湖南省郴州市第十八中学学年八年级上学期第二次月考数学试题.docx
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湖南省郴州市第十八中学学年八年级上学期第二次月考数学试题
湖南省郴州市第十八中学2021-2022学年八年级上学期第二次月考数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
评卷人
得分
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm，则这个三角形的周长是（ ）
A．12cm或15cmB．15cmC．12cmD．9cm
3．下列五个数中:
无理数的个数有（ ）
A．
个B．
个C．
个D．
个
4．化简：
结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．把分式
中的分子、分母的
、
同时扩大到原来的
倍,那么分式的值（ ）
A．扩大到原分式值的
倍B．扩大到原分式值的
倍
C．缩小到原分式值的
D．不改变
6．下列是假命题的是（ ）
A．有一个角是
的等腰三角形是等边三角形
B．三角形的外角和为
C．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
D．全等三角形的对应高相等
7．如图，在
中，分别以点
和
为圆心，大于
和长为半径画弧，两弧相交于点
，
，作直线
，交
于点
，连接
，若
的周长为
，
，则
的周长是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若关于
的不等式组
无解，则
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
评卷人
得分
二、填空题
9．计算：
=___________________．
10．将
用科学记数法表示:
__________．
11．如
则
______
.
12．命题“对顶角相等”的逆命题是一个__________命题（填“真”或“假”）．
13．如图，
，要使
，还需添加一个条件是：
______．（填上你认为适当的一个条件即可）
14．如图,
是
的中线，
是
的中线，如
则
________
.
15．如图，已知在等边
中，沿图中虚线剪去
，则
_________.
16．若
，则
__________________．
评卷人
得分
三、解答题
17．计算：
18．先化简，再求值：
，其中
19．解不等式组:
，并把不等式组的解集表示在数轴上.
20．如图，点C、F在BE上，BF=EC，AB∥DE，且∠A=∠D，求证：
AC=DF
21．设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为：
a⊕b=
例如：
；
，
（因为
）
参照上面材料，解答下列问题：
（1）（-1）⊕（1+
）²______________.
（2）解方程：
22．如图，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=3，∠A=20度，DE垂直平分AB，点D为垂足，交AC于点E，
（1）求△EBC的周长；
（2）求∠EBC的度数．
23．现有
、
两种商品，已知买一件
商品要比买一件
商品少30元，用160元全部购买
商品的数量与用400元全部购买
商品的数量相同．
（1）求
、
两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买
、
两种商品共10件，总费用不超过380元，且不低于300元，则如何购买才能使总费用最低？
最低费用是多少？
24．如图，等边△ABC的边长为10cm，点D在边AB上，且AD=4cm，点P在线段BC上，以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上，由点C向点A运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．
25．已知:
如图，在
中,
是
边上的中点,将
绕点
顺时针旋转，旋转角为
得到
的两边分别与
、
边相交于点
两点，连结
.
（1）求证:
;
（2）求
的度数;
（3）当
变成等腰直角三角形时,求
的长;
（4）在此运动变化的过程中，四边形
的面积是否保持不变?
试说明理由.
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据同底数幂的除法法则、零指数幂、负整数指数幂的意义、分式的乘除运算法则逐项排查即可．
【详解】
解：
A、a5÷a=a4，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、-20=-1，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、
，原计算正确，故此选项符合题意；
D、
，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：
C．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的除法法则、零指数幂、负整数指数幂的意义、分式的乘除运算法则等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系进行求解即可．
【详解】
解：
由题意可知，等腰三角形的三条边分别为3cm，3cm，6cm或3cm，6cm，6m，
当三边分别为3cm，3cm，6cm时，3+3=6，不满足三边关系，舍去；
当三边分别为3cm，6cm，6cm时，满足三边关系，则周长为3+6+6=15cm．
故选：
B．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形周长的计算，熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
根据无理数的定义：
无理数是无限不循环小数确定即可.
【详解】
解：
是分数，属于有理数；
是无理数；
是整数，属于有理数；
是无限循环小数，属于有理数，所以无理数的个数为2.
故选：
C
【点睛】
本题考查了无理数，判断一个数是无理数的关键是把握2点①无限；②不循环.
4．A
【解析】
【分析】
先通过提
号化为同分母的分式，再根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减计算即可.
【详解】
解：
故选：
A
【点睛】
本题考查了分式的加减运算，异分母分式的加减，先化为同分母分式再计算即可.
5．A
【解析】
【分析】
分式中的分子、分母的
、
同时扩大到原来的
倍后变为
、
，代入原式利用分式的基本性质化简和原式比较即可.
【详解】
解：
，与
相比扩大了3倍.
故选：
A
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，灵活的利用分式的基本性质进行约分是解题的关键.
6．B
【解析】
【分析】
判断出来不正确的命题为假命题，由此可知答案.
【详解】
解：
A、C、D均为真命题，
B选项中，三角形的外角和为
，故B命题是假命题.
故选：
B.
【点睛】
本题考查了命题，判断一个命题真假性的关键是这个命题是否正确.
7．B
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得出：
AD=BD,根据
的周长为
，
，可求出AC+BC=10,
的周长为:
AC+CD+AD=AC+BC,即可求得.
【详解】
根据作法可知：
MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD,
∵
的周长为17，AB=7,
∴AC+BC=10,
∴
的周长为:
AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=10,
故选B.
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据图形进行边的转化是解题的关键.
8．A
【解析】
【详解】
∵当
满足：
或
时，原不等式组都有解，
∴B、D错误；
∵当
满足：
或
时，虽然原不等式组都无解，但
中把
可取的3给丢掉了，取值不完整，
∴C错误，只有A正确，
故选A.
9．
【解析】
【分析】
根据单项式与单项式相乘或相除，把他们的系数分别相乘，相同字母的指数分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【详解】
解：
．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了单项式与单项式相乘，相除，解题的关键是熟练掌握运算法则．
10．
【解析】
【分析】
根据科学计数法的表示形式（
）即可表示.
【详解】
解：
.
故答案为：
【点睛】
本题考查了科学计数法，熟练掌握科学计数法的表示是解题的关键，用科学计数法表示较小数的技巧：
中
等于从左往右第一个非零数前边所有零（包括小数点前的零）的个数.
11．<
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质判断即可.
【详解】
解：
.
故答案为：
<
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，①不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号方向不变；②不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，灵活利用这三条不等式的基本性质是解题的关键.
12．假
【解析】
【分析】
先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．
【详解】
解：
命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．
故答案为：
假．
【点睛】
本题考查了命题与定理：
判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
13．
或
或
【解析】
【分析】
由∠1=∠2可得∠AEB=∠AEC，AD为公共边，根据全等三角形的判定添加条件即可．
【详解】
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AEC，
∵AE为公共边，
∴根据“SAS”得到三角形全等，可添加BE=CE；根据“AAS”可添加∠B=∠C；根据“ASA”可添加∠BAE=∠CAE；
故答案为：
BE=CE或∠B=∠C或∠BAE=∠CAE．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，全等三角形的常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：
AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．
【解析】
【分析】
由
是
的中线可得
，所以
，同理可得
，由此可求出
.
【详解】
解：
作
于点F
是
的中线
同理可得
故答案为：
20
【点睛】
本题考查了三角形中线的性质，灵活利用三角形中线的性质得出三角形面积之间的关系是解题的关键.
15．
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质可知
，用四边形内角和减去
和
的度数即可.
【详解】
解：
是等边三角形
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，同时涉及四边形的内角和定理，灵活利用特殊三角形角的度数及多边形的内角和求度数是解题的关键.
16．5
【解析】
【分析】
由题意根据完全平方差公式对式子进行变形得到
，进而整体代入条件即可.
【详解】
解：
.
故答案为：
5.
【点睛】
本题考查代数式求值，熟练掌握并利用完全平方公式变形是解题的关键.
17．
【解析】
【分析】
先运用零指数幂、负整数指数幂、乘方、绝对值化简原式，然后再计算即可．
【详解】
解：
原式=1-8+4+
=
．
【点睛】
本题考查了零指数幂、负整数指数幂、绝对值、实数的加减法等知识点，熟练掌握各运算法则是解答本题的关键．
18．
，
【解析】
【分析】
先算括号内，再计算除法，然后将
代入，即可求解．
【详解】
解：
，
当
时，原式
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19．
，数轴表示见解析.
【解析】
【分析】
分别求出两个不等式的解集取其公共解按照解集的表示方法在数轴上表示即可.
【详解】
解：
解不等式①得：
解不等式②得：
把不等式①②的解集表示在数轴上为：
所以，不等式组的解集为：
【点睛】
本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的求解方法是解题的关键，在数轴上表示时注意大于向左画，小于向右画，有等实心点，无等空心圆.
20．见解析
【解析】
【分析】
由BF=EC可得BC=EF，由
可得
，再结合∠A=∠D可证△
≌△
，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】
证明：
∵
已知
，即
，
等式性质
∵
，
两直线平行，内错角相等
在△
和△
中
，
∴△
≌△
全等三角形对应边相等
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识点．灵活运用全等三角形的判定定理成为解答本题的关键．
21．
（1）
；
（2）原方程无解．
【解析】
【分析】
（1）根据
，再代入新定义的运算，即可求解；
（2）根据
，再代入新定义的运算，可得到分式方程
，解出即可．
【详解】
解：
（1）∵
，
∴
；
（2）∵
，
∴
，
，
，
去分母：
解得：
，
检验：
当
时，
，所以
是原方程的增根，
原方程无解．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
22．
（1）8；
（2）60°．
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质可得
，即可求出△EBC的周长；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得
，从而得到
，再由AB=AC，可得到
即可求解．
【详解】
解：
垂直平分AB，
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
，
的周长
，
的周长
；
垂直平分AB，
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
，
已证
，
等边对等角
，
，
等边对等角
，
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
23．
（1）A商品每件20元，则B商品每件50元；
（2）A商品6件，则购买B商品4件时所需总费用最低，最低费用为320元
【解析】
【分析】
（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，根据关系式列出二元一次方程组．
（2）设小亮准备A购买商品a件，则B购买商品
件，根据关系式列出二元一次不等式方程组．求解再比较每方案的费用．
【详解】
解：
（1）设
商品每件
元，则
商品每件
元，
根据题意，得：
，
经检验；
是原方程的解，
所以A商品每件20元，则B商品每件50元．
（2）设购买
商品
件，则购买
商品共
件，
列不等式组：
，
解得：
，
取整数：
4，5，6．
设购买总费用为
元，则
，
∵
，∴
随
的增大而减小，∵
的整数
∴当
时，
取得最小值，最小值为320，
答：
当A商品6件，则购买B商品4件时所需总费用最低，最低费用为320元．
【点睛】
此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键在于结合题意列不等式组.
24．当t=2s，点Q运动的速度为2cm/s；当t=2.5s，点Q运动的速度为2.4cm/s时，△BPD与△CQP全等．
【解析】
【分析】
先表示出BD=6cm，BP=2t，CP=10-2t，利用等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，讨论：
当BP=CQ，BD=CP时，根据“SAS”可判断△BPD≌△CQP，即CQ=2t，10-2t=6；当BP=CP，BD=CQ时可判断△BPD≌△CPQ，即2t=10-2t，CQ=BD=6，然后分别求出t和CQ的长度，从而得到点Q运动的速度．
【详解】
解：
由题意得：
AD=4cm，BD=6cm，BP=2t，CP=10-2t，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
当BP=CQ，BD=CP时，△BPD≌△CQP（SAS），
即CQ=2t，10-2t=6，解得t=2，
∴CQ=4，
∴点Q运动的速度为
=2（cm/s）；
当BP=CP，BD=CQ时，△BPD≌△CPQ（SAS），
即2t=10-2t，CQ=BD=6，解得t=2.5，
∴点Q运动的速度为
=2.4（cm/s）；
综上所述，当t=2s，点Q运动的速度为2cm/s；当t=2.5s，点Q运动的速度为2.4cm/s时，△BPD与△CQP全等．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键．
25．
（1）证明见解析；
（2）
；（3）0或4；（4）不变，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）结合等腰三角形的性质和旋转的性质利用ASA可得
；
（2）由全等三角形的性质可得
，可知
，可求度数；
（3）考虑点E与点C重合和点
到
的中点的情况即可；
（4）根据
计算即可.
【详解】
（1）
中
，
，
是
边上的中点，
也是顶角的角平分线，
也是底边
边上的高线（等腰三角形三线合一）
，
，
，
在
和
中
（2）
（已证）
（全等三角形对应边相等）
（3）点
与
重合时，即
时，
会成等腰直角三角形.
点
到
的中点时，即
时，
会成等腰直角三角形.
（4）在此运动变化的过程中，四边形
的面积保持不变.
理由如下：
.
【点睛】
本题是三角形的综合题，涉及了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质及三角形的面积，灵活利用题中条件判定三角形的全等是解题的关键.
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