea－1－1，
当x＞ea－1－1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
当－1＜x＜ea－1－1，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
所以要对所有x≥0都有g（x）≥g（0）充要条件为ea－1－1≤0．
由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．
举一反三：
【变式1】已知函数f（x）=x3-ax2-3x
（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值.
【解析】
（1）f′（x）=3x2-2ax-3.
∵f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，
∴x∈[1，+∞）时，f′（x）=3x2-2ax-3≥0恒成立，
即对x∈[1，+∞）恒成立，
当x≥1时，.
∴为所求。
（2）f′（3）=0，即27-6a-3=0，∴a=4.
∴f（x）=x3-4x2-3x，f′（x）=3x2-8x-3.
令f′（x）＝0得（舍去）或x=3.
∵f（3）=-18，f
（1）=-6，f（4）=-12
∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是f（3）=-18，最大值是f
（1）=-6。
【变式2】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。
【解析】
（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
由f（）＝，f
（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2
f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），
函数f（x）的单调区间如下表：
x
（－，－）
－
（－，1）
1
（1，＋）
f（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
所以函数f（x）的递增区间是（－，－）与（1，＋），递减区间是（－，1）
（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕，
当x＝－时，f（x）＝＋c为极大值，而f
（2）＝2＋c，则f
（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f
（2）＝2＋c，
解得c－1或c2。
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