八年级数学第12章全等三角形教案.docx

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八年级数学第12章全等三角形教案

第十二章全等三角形

第1课时

12．1全等三角形

教学目标：

1、知识与技能:

掌握怎样的两个图形是全等形，了解全等形，了解全等三角形的的概念及表示方法。

掌握全等三角形的性质。

初步会用全等三角形的性质进行一些简单的计算。

2、过程与方法：

围绕全等三角形的对应元素这一中心，通过观察、操作、想象、交流、等展开教学活动。

设计一系列问题，给出三组组合图形，让学生找出它的对应顶点、对应边、对应角，进而引入本节问题的主题，强化了本课的中心问题——全等三角形的性质，经历理解性质的过程。

3、情感态度与价值观:

学生在富有趣味的活动中进行全等三角形的学习，提供学生发现规律的空间，激发学生学习兴趣。

给学生以充分的思考时间，有利于不同层次学生的学习。

教学重点：

全等三角形的性质

教学难点：

寻找全等三角形中的对应元素

教学准备：

三角板，全等图形模型

教学教程：

一、创设情境，引入新课

引导学生观察课本第31页图12.1-1，然后提出问题：

各组图形的形状与大小有什么特？

二、新课讲解

像这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

引导学生完成课本P31——思考：

如图（p32图12.1-2），将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

ADADE

BC

BCEFDBC

（1）

（2）（3）

归纳：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等．

在图

中，点A与点D重合．点B与点E重合．我们把这样互相重合的一对顶点叫做对应顶点；AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；∠A与∠D重合，它们就是对应角．△ABC与△DEF全等，我们把它记作：

“△ABC≌△DEF”．读作“△ABC全等于△DEF”．“全等”用“≌”表示，读作“全等于”

两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如⊿ABC和⊿DEF全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作⊿ABC≌⊿DEF。

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

思考：

如课本P32—思考图11.1-1中，⊿ABC≌⊿DEF，对应边有什么关系？

对应角呢？

归纳:

全等三角形性质：

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

三、例题讲解

例1如右图

（1），⊿ABC≌⊿DCB，指出所有的对应边和对应角。

解：

对应边有AB与DC，AC与DB,BC与CB；

对应角有∠ABC与∠DCB,∠A与∠D,∠ACB与∠DBC.

例2如右图

（2），已知⊿ABC≌⊿DEF，⊿DEF的周长为32cm，

DC=9cm，EF=12cm，求⊿ABC各边的长。

解：

∵⊿DEF的周长为32cm，DC=9cm，EF=12cm，

∴DF=32-9-12=11cm

又∵⊿ABC≌⊿DEF

∴AB=DE=9cm，BC=EF=12cm,AC=DF=11cm。

答：

⊿ABC的各边长分别为9cm，12cm,11cm。

三、课堂练习

课本第32页练习

四、课堂小结

通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，探索了找两个全等三角形对应元素的方法，并且利用性质解决简单的问题。

找对应元素的常用方法有三种：

（一）从运动角度看

1．平移法：

沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．

2．翻转法：

找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．

3．旋转法：

三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．

（二）根据位置元素来推理

1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．

2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

（三）根据经验来判断

1.大边对应大边，大角对应大角

2.公共边是对应边，公共角是对应角

五、作业

课本P33习题12.1-第1、2题

第2课时

12.2三角形全等的判定

（1）

教学目标：

1、知识与技能：

掌握三角形全等的“边边边”的条件；了解三角形的稳定性．

2、过程与方法：

经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．

3、情感态度与价值观：

让学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方法和享受良好的情感体验．

教学重点:

三角形全等的条件．

教学难点：

寻求三角形全等的条件．

教学准备：

三角板、彩色粉笔、三角形纸片、圆规

教学过程：

一、创设情境、引入新课

回忆前面研究过的全等三角形．如图12.2-1图12.2-1

已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．（图中相等的边是：

AB=A′B、

BC=B′C′、AC=A′C．相等的角是：

∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．）

这里有一个三角形纸片（出示三角形纸片），你能画一个三角形与它全等吗？

怎样画？

根据定义，先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等．请问，是否一定需要六个条件呢？

条件能否尽可能少呢？

现在我们就来探究这个问题．

二、新课讲解

探究1：

先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'，满足上述条件中的一个或两个．你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?

让学生按照下面给出的条件作出三角形．

（1）三角形的两个角分别是30°、50°．

（2）三角形的两条边分别是4cm，6cm．

（3）三角形的一个角为30°，—条边为3cm．

再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：

只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．

探究2：

先任意画出一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A'B'C'，并通过比较得出结论：

三边对应相等的两个三角形全等．

通过观察，我们得到一个规律：

三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．

三、例题讲解

例l（课本P36-例1）如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证：

△ABD≌△ACD．

证明：

∵D是BC的中点

∴BD=DC

在△ABD和△ACD中

∵

∴△ABD≌△ACD（SSS）．

例2用圆规和直尺画一个角等于已知角的方法：

已知：

∠AOB.求作：

∠A/O/B/,使∠A/O/B/=∠AOB

作法：

（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB与点C,D；

（2）画一条射线O，A，，以点O，为圆心，OC长为半径画弧，交O，A，于点C，；

（3）以点C，为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画D的弧相交于点D，；

（4）过点D，画射线O，B，，则∠A/O/B/=∠AOB

四、课堂练习：

五、课时小结

本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

六、作业

课本P45习题12.2-第9题

第3课时

12.2三角形全等的判定

（2）

教学目标：

1、知识与技能：

理解三角形全等的“边角边”的条件．掌握三角形全等的“SAS”条件．能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题．

2、过程与方法：

经历探究全等三角形条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学规律的过程．掌握三角形全等的“边角边”条件．在探索全等三角形条件及其运用过程中，培养有条理分析、推理，并进行简单的证明．

3、情感态度与价值观：

通过画图、思考、探究来激发学生学习的积极性和主动性，并使学生了解一些研究问题的经验和方法，开拓实践能力与创新精神．

教学重点:

三角形全等的判定定理．

教学难点：

寻求三角形全等的条件．

教学准备：

三角板、彩色粉笔、圆规、三角形模型

教学过程：

一、创设情境、引入新课

在上节课的讨论中，我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．给出三个条件时，有四种可能，能说出是哪四种吗？

（三内角、三条边、两边一内角、两内角一边．）

这四种情况中我们已经研究了两种，三内角对应相等不能保证两三角形一定全等；三条边对应相等的两三角形全等．今天我们接着研究第三种情况：

“两边一内角”．

二、新课讲解

问题：

如果已知一个三角形的两边及一内角，那么它有几种可能情况？

（1．两边及其夹角．2．两边及一边的对角．）

按照上节方法，我们有两个问题需要探究．

探究1：

先画一个任意△ABC，再画出一个△A/B/C/，使AB=A/B/、AC=A/C/、

∠A=∠A/（即保证两边和它们的夹角对应相等）．把画好的三角形A/B/C/剪下，放到△ABC上，它们全等吗？

探究2：

先画一个任意△ABC，再画出△A/B/C/，使AB=A/B/、AC=A/C/、∠B=∠B/（即保证两边和其中一边的对角对应相等）．把画好的△A/B/C/剪下，放到△ABC上，它们全等吗？

归纳总结：

“两边及一内角”中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等．即：

两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．（简记为“边角边”或“SAS”）

三、例题讲解

例如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA．连结BC并延长到E，使CE=CB．连结DE，那么量出DE的长就是A、B的距离．为什么？

证明：

在△ABC和△DEC中

∵

∴△ABC≌△DEC（SAS）

∴AB=DE（全等三角形的对应边相等）．

四、课堂练习

1.已知：

AD∥BC，AD＝CB（图3）．

求证：

△ADC≌△CBA．

2.已知：

AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2（图4）．求证：

△ABD≌△ACE．

五、课堂小结

　　1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

　　2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等），并要善于运用学过的定义、公理、定理．

六、布置作业

课本P43习题12.2-第2、10题

第4课时

12.2三角形全等的判定（3）

教学目标：

1、知识与技能：

理解三角形全等的条件：

角边角．探索并掌握两个三角形全等的条件：

“ASA”，并能应用它判别两个三角形是否全等．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

2、过程与方法：

经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．

3、情感态度与价值观：

通过画图、探究、归纳、交流，使学生获得一些研究问题的经验和方法，发展实践能力和创新精神

教学重点:

理解，掌握三角形全等的条件：

“ASA”“AAS”．

教学难点：

探究出“ASA”“AAS”以及它的应用．

教学准备：

三角板、三角形纸板、圆规

教学过程：

一、创设情境，导入新课

1、复习：

到目前为止，可以作为判别两个三角形全等的方法有几种？

各是什么？

（三种：

①定义；②SSS；③SAS．）A

2．今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

二、新课

一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如右图，B你能制作一张与原来同样大小的新教具？

能恢复原来三角形的原貌吗？

探究4：

先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠A'＝∠A，

∠B'＝∠B（即使两角和它们的夹边对应相等）．把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

问题：

怎样画出△A'B'C'?

先自己独立思考，动手画一画。

教师演示：

在黑板上画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠A'＝∠A，

∠B'＝∠B（即：

使两角和它们的夹边对应相等）．把△ABC放到△A'B'C'上，它们全等吗?

由此得出判定方法：

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）

三、例题讲解

例1（教科书第40页例3）已知：

点D在AB上，点E在AC上，BE和CD

相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。

求证：

AD=AE

证明：

在△ACD和△ABE中，

∵

∴△ACD≌△ABE（ASA）

∴AD=AE

在两个三角形中，是不是只要有两个角对应相等，一条边对应相等，这两个三角形就全等呢?

下面，我们来看一个问题：

例2（教科书第40页例4）在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，

求证：

△ABC≌△DEF

证明：

在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°

∴∠C=180°-∠B-∠C，

∠F=180°-∠D-∠E，

∵∠A=∠D，∠B=∠E

∴∠C=∠F

在△ABC和△DEF中

∵

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

由此得出：

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．

四、课堂练习

教科书第41页—练习第1、2题

五、课堂小结

我们现在学了四种判定三角形全等的方法：

　　1．全等三角形的定义

　　2．判定定理：

边边边（SSS）边角边（SAS） 角边角（ASA）角角边（AAS） 

六、课后作业

课本习题12.2—第4、5题

第5课时

11.2三角形全等的判定（4）

教学目标：

1、知识与技能：

直角三角形全等的条件：

“斜边、直角边”．

2、过程与方法：

经历探究直角三角形全等条件的过程，体会一般与特殊的辩证关系．掌握直角三角形全等的条件：

“斜边、直角边”．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

3、情感态度与价值观：

通过画图、探究、归纳、交流使学生获得一些研究问题的经验和方法．发展实践能力和创新精神

教学重点:

运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点：

熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学准备：

三角板、圆规、彩色粉笔

教学过程：

一、创设情境，引入新课

1、判定两个三角形全等的方法：

、、、

2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是

二、新课讲解

对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？

由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角分别相等，或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了。

如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？

探究：

任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C，′，

使B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？

画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC,AB=AB;

1、画∠MC′N=90°。

2、在射线C′M上取B′C′BC。

3、以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′。

连接A′B′。

画图分析，寻找规律．如下：

判定方法：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

角形是全等的．

四、例题讲解：

例1（课本P42例5）如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD．求证：

BC=AD．

证明：

∵AC⊥BC，BD⊥AD

∴∠D=∠C=90°

在Rt△ABC和Rt△BAD中

∵

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）

∴BC=AD．

例2如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高

AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两滑梯

倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？

解：

∠ABC+∠DFE=90°.理由如下：

在Rt△ABC和Rt△DEF中

∵

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）

∴∠ABC=∠DEF

又∵∠DEF+∠DFE=90°

∴∠ABC+∠DFE=90°

即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余．

五、课时小结

　　至此，我们有六种判定三角形全等的方法：

　　1．全等三角形的定义2．边边边（SSS）3．边角边（SAS）

　　4．角边角（ASA）5.角角边（AAS）6.HL（仅用在直角三角形中）

六、布置作业

课本P43习题11.2-第7，8题

第6课时

12.3角平分线的性质

（1）

教学目标：

1、知识与技能：

理解角平分线的画法．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．会用尺规作一个已知角的平分线．

2、过程与方法：

在探索角的平分线的画法和性质中培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心。

3、情感态度与价值观：

在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．

教学重点:

利用尺规作已知角的平分线。

。

教学难点:

角的平分线性质的应用。

教学准备:

三角板、彩色粉笔、圆规、纸

教学过程：

一、创设情境、导入新课

问题1：

三角形中有哪些重要线段．（三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．）

问题2：

你能作出这些线段吗？

如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？

二、新课讲解：

1、探究：

右图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．

在△CAD和△CAB中

∵

∴△ABC≌△ADC（SSS）．

∴∠CAD=∠CAB．

即射线AC就是∠DAB的平分线．

通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．同学们自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．

讨论结果展示：

作已知角的平分线的方法：

已知：

∠AOB．

求作：

∠AOB的平分线．

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

（2）分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．

（3）作射线OC，射线OC即为所求．

练一练：

任意画一角∠AOB，作它的平分线．

2、探索

按以下步骤折纸

1、在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。

把角A对折，使得这个角的两

边重合。

2.在折痕（即平分线）上任意找一点C，

3.过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA的交点，即垂足。

4.将纸打开，新的折痕与OB边交点为E。

角平分线的性质：

角平分线上的点到角的两边的距离相等．

下面用我们学过的知识证明发现：

如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。

求证：

OE=OD。

证明：

∵OE⊥AB，OD⊥AC

∴∠AEO=∠ADO=90°

在△AEO和△ADO中，

∵∠AEO=∠ADO，∠EAO=∠DAO，AO=AO

∴△AEO≌△ADO（AAS）

∴OE=OD

三、课堂小结

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并探究了角平分线的性质。

四、布置作业

课本习题12.3第1、4题。

第7课时

12.3角平分线的性质

（2）

教学目标：

1、知识与技能：

理解角的平分线的性质会叙述角的平分线的性质“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．能应用这个性质解决一些简单的实际问题．

2、过程与方法：

会叙述角的平分线的性质“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．能应用这个性质解决一些简单的实际问题．探索、归纳的方法．

3、情感态度与价值观：

通过画图、文字、符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣．

教学重点:

角平分线的性质及其应用．

教学难点：

灵活应用性质解决问题．

教学准备：

三角板、彩色粉笔

教学过程：

一、创设情境，引入新课

上节课我们得角的平分线的性质：

在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？

二、新课讲解

1、问题：

根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．

由已知推出的事项：

点P在∠AOB的平分线上．

于是，我们又可以得到一个性质：

到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

2、思考：

如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：

20000）？

1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？

用哪一个性质可以解决这个问题？

2．比例尺为1：

20000是什么意思？

讨论结果展示：

1．应该是用第二个性质．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．

2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：

20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思．作图如下：

第一步：

尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．

第二步：

在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．

三、例题讲解

例（课本第50页例题）如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．

求证：

点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

证明：

过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．

∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．

∴PD=PE．

同理PE=PF．

∴PD=PE=PF．

即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

四、课堂练习

1、如图，直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有_______处．（）

A．一B．二C．三D．四

2、如图，一块三角形玻璃片碎成如图所示的三块碎片，现要去玻璃店配一块完全一样的玻璃片，最省事的办法是（）

A．只带ⅠB．只带Ⅱ；C．只带ⅢD．只带Ⅰ、Ⅱ

第1题第2题第3题

3、如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．

求证：

AD=CD+AB．

五、课堂小结

这节课我们学了角平分线的另一个性质：

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

用数学语言表示为：

∵OE⊥AB，OD⊥AC，OE＝OD．

∴点O在∠AOB的平分线上．

六、布置作业

课本P51习题12.3中的第2、3题.

12．1全等三角形