高考一轮复习函数图象.docx

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高考一轮复习函数图象

第7讲　函数图象

【20XX年高考会这样考】

1．考查函数图象的识辨．

2．考查函数图象的变换．

3．利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数．

【复习指导】

函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具，是数形结合的基础，是高考考查的热点，复习时，应重点掌握几种基本初等函数的图象，并在审题、识图上多下功夫，学会分析“数”与“形”的结合点，把几种常见题型的解法技巧理解透彻．

基础梳理

1．函数图象的变换

（1）平移变换

①水平平移：

y＝f（x±a）（a＞0）的图象，可由y＝f（x）的图象向左（＋）或向右（－）平移a个单位而得到．

②竖直平移：

y＝f（x）±b（b＞0）的图象，可由y＝f（x）的图象向上（＋）或向下（－）平移b个单位而得到．

（2）对称变换

①y＝f（－x）与y＝f（x）的图象关于y轴对称．

②y＝－f（x）与y＝f（x）的图象关于x轴对称．

③y＝－f（－x）与y＝f（x）的图象关于原点对称．

由对称变换可利用y＝f（x）的图象得到y＝|f（x）|与y＝f（|x|）的图象．

①作出y＝f（x）的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f（x）|的图象；

②作出y＝f（x）在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f（|x|）的图象．

（3）伸缩变换

①y＝af（x）（a＞0）的图象，可将y＝f（x）图象上每点的纵坐标伸（a＞1时）或缩（a＜1时）到原来的a倍，横坐标不变．

②y＝f（ax）（a＞0）的图象，可将y＝f（x）的图象上每点的横坐标伸（a＜1时）或缩（a＞1时）到原来的倍，纵坐标不变．

（4）翻折变换

①作为y＝f（x）的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f（x）|的图象；

②作为y＝f（x）在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f（|x|）的图象．

2．等价变换

例如：

作出函数y＝的图象，可对解析式等价变形

y＝⇔⇔⇔x2＋y2＝1（y≥0），可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：

（1）写出函数解析式的等价组；

（2）化简等价组；（3）作图．

3．描点法作图

方法步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）化简函数的解析式；（3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值（甚至变化趋势）；（4）描点连线，画出函数的图象．

一条主线

数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置，而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段，不可本末倒置．

两个区别

（1）一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称．

（2）一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．

三种途径

明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径．

（1）图象变换：

平移变换、伸缩变换、对称变换．

（2）函数解析式的等价变换．

（3）研究函数的性质．

双基自测

1．（人教A版教材习题改编）为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点（　　）．

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

解析　y＝lg＝lg（x＋3）－1可由y＝lgx的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到．

答案　C

2．（2011·安徽）若点（a，b）在y＝lgx图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是

（　　）

A.B．（10a,1－b）

C.D．（a2,2b）

解析　本题主要考查对数运算法则及对数函数图象，属于简单题．当x＝a2时，y＝lga2＝2lga＝2b，所以点（a2,2b）在函数y＝lgx图象上．

答案　D

3．函数y＝1－的图象是（　　）．

解析　将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－的图象．

答案　B

4．（2011·陕西）函数y＝x的图象是（　　）．

解析　该题考查幂函数的图象与性质，解决此类问题首先是考虑函数的性质，尤其是奇偶性和单调性，再与函数y＝x比较即可．

由（－x）＝－x知函数是奇函数．同时由当0＜x＜1时，x＞x，当x＞1时，x＜x，知只有B选项符合．

答案　B

5．已知图①中的图象对应的函数为y＝f（x），则图②的图象对应的函数为（　　）．

A．y＝f（|x|）B．y＝|f（x）|

C．y＝f（－|x|）D．y＝－f（|x|）

解析　y＝f（－|x|）＝

答案　C

考向一　作函数图象

【例1】►分别画出下列函数的图象：

（1）y＝|lgx|；

（2）y＝2x＋2；

（3）y＝x2－2|x|－1；

（4）y＝.

[审题视点]根据函数性质通过平移，对称等变换作出函数图象．

解　

（1）y＝图象如图①.

（2）将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②.

（3）y＝.图象如图③.

（4）因y＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图象，如图④.

（1）熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数；

（2）掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．

【训练1】作出下列函数的图象：

（1）y＝2x＋1－1；

（2）y＝sin|x|；

（3）y＝|log2（x＋1）|.

解　

（1）y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．

（2）当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，如图②所示．

（3）首先作出y＝log2x的图象c1，然后将c1向左平移1个单位，得到y＝log2（x＋1）的图象c2，再把c2在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即为所求图象c3：

y＝|log2（x＋1）|.如图③所示（实线部分）．

考向二　函数图象的识辨

【例2】►函数f（x）＝1＋log2x与g（x）＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是

（　　）．

[审题视点]在同一个坐标系中判断两个函数的图象，可根据函数图象上的特征点以及函数的单调性来判断．

解析　f（x）＝1＋log2x的图象由函数f（x）＝log2x的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过（1,1）点，且为单调增函数，显然，A项中单调递增的函数经过点（1,0），而不是（1,1），故不满足；

函数g（x）＝21－x＝2×x，其图象经过（0,2）点，且为单调减函数，B项中单调递减的函数与y轴的交点坐标为（0,1），故不满足；D项中两个函数都是单调递增的，故也不满足．

综上所述，排除A，B，D.故选C.

答案　C

函数图象的识辨可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复．

利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项．

【训练2】（2010·山东）函数y＝2x－x2的图象大致是（　　）．

解析　当x＞0时，2x＝x2有两根x＝2,4；当x＜0时，根据图象法易得到y＝2x与y＝x2有一个交点，则y＝2x－x2在R上有3个零点，故排除B、C；当x→－∞时，2x→0.而x2→＋∞，故y＝2x－x2＜0，故选A.

答案　A

考向三　函数图象的应用

【例3】►已知函数f（x）＝|x2－4x＋3|.

（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；

（2）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有四个不相等的实根}．

[审题视点]作出函数图象，由图象观察．

解　f（x）＝

作出图象如图所示．

（1）递增区间为[1,2]和[3，＋∞），递减区间为（－∞，1]和[2,3]．

（2）由图象可知，y＝f（x）与y＝m图象，有四个不同的交点，则0＜m＜1，

∴集合M＝{m|0＜m＜1}．

（1）从图象的左右分布，分析函数的定义域；从图象的上下分布，分析函数的值域；从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

（2）利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，比如判断方程是否有解，有多少个解？

数形结合是常用的思想方法．

【训练3】（2010·湖北）若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是（　　）．

A．[－1,1＋2]B．[1－2，1＋2]

C．[1－2，3]D．[1－，3]

解析　在同一坐标系下画出曲线y＝3－（注：

该曲线是以点C（2,3）为圆

心、2为半径的圆不在直线y＝3上方的部分）与直线y＝x的图象，平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y轴正方向平移到点（0,3）的过程中的任何位置相应的直线与曲线y＝3－都有公共点；注意到与y＝x平行且过点（0,3）的直线的方程是y＝x＋3；当直线y＝x＋b与以点C（2,3）为圆心、2为半径的圆相切时（圆不在直线y＝3上方的部分），有＝2，b＝1－2.结合图形可知，满足题意的只有C选项．

答案　C　　

难点突破5——高考中函数图象的考查题型

涉及函数图象的知识点在高考中的考查形式主要有三种类型：

一、由解析式选配图象

解决时需要从定义域、值域、奇偶性、单调性等方面综合考查，有时也可以根据特殊情况（如特殊点、特殊位置）进行分析．

【示例】►（2011·山东）函数y＝－2sinx的图象大致是（　　）．

二、图象平移问题

一般地，平移按“左加右减，上正下负”进行函数式的变换．

【示例】►（2011·郑州模拟）若函数f（x）＝kax－a－x（a＞0且a≠1）在（－∞，＋∞）上既是奇函数又是增函数，则g（x）＝loga（x＋k）的图象是（　　）．

三、图象对称问题

【示例】►（2011·厦门质检）函数y＝log2|x|的图象大致是（　　）．