八年级数学下册第19章一次函数1922一次函数教案新版新人教版.docx

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八年级数学下册第19章一次函数1922一次函数教案新版新人教版

19.2　一次函数

19.2.2　一次函数

第1课时　一次函数的定义

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．掌握一次函数解析式的定义．

2．知道一次函数与正比例函数关系．

3．会根据实际问题写出一次函数的表达式．

【过程与方法】

通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法的多样性．

【情感态度与价值观】

培养独立思考、合作探究、培养科学的思维方法．

二、重难点目标

【教学重点】

一次函数的概念及列一次函数表达式．

【教学难点】

理解一次函数与正比例函数的关系．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P89～P90的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．教材第90页“思考”．

解：

（1）c＝7t－35（20≤t≤25）．

（2）G＝h－105.

（3）y＝0.1x＋22.

（4）y＝－5x＋50（0≤x≤10）．

这些函数关系式与y＝－6x＋15一样，函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和．

2．一般地，形如y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数．当b＝0时，y＝kx（k是常数，k≠0），故正比例函数是一种特殊的一次函数．因此正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．

3．一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数，在实际问题中，受实际情况限制可能取不到全体实数．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】下列函数是一次函数的是（　　　）

A．y＝－8x　　B．y＝－

C．y＝－8x2＋2　　D．y＝－

＋2

【互动探索】（引发学生思考）一次函数的定义是什么？

正比例函数是不是一次函数？

【分析】A．它是正比例函数，属于特殊的一次函数，正确；B．自变量次数不为1，不是一次函数，错误；C．自变量次数不为1，不是一次函数，错误；D．自变量次数不为1，不是一次函数，错误．

【答案】A

【互动总结】（学生总结，老师点评）一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：

k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．

【例2】写出下列各题中y与x的函数关系式，并判断y是否是x的一次函数或正比例函数．

（1）某村耕地面积为106（平方米），该村人均占有耕地面积y（平方米）与人数x（人）之间的函数关系；

（2）地面气温为28℃，如果高度每升高1km，气温下降5℃，气温x（℃）与高度y（km）之间的函数关系．

【互动探索】（引发学生思考）

（1）根据人均占有耕地面积y等于总面积除以总人数得出即可；

（2）根据高度每升高1km，气温下降5℃，得出即可．

【解答】

（1）根据题意，得y＝

，不是一次函数．

（2）根据题意，得28－5y＝x，则y＝－

x＋

，是一次函数．

【互动总结】（学生总结，老师点评）根据实际问题确定一次函数关系式的关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数要考虑自变量的取值范围．

【例3】已知一次函数y＝kx＋b中，当x＝3时，y＝5；当x＝－4时，y＝－9.求k和b的值．

【互动探索】（引发学生思考）把两组对应值分别代入y＝kx＋b得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k和b.

【解答】∵当x＝3时，y＝5，

当x＝－4时，y＝－9，

∴

解得

【互动总结】（学生总结，老师点评）解决此类问题就是将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组解答即可．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．下列函数关系式：

①y＝－2x＋1；②y＝x；③y＝2x2＋1；④y＝

.其中一次函数有（　B　）

A．1个　　B．2个

C．3个　　D．4个

2．要使函数y＝（m－2）xn－1＋n是一次函数，应满足（　C　）

A．m≠2，n≠2　　B．m＝2，n＝2

C．m≠2，n＝2　　D．m＝2，n＝0

3．写出下列各题中x与y之间的解析式，并判断y是否是x的一次函数．

（1）在时速为70千米的匀速运动中，路程y（千米）与时间x（小时）的关系；

（2）居民用电标准是每千瓦时0.53元，则电费y（元）与用电量x（千瓦时）之间的关系；

（3）汽车离开A站4千米，再以40千米/时的平均速度行驶，那么汽车离开A站的距离y（千米）与时间t（小时）之间的关系；

（4）某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行李费用，则旅客需交的行李费y（元）与携带行李重量x（千克）之间的关系．

解：

（1）y＝70x，是一次函数．

（2）y＝0.53x，是一次函数．

（3）y＝4＋40x，是一次函数．

（4）y＝1.5（x－20），是一次函数．

4．已知y＝（k－1）x|k|－k是一次函数．

（1）求k的值；

（2）若点（2，a）在这个一次函数的图象上，求a的值．

解：

（1）∵y是一次函数，

∴|k|＝1，解得k＝±1.

又∵k－1≠0，∴k≠1.∴k＝－1.

（2）由

（1）知一次函数的解析式为y＝－2x＋1.

∵（2，a）在函数y＝－2x＋1的图象上，

∴a＝－4＋1＝－3.

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例4】已知y＝（m－1）x2－|m|＋n＋3.

（1）当m、n取何值时，y是x的一次函数？

（2）当m、n取何值时，y是x的正比例函数？

【互动探索】一次函数与正比例函数的关系是什么？

解决此题的关键是什么？

【解答】

（1）根据一次函数的定义，得2－|m|＝1，解得m＝±1.

又∵m－1≠0，即m≠1，

∴当m＝－1，n为任意实数时，这个函数是一次函数．

（2）根据正比例函数的定义，得2－|m|＝1，n＋3＝0，解得m＝±1，n＝－3.

又∵m－1≠0，即m≠1，

∴当m＝－1，n＝－3时，这个函数是正比例函数．

【互动总结】（学生总结，老师点评）一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：

k≠0，自变量的次数为1，常数项b可以为任意实数．正比例函数解析式y＝kx的结构特征：

k≠0，自变量的次数为1.

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1．一次函数的定义

2．一次函数与正比例函数的区别和联系

3．根据实际问题求一次函数解析式

练习设计

请完成本课时对应训练！

第2课时　一次函数的图象与性质

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解一次函数图象特征与解析式的联系．

2．会画出一次函数的图象．

【过程与方法】

1．通过对应描点来研究一次函数的图象，经历知识的归纳、探究过程．

2．通过一次函数的图象归纳函数的性质，体会数形结合思想．

【情感态度与价值观】

在探究函数的图象与性质的活动中，通过一系列的探究问题，渗透与人交流合作的意识和探究精神．

二、重难点目标

【教学重点】

一次函数的图象与性质．

【教学难点】

利用一次函数的图象与性质解决问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P91～P93的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．教材第91页“思考”．

比较教材上面两个函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象的相同点与不同点得出：

这两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同．函数y＝－6x的图象经过原点，函数y＝－6x＋5的图象与y轴交于点（0,5），即它可以看作由直线y＝－6x向上平移5个单位长度而得到．

2．一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）的图象是一条过点（0，b）且和直线y＝kx重合或平行的直线，我们称它是直线y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）．

3．一次函数y＝kx＋b（k≠0）和正比例函数y＝kx（k≠0）的增减性一致，一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定：

当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．b决定直线y＝kx＋b与y轴交点的坐标（0，b），当b＞0时，交点在原点上方；当b＝0时，交点即原点；当b＜0时，交点在原点下方．

4．一次函数图象的画法：

（1）两点法：

由于一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，因此作一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了．一般地，一次函数y＝kx＋b的图象是经过点（0，b）和

的一条直线，当b＝0时，即为正比例函数，其图象是经过原点（0,0）和点（1，k）的一条直线．

（2）平移法：

一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图象是一条直线，直线y＝kx＋b可以看作是由直线y＝kx平移∣b∣个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝x＋k的图象大致是（　　　）

A　　　　BC　　　　D

【互动探索】（引发学生思考）一次函数图象与k、b有什么样的关系？

【分析】∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0.

∵一次函数y＝x＋k的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y＝x＋k的图象经过第一、三、四象限，且与y轴的负半轴相交．故选B．

【答案】B

【互动总结】（学生总结，老师点评）一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）的图象是一条直线．当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小．图象与y轴的交点坐标为（0，b）．

【例2】在同一平面直角坐标中，作出下列函数的图象．

（1）y＝2x－1;

（2）y＝x＋3；

（3）y＝－2x;（4）y＝5x.

【互动探索】（引发学生思考）可以类比画正比例函数图象的方法画一次函数的图象，即用“两点法”画一次函数的图象．

【解答】用两点法画函数图象．

（1）一次函数y＝2x－1的图象过点（1,1），（0，－1）；

（2）一次函数y＝x＋3的图象过点（0,3），（－3,0）；

（3）正比例函数y＝－2x的图象过点（1，－2），（0,0）；

（4）正比例函数y＝5x的图象过点（0,0），（1,5）．

如图所示．

【互动总结】（学生总结，老师点评）此题考查了一次函数的作图，解题关键是分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标，经过这两点作直线即可．

【例3】已知函数y＝（2m－2）x＋m＋1.

（1）当m为何值时，图象过原点？

（2）已知y随x增大而增大，求m的取值范围；

（3）函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围；

（4）函数图象过第一、二、四象限，求m的取值范围．

【互动探索】（引发学生思考）

（1）根据函数图象过原点可知，m＋1＝0，求出m的值即可；

（2）根据y随x增大而增大，可知2m－2＞0，求出m的取值范围即可；（3）由于函数图象与y轴交点在x轴上方，故m＋1＞0，进而可得出m的取值范围；（4）根据图象过第一、二、四象限列出关于m的不等式组，求出m的取值范围．

【解答】

（1）∵函数图象过原点，

∴m＋1＝0，即m＝－1.

（2）∵y随x增大而增大，

∴2m－2＞0，解得m＞1.

（3）∵函数图象与y轴交点在x轴上方，

∴m＋1＞0，解得m＞－1.

（4）∵函数图象过第一、二、四象限，

∴

解得－1＜m＜1.

【互动总结】（学生总结，老师点评）一次函数y＝kx＋b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数图象过第一、二、四象限．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．若实数满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝cx＋a的图象可能是（　C　）

A　　　　BC　　　　D

2．对于函数y＝－2x＋2，下列结论：

①当x＞1时，y＜0；②它的图象经过第一、二、三象限；③它的图象必经过点（－2,2）；④y的值随x的增大而增大．其中正确结论的个数是（　A　）

A．1B．2

C．3D．4

3．已知一次函数y＝（k＋1）x＋b的图象与x轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为（　A　）

A．k＞－1，b＞0　　B．k＞－1，b＜0

C．k＜－1，b＞0　　D．k＜－1，b＜0

4．已知一次函数y＝2x－6.

（1）画出该函数的图象；

（2）判断点（4,3）是否在此函数的图象上；

（3）观察画出的图象，说一说当x为何值时y＜0.

解：

（1）∵一次函数y＝2x－6与坐标轴的交点为（0，－6），（3,0），

∴函数图象如图所示：

（2）∵当x＝4时，y＝8－6＝2≠3，

∴该点不在函数的图象上．

（3）由图可知，当x＜3时，y＜0.

5．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x向下平移2个单位后和直线y＝kx＋b（k≠0）重合，直线y＝kx＋b（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B.

（1）请直接写出直线y＝kx＋b（k≠0）的表达式和点B的坐标；

（2）求△AOB的面积．

解：

（1）∵直线y＝x向下平移2个单位后和直线y＝kx＋b（k≠0）重合，

∴直线AB的表达式为y＝x－2，

∴点B的坐标是（0，－2）．

（2）当y＝0时，x＝2，

∴点A的坐标为（2,0），∴OA＝2.

又∵OB＝2，∴S△AOB＝

OA·OB＝2.

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例4】一次函数y＝－2x＋4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.

（1）求A、B两点坐标；

（2）求图象与坐标轴所围成的三角形的面积．

【互动探索】

（1）x轴上所有的点的纵坐标均为0，y轴上所有的点的横坐标均为0；

（2）利用

（1）中所求的点A、B的坐标可以求得OA、OB的长度．然后根据三角形的面积公式可以求得△OAB的面积．

【解答】

（1）对于y＝－2x＋4，令y＝0，得－2x＋4＝0，∴x＝2.

∴一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴交于点A（2,0）．

令x＝0，得y＝4，

∴一次函数y＝－2x＋4的图象与y轴交于点B（0,4）．

（2）由

（1）中知OA＝2，OB＝4，

∴S△AOB＝

OA·OB＝

×2×4＝4，

∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4.

【互动总结】（学生总结，老师点评）求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，一般地应先求出一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标，进而求出三角形的底和高，即可求面积．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

一次函数

练习设计

请完成本课时对应训练！

第3课时　用待定系数法求一次函数解析式

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．学会用待定系数法确定一次函数的解析式．

2．了解两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数．

3．掌握在不同问题情境下，函数关系式的确定．

【过程与方法】

1．经历待定系数法应用过程，提高研究数学问题的技能．

2．能根据函数的图象确定一次函数的表达式，体会数形结合思想在一次函数中的应用．

【情感态度与价值观】

能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学的知识运用于实际，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．

二、重难点目标

【教学重点】

用待定系数法确定一次函数解析式．

【教学难点】

在不同问题情境下，确定一次函数关系式．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P93～P95的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法．

2．用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：

（1）设一次函数解析式为y＝kx＋b；

（2）把满足条件的两个点（x1，y1），（x2，y2）代入解析式，得到关于待定系数的方程组；

（3）解方程组，求出k、b的值；

（4）将求出的待定系数的值代回所设的函数解析式，即可得到所求函数的解析式；

3．教材第95页“思考”．

解：

由上面的函数解析式能解决以下问题，由函数图象不能求出具体数值．

（1）当x＝1.5，y＝5×1.5＝7.5，

即需付款7.5元．

（2）当x＝3时，y＝4×3＋2＝14，

即需付款14元．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】已知一次函数图象经过点A（3,5）和点B（－4，－9）．

（1）求此一次函数的解析式；

（2）若点C（m,2）是该函数图象上一点，求C点坐标．

【互动探索】（引发学生思考）已知函数图象上两点如何求一次函数的解析式？

点在函数图象上应满足什么条件？

【解答】

（1）设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k、b是常数，且k≠0），则

∴

∴一次函数的解析式为y＝2x－1.

（2）∵点C（m,2）在直线y＝2x－1上，

∴2＝2m－1，∴m＝

，

∴点C的坐标为

.

【互动总结】（学生总结，老师点评）用待定系数法求函数解析式的一般步骤：

（1）设表达式；

（2）代入点的坐标求参数值；（3）写出函数表达式

【例2】如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为（2,0），且OA＝OB，试求一次函数的解析式．

【互动探索】（引发学生思考）已知A（2,0），且OA＝OB→点B的坐标→运用待定系数法求解．

【解答】∵OA＝OB，点A的坐标为（2,0），

∴点B的坐标为（0，－2）．

设直线AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0），

则

解得

∴一次函数的解析式为y＝x－2.

【互动总结】（学生总结，老师点评）本题先求出点B的坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式，解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数解析式．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．如图，直线AB对应的函数表达式是（　C　）

A．y＝－

x＋2　　B．y＝

x＋3

C．y＝－

x＋2　　D．y＝

x＋2

2．若点A（2，－3）、B（4,3）、C（5，a）在同一条直线上，则a的值是（　B　）

A．6或－6　　B．6

C．－6　　D．6和3

3．已知一次函数的图象经过A（－2，－3），B（1,3）两点．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）试判断点P（－1,1）是否在这个一次函数的图象上；

（3）求此函数图象与x轴、y轴围成的三角形的面积．

解：

（1）设一次函数的表达式为y＝kx＋b，

则

解得

∴函数解析式为y＝2x＋1.

（2）将点P（－1,1）代入函数解析式，

1≠－2＋1，

∴点P不在这个一次函数的图象上．

（3）当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝－

，

∴此函数图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为

×1×

＝

.

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，A、B是分别在x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，m）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0,2），直线PB交y轴于点D，S△AOP＝12.

（1）求点A的坐标及m的值；

（2）求直线AP的解析式；

（3）若S△BOP＝S△DOP，求直线BD的解析式．

【互动探索】

（1）由S△POA＝S△AOC＋S△COP，根据三角形面积公式得OA＝10，然后再利用S△AOP＝12求出m；

（2）已知A点和C点坐标，可利用待定系数法确定直线AP的解析式；（3）由S△BOP＝S△DOP得PB＝PD，即点P为BD的中点，则可确定B，D两点坐标，然后利用待定系数法确定直线BD的解析式．

【解答】

（1）∵S△POA＝S△AOC＋S△COP，

∴

×OA×2＋

×2×2＝12，

∴OA＝10，

∴A点坐标为（－10,0）．

∵S△AOP＝

×10×m＝12，

∴m＝

.

（2）设直线AP的解析式为y＝kx＋b.

把A（－10,0），C（0,2）代入，

得

解得

∴直线AP的解析式为y＝

x＋2.

（3）∵S△BOP＝S△DOP，

∴PB＝PD，即点P为BD的中点，

∴B点坐标为（4,0），D点坐标为

.

设直线BD的解析式为y＝k′x＋b′，

把B（4,0），D

代入，

得

解得

∴直线BD的解析式为y＝－

x＋

.

【互动总结】（学生总结，老师点评）待定系数法求函数解析式一般步骤：

（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx＋b；

（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1．待定系数法的定义

2．用待定系数法求一次函数解析式

练习设计

请完成本课时对应训练！