小学奥数数学课本二年级.docx
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小学奥数数学课本二年级
华罗庚学校数学课本:
二年级
第一讲速算与巧算
一、“凑整”先算
1.计算:
(1)24+44+56
1,3,5,7,9
2,4,6,8,10
3,6,9,12,15
上册
第一讲速算与巧算
第二讲数数与计数
(一)
下册
第一讲机智与顿悟
第二讲数数与计数
(2)53+36+47
解:
(1)24+44+56=24+(44+56)
=24+100=124
这样想:
因为44+56=100是个整百的数,所以先把它们的
和算出来.
(2)53+36+47=53+47+36
4,8,12,16,20等等都是等差连续数.
1.等差连续数的个数是奇数时,它们的和等于中间
数乘以个数,简记成:
(1)计算:
1+2+3+4+5+6+7+8+9
第三讲数数与计数
(二)
第三讲速算与巧算
=(53+47)+36=100+36=136
这样想:
因为53+47=100是个整百的数,所以先把+47带
=5×9
=45
中间数是5
共9个数
第四讲认识简单数列
第五讲自然数列趣题
第四讲数与形相映
第五讲一笔画问题
着符号搬家,搬到+36前面;然后再把53+47的和算出来.
2.计算:
(1)96+15
(2)52+69
解:
(1)96+15=96+(4+11)
(2)计算:
1+3+5+7+9
=5×5中间数是5
=25共有5个数
(3)计算:
2+4+6+8+10
第六讲找规律
(一)
第六讲七座桥问题
=(96+4)+11=100+11=111
这样想:
把15分拆成15=4+11,这是因为96+4=100,可凑
=6×5
=30
中间数是6
共有5个数
第七讲找规律
(二)
第八讲找规律(三)
第九讲填图与拆数
第十讲考虑所有可能情况
(一)
第十一讲考虑所有可能情况
(二)
第十二讲仔细审题
第十三讲猜猜凑凑
第十四讲列表尝试法
第十五讲画图凑数法
第七讲数字游戏问题
(一)
第八讲数字游戏问题
(二)
第九讲整数的分拆
第十讲枚举法
第十一讲找规律法
第十二讲逆序推理法
第十三讲画图显示法
第十四讲等量代换法
第十五讲等式加减法
附:
第一讲重量的认识
附:
第二讲长度的认识
附:
第三讲时间的认识(上)
附:
第四讲时间的认识(下)
整先算.
(2)52+69=(21+31)+69
=21+(31+69)=21+100=121
这样想:
因为69+31=100,所以把52分拆成21与31之和,
再把31+69=100凑整先算.
3.计算:
(1)63+18+19
(2)28+28+28
解:
(1)63+18+19
=60+2+1+18+19
=60+(2+18)+(1+19)
=60+20+20=100
这样想:
将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以
凑整先算.
(2)28+28+28
=(28+2)+(28+2)+(28+2)-6
=30+30+30-6=90-6=84
这样想:
因为28+2=30可凑整,但最后要把多加的三个2
减去.
二、改变运算顺序:
在只有“+”、“-”号的混合算式中,运
算顺序可改变
计算:
(1)45-18+19
(2)45+18-19
解:
(1)45-18+19=45+19-18
=45+(19-18)=45+1=46
这样想:
把+19带着符号搬家,搬到-18的前面.然后先算
19-18=1.
(2)45+18-19=45+(18-19)
=45-1=44
这样想:
加18减19的结果就等于减1.
三、计算等差连续数的和
相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数,又叫
等差数列,如:
1,2,3,4,5,6,7,8,9
(4)计算:
3+6+9+12+15
=9×5中间数是9
=45共有5个数
(5)计算:
4+8+12+16+20
=12×5中间数是12
=60共有5个数
2.等差连续数的个数是偶数时,它们的和等于首数
与末数之和乘以个数的一半,简记成:
(1)计算:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=(1+10)×5=11×5=55
共10个数,个数的一半是5,首数是1,末数是10.
(2)计算:
3+5+7+9+11+13+15+17
=(3+17)×4=20×4=80
共8个数,个数的一半是4,首数是3,末数是17.
(3)计算:
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
=(2+20)×5=110
共10个数,个数的一半是5,首数是2,末数是20.
四、基准数法
(1)计算:
23+20+19+22+18+21
解:
仔细观察,各个加数的大小都接近20,所以可以把每
个加数先按20相加,然后再把少算的加上,把多算的减去.
23+20+19+22+18+21
=20×6+3+0-1+2-2+1
=120+3=123
6个加数都按20相加,其和=20×6=120.23按20计算就少加
了“3”,所以再加上“3”;19按20计算多加了“1”,所以再
减去“1”,以此类推.
(2)计算:
102+100+99+101+98
解:
方法1:
仔细观察,可知各个加数都接近100,所以选
100为基准数,采用基准数法进行巧算.
102+100+99+101+98
=100×5+2+0-1+1-2=500
方法2:
仔细观察,可将5个数重新排列如下:
(实际上就
是把有的加数带有符号搬家)
102+100+99+101+98
=98+99+100+101+102
=100×5=500
可发现这是一个等差连续数的求和问题,中间数是100,
个数是5.
习题一
1.计算:
(1)18+28+72
(2)87+15+13
(3)43+56+17+24
(4)28+44+39+62+56+21
2.计算:
(1)98+67
(2)43+28
(3)75+26
3.计算:
(1)82-49+18
3.解:
(1)82-49+18=82+18-49
=100-49=51
(2)82-50+49=82-1=81
(减50再加49等于减1)
(3)41-64+29=41+29-64
=70-64=6
4.解:
(1)99+98+97+96+95
=100×5-1-2-3-4-5
=500-15=485
(每个加数都按100算,再把多加的减去)或
99+98+97+96+95=97×5=485
(2)9+99+999=10+100+1000-3
=1110-3=1107
5.解:
(1)5+6+7+8+9
=7×5=35
(2)5+10+15+20+25+30+35
=20×7=140
(3)9+18+27+36+45+54
=(9+54)×3=63×3=189
(4)12+14+16+18+20+22+24+26=(12+26)×4=38×4=152
6.解:
(1)53+49+51+48+52+50=50×6+3-1+1-2+2+0
=300+3=303
第一行白方块5个,黑方块4个;
第二行白方块4个,黑方块5个;
第三、五、七行同第一行,
第四、六、八行同第二行;
但最后的第九行是白方块5个,黑方块4个.可见白方块总
数比黑方块总数多1个.
白方块总数:
5+4+5+4+5+4+5+4+5=41(个)
黑方块总数:
4+5+4+5+4+5+4+5+4=40(个)
再一种方法是:
每一行的白方块和黑方块共9个.
共有9行,所以,白、黑方块的总数是:
9×9=81(个).
由于白方块比黑方块多1个,所以白方块是41个,黑方块
是40个.
例2图2-3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成,中间有
个“雪花”状的墙洞,问需要几块正六边形的砖(图2-4)
才能把它补好?
(1)3面涂色的小立方体共有1个;
(2)4面涂色的小立方体共有4个;
(3)5面涂色的小立方体共有3个.
例4如图2-7所示,一个大长方体的表面上都涂上红色,
然后切成18个小立方体(切线如图中虚线所示).在这些
切成的小立方体中,问:
]
(1)1面涂成红色的有几个?
(2)2面涂成红色的有几个?
(3)3面涂成红色的有几个?
解:
仔细观察图形,并发挥想像力,可知:
(1)上下两层中间的2块只有一面涂色;
(2)每层四边中间的1块有两面涂色,上下两层共8块;
(3)每层四角的4块有三面涂色,上下两层共有8块.最后
检验一下小立体总块数:
2+8+8=18(个).
(2)82-50+49
(
2
)
(3)41-64+29
4.计算:
(1)99+98+97+96+95
(2)9+99+999
5.计算:
(1)5+6+7+8+9
(2)5+10+15+20+25+30+35
(3)9+18+27+36+45+54
87+74+85+83+75+77+80+78+81+84=80×10+7-6+5+3-5-3+
0-2+1+4
=800+4=804
7.解:
方法1:
原式=21+21+21+15=78
方法2:
原式=21×4-6=84-6=78
方法3:
原式=(1+2+3+4+5+6)×3+15=21×3+15=63+15=78
解:
仔细观察,并发挥想象力可得出答案,用七块正六边
形的砖可把这个墙洞补好.如果动手画一画,就会看得更
清楚了.
例3将8个小立方块组成如图2-5所示的“丁”字型,再将表
面都涂成红色,然后就把小立方块分开,问:
(1)3面被涂成红色的小立方块有多少个?
习题二
1.如图2-8所示,数一数,需要多少块砖才能把坏了的墙
补好?
(4)12+14+16+18+20+22+24+26
6.计算:
(1)53+49+51+48+52+50
第二讲数数与计数
(一)
(2)4面被涂成红色的小立方块有多少个?
(2)87+74+85+83+75+77+80+78+81+84
数学需要观察.大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发
2.图2-9所示的墙洞,用1号和2号两种特型砖能补好吗?
7.
计算:
现的重要作用,认为“观察是一件极为重要的事”.本讲数数
若能补好,共需几块?
1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5
习题一解答
1.解:
(1)18+28+72=18+(28+72)=18+100=118
与计数的学习有助于培养同学们的观察能力.在这里请大
家记住,观察不只是用眼睛看,还要用脑子想,要充分发
挥想像力.
例1数一数,图2-1和图2-2中各有多少黑方块和白方
(2)87+15+13=(87+13)+15
=100+15=115
(3)43+56+17+24
块?
(3)5面被涂成红色的小立方块有多少个?
解:
如图2-6所示,看着图,想像涂色情况.当把整个表
面都涂成红色后,只有那些“粘在一起”的面(又叫互相接
=(43+17)+(56+24)
=60+80=140
(4)28+44+39+62+56+21
=(28+62)+(44+56)+(39+21)
=90+100+60=250
2.解:
(1)98+67=98+2+65
=100+65=165
(2)43+28=43+7+21=50+21=71
或43+28=41+(2+28)=41+30=71
(3)75+26=75+25+1=100+1=101
解:
仔细观察图2-1,可发现黑方块和白方块同样多.因
为每一行中有4个黑方块和4个白方块,共有8行,所以:
黑方块是:
4×8=32(个)
白方块是:
4×8=32(个)
再仔细观察图2-2,从上往下看:
触的面),没有被涂色.每个小立方体都有6个面,减去没
涂色的面数,就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都
写在了它的上面,参看图2-6所示.
3.图2-10所示为一块地板,它是由1号、2号和3号三种不
同图案的瓷砖拼成.问这三种瓷砖各用了多少块?
4.如图2-11所示,一个木制的正方体,棱长为3寸,它的
六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长
5.解:
同上题
(1)8块;
(2)24块;(3)24块;
第十四层6个
为1寸的小正方体.
习题二解答
1.解:
用10块砖可把墙补好,可以从下往上一层一层地数
(发挥想像力):
(4)8块;(5)64块.
6.解:
3面被涂成绿色的小正方体共有16块,就是图2—18
中有“点”的那些块(注意最下层有2块看不见).
第十五层5个
第十六层4个
第十七层3个
第十八层2个
第十九层1个
总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)
=55+45=100(利用已学过的知识计算).
(2)方法2:
如图3-3所示:
从上往下,沿折线数
7.解:
分类数一数可知,围成小猫的那条绳子比较长.因为
求:
(1)3面涂成红色的有多少块?
(2)2面涂成红色的有多少块?
(3)1面涂成红色的有多少块?
(4)各面都没有涂色的有多少块?
共1+2+2+1+2+2=10(块).
小狗身体的外形是由32条直线段和6条斜线段组成;小猫
身体的外形是由32条直线段和8条斜线段组成.
(5)切成的小正方体共有多少块?
5.图2-12所示为棱长4寸的正方体木块,将它的表面全染
成蓝色,然后锯成棱长为1寸的小正方体.
如果用铅笔把砖画出来(注意把砖缝对好)就会十分清楚
了,如图2-15所示.
2.解:
仔细观察,同时发挥想像力可知需1号砖2块、2号
第三讲数数与计数
(二)
例1数一数,图3-1中共有多少点?
砖1块,也就是共需(如图2-16所示)
第一层1个
第二层3个
第三层5个
第四层7个
第五层9个
问:
(1)有3面被染成蓝色的多少块?
(2)有2面被染成蓝色的多少块?
(3)有1面被染成蓝色的多少块?
(4)各面都没有被染色的多少块?
(5)锯成的小正方体木块共有多少块?
6.图2-13所示为一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的
外表面(包括底面)全部涂成绿色,那么当把“塔”完全拆
开时,3面被涂成绿色的小正方体有多少块?
1+2=3(块).
3.解:
因为图形复杂,要特别仔细,最好是有次序地按行
分类数,再进行统计:
解:
(1)方法1:
如图3-2所示从上往下一层一层数:
第六层11个
第七层13个
第八层15个
第九层17个
第十层19个
总数:
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100(利用已学过的
知识计算).
(3)方法3:
把点群的整体转个角度,成为如图3-4所示
的样子,变成为10行10列的点阵.显然点的总数为
10×10=100(个).
第一层1个
7.图2-14中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围
成的,你知道哪一条绳子长吗?
(仔细观察,想办法比较
第二层2个
第三层3个
出来).
4.解:
(1)3面涂色的有8块:
它们是最上层四个角上的4
块和最下层四个角上的4块.
(2)2面涂色的有12块:
它们是上、下两层每边中间的那
块共8块和中层四角的4块.
(3)1面涂色的有6块:
它们是各面(共有6个面)中心的
第四层4个
第五层5个
第六层6个
第七层7个
第八层8个
那块.
(4)各面都没有涂色的有一块:
它是正方体中心的那块.
(5)共切成了3×3×3=27(块).
或是如下计算:
8+12+6+1=27(块).
第九层9个
第十层10个
第十一层9个
第十二层8个
第十三层7个
想一想:
①数数与计数,有时有不同的方法,需要多动脑筋.
②由方法1和方法3得出下式:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10
即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此
我们猜想:
1=1×1
1+2+1=2×2
1+2+3+2+1=3×3
共3个.以OD边为公共边的锐角有:
∠DOE,∠DOF共2
个.以OE边为一边的锐角有:
∠EOF只1个.
锐角总数5+4+3+2+1=15(个).
②用图示法更为直观明了:
如图3-10所示,锐角总数为:
③注意,例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段
的,例3是关于角的,但求总数时,它们有同样的数学表
达式.同学们可以看出,一个数学式子可以表达表面上完
全不同的事物中的数量关系,这就是数学的魔力.
1+2+3+4+3+2+1=4×4
1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6
1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7
1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10
总数5+4+3+2+1=15(条).
5+4+3+2+1=15(个).
习题三
1.书库里把书如图3-16所示的那样沿墙堆放起来.请你数
一数这些书共有多少本?
这样的等式还可以一直写下去,能写出很多很多.
想一想:
①由例2可知,一条大线段上有六个点,就有:
想一想:
①由例3可知:
由一点发出的六条射线,组成的
同学们可以自己检验一下,看是否正确,如果正确我们就
发现了一条规律.
③由方法2和方法3也可以得出下式:
总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律(见图3-7):
锐角的总数=5+4+3+2+1(个),由此猜想出如下规律:
(见
图3-11~15)
两条射线1个角(见图3-11)
2.图3-17所示是一个跳棋盘,请你数一数,这个跳棋盘
上共有多少个棋孔?
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.
即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此
我们猜想:
1+3=2×2
1+3+5=3×3
1+3+5+7=4×4
1+3+5+7+9=5×5
1+3+5+7+9+11=6×6
还可以一直做下去.总之,线段总条线是从1开始的一串连
续自然数之和,其中最大的自然数比总数小1.我们又发现
了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.
②上面的事实也可以这样说:
如果把相邻两点间的线段叫
三条射线2+1个角(见图3-12)
1+3+5+7+9+11+13=7×7
1+3+5+7+9+11+13+15=8×8
1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10
还可往下一直写下去,同学们自己检验一下,看是否正确,
做基本线段,那么一条大线段上的基本线段数和线段总条
数之间的关系是:
线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大
的自然数等于基本线段的条数(见图3-8).基本线段数
线段总条数
四条射线3+2+1个角(见图3-13)
3.数一数,图3-18中有多少条线段?
4.数一数,图3-19中有多少锐角?
如果正确,我们就又发现了一条规律.
例2数一数,图3-5中有多少条线段?
解:
(1)我们已知,两点间的直线部分是一条线段.以A
点为共同端点的线段有:
还可以一直写下去,同学们可以自己试试看.
五条射线4+3+2+1个角(见图3-14)
ABACADAEAF5条.
以B点为共同左端点的线段有:
BCBDBEBF4条.
以C点为共同左端点的线段有:
CDCECF3条.
以D点为共同左端点的线段有:
DEDF2条.
以E点为共同左端点的线段有:
EF1条.
总数5+4+3+2+1=15条.
(2)用图示法更为直观明了.见图3-6.
例3数一数,图3-9中共有多少个锐角?
解:
(1)我们知道,图中任意两条从O点发出的射线都
组成一个锐角.
所以,以OA边为公共边的锐角有:
∠LAOB,∠AOC,∠AOD,∠AOE,
∠AOF共5个.
以OB边为公共边的锐角有:
∠BOC,∠BOD,∠BOE,
六条射线5+4+3+2+1个角(见图3-15)
总之,角的总数是从1开始的一串连续自然数之和,其中
最大的自然数比射线数小1.
②同样,也可以这样想:
如果把相邻两条射线构成的角叫
做基本角,那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关
系是:
5.数一数,图3-20中有多少个三角形?
6.数一数,图3-21中有多少正方形?
∠BOF共4个.
以OC边为公共边的锐角有:
∠COD,∠COE,∠COF
角的总数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的
自然数等于基本角个数.
习题三解答
1.解:
方法1:
从左往右一摞一摞地数,再相加求和:
10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10
=135(本).
方法2:
把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个
三角形“尖顶”组成.
长方形中的书10×11=110
以OG边和OH,GH两边构成的三角形仅有:
△OGH1
个;
三角形总数:
7+6+5+4+3+2+1=28(个).
(2)方法2:
显然底边AH上的每一条线段对应着一个三
角形,而基本线段是7条,所以三角形总数为:
例5找出下面数列的规律,并填空:
1,3,7,15,31,,,255,511.
为止(见表四
(2)).
三角形中的书1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
总数:
110+25=135(本).
2.解:
因为棋孔较多,应找出排列规律,以便于计数.
仔细观察可知,图中大三角形ABC上的棋孔的排列规律
是(从上往下数):
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
12,13,另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1,
2,3,4,所以棋孔总数是:
(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)+(1+2+3+4)
×3=91+10×3=121(个).
3.解:
方法1:
按图3-22所示方法数(图中只画出了一部
分)
7+6+5+4+3+2+1=28(个).
6.解:
最小的正方形有25个,
由4个小正方形组成的正方形16个;
由9个小正方形组成的正方形9个;
由16个小正方形组成的正方形4个;
由25个小正方形组成的正方形1个;
正方形总数:
25+16+9+4+1=55个.
第四讲认识简单数列
我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列.
在这一讲里,我们要认识一些重要的简单数列,还要学习
解:
规律是:
后一个数减前一个数的差是逐渐变大的,差
的变化规律是个等比数列,后一个差是前一个差的2倍.
另外,原数列的规律也可以这