高中数学函数压轴题doc.docx
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高中数学函数压轴题doc
高考数学函数压轴题:
1.已知函数f(x)
1x3
axb(a,bR)在x
2处取得的极小值是
4
.
3
3
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若x[4,3]时,有f(x)m2m10恒成立,求实数m的取值范围.
3
2.某造船公司年最高造船量是
20艘.
已知造船
x艘的产值函数
R(x)=3700x+45x
2–10x3(单位:
万元
),
成本函数
为
C(x)=460x+5000(
单位:
万元
).
又在经济学中,函数
f(x)
的边际函数
Mf(x)
定义为:
Mf(x)=f(x+1)
–f
(x).
求:
(提示:
利润
=产值–成本)
(1)利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);
(2)年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?
(3)边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?
3.已知函数(x)
5x2
5x1(x
R),函数y
f(x)的图象与(x)的图象关于点(0,1)中心对称。
2
(1)求函数y
f(x)的解析式;
(2)如果g1(x)
f(x),gn(x)
f[gn1(x)](n
N,n2),试求出使g2(x)
0成
立的x取值范围;
(3)是否存在区间E,使Exf(x)0对于区间内的任意实数x,只要nN,且n2时,都有
gn(x)0恒成立?
4.已知函数:
f(x)
x
1
a(a
R且xa)
a
x
(Ⅰ)证明:
f(x)+2+f(2a
-x)=0
对定义域内的所有
x都成立.
(Ⅱ)当f(x)的定义域为[a+
1,a+1]
时,求证:
f(x)
的值域为[-3,-2];
2
(Ⅲ)设函数g(x)=x2+|(x-a)f(x)|,
求g(x)的最小值.
5.设f(x)是定义在[0,1]上的函数,若存在
x*
(0,1),使得
f(x)在[0,x*]上单调递增,在[x*
1]上单调递减,则称f(x)
为[0,1]上的单峰函数,
x*为峰点,包含峰点的区间为含峰区间
.对任意的[0,1]上的单峰函数
f(x),下面研究缩短其含
峰区间长度的方法.
(1)证明:
对任意的
x1,x2(0,1),x1
x2,若f(x1)
f(x2),则(0,x2)为含峰区间;若
f(x1)f(x2),则(x1,1)
为含峰区间;
(2)对给定的r(0r0.5),证明:
存在x1,x2(0,1),满足x2x12r,使得由
(1)所确定的含峰区间的长度不
大于0.5r;
6.设关于x的方程2x2
ax2
0的两根分别为
、
,函数f(x)
4x
a
x2
1
(1)证明f(x)在区间
上是增函数;
(2)当a为何值时,
f(x)在区间
上的最大值与最小值之差最小
7.甲乙两公司生产同一种新产品,经测算,对于函数fxx8,gxx12,及任意的x0,当甲公司投
入x万元作宣传时,乙公司投入的宣传费若小于fx万元,则乙公司有失败的危险,否则无失败的危险;当乙公司投
入x万元作宣传时,甲公司投入的宣传费若小于gx万元,则甲公司有失败的危险,否则无失败的危险.设甲公司投
入宣传费x万元,乙公司投入宣传费y万元,建立如图直角坐标系,试回答以下问题:
(1)请解释f0,g0;甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用,问此时各应投入多少宣传费?
(3)若甲、乙分别在上述策略下,为确保无失败的危险,根据对方所投入的宣传费,按最少投入费用原则,投入自己的
宣传费:
若甲先投入
a1
12万元,乙在上述策略下,投入最少费用
b1;而甲根据乙的情况,调整宣传费为
a2;同
样,乙再根据甲的情况,调整宣传费为
b2
如此得当甲调整宣传费为
an时,乙调整宣传费为
bn;试问是否存在
liman,limbn的值,若存在写出此极限值(不必证明)
nn
,若不存在,说明理由
.
8.设f(x)是定义域在
[1,
1]上的奇函数,且其图象上任意两点连线的斜率均小于零
.
(l)求证f(x)在[
1,
1]上是减函数;
(ll
)如果f(x
c),f(xc2)的定义域的交集为空集,求实数
c的取值范围;
(lll
)证明若1
c
2,则f(xc),f(xc2)存在公共的定义域,并求这个公共的空义域.
9.已知函数
2
*
,b∈N,c∈Z。
f(x)=ax+bx+c,其中a∈N
(1)若b>2a,且f(sinx)(x∈R)的最大值为2,最小值为-4,试求函数f(x)的最小值;
(2)若对任意实数x,不等式4x≤f(x)≤2(x2+1)恒成立,且存在x0,使得f(x0)<2(x02+1)成立,求c的值。
10.已知函数f(x)x44x3ax21在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减;
(1)求a的值;
(2)求证:
x=1是该函数的一条对称轴;
(3)是否存在实数
b,使函数g(x)
bx2
1的图象与函数
f(x)的图象恰好有两个交点?
若存在,求出
b的值;若不
存在,请说明理由.
11.定义在区间(0,)上的函f(x)满足:
(1)f(x)不恒为零;
(2)对任何实数x、q,都有f(xq)qf(x).
(1)求证:
方程f(x)=0
有且只有一个实根;
(2)若a>b>c>1,且a、b、c成等差数列,求证:
f
(
)
?
f
()
f
2
()
;
a
c
b
(3)(本小题只理科做)若
f(x)单调递增,且
m>n>0时,有
f(m)
f(n)2f(mn),求证:
3m22
2
12.已知三次函数f(x)x3ax2bxc在y轴上的截距是2,且在(,1),(2,)上单调递增,在(-1,2)上
单调递减.
(
Ⅰ)求函数f(x)
的解析式;
(
Ⅱ)若函数h(x)
f
(x)
1)ln(xm),求h(x)的单调区间.
3(x
(m
2)
13.已知函数f(x)3x3(a1)(a0且a1).
ax
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调递增区间;
(2)
已知当x0
时,函数在(0,6)上单调递减,在(6,
)上单调递增,求
a的值并写出函数的解析式;
(3)
(理)记
(2)
中的函数的图像为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l
,使得l为曲线C的对称轴?
若存在,
求出l的方程;若不存在,请说明理由.
(文)记
(2)中的函数的图像为曲线C,试问曲线C是否为中心对称图形?
若是,请求出对称中心的坐标并加
以证明;若不是,请说明理由.
14.已知函数f(x)logax和g(x)2loga(2xt2),(a0,a1,tR)的图象在x2处的切线互相平行.
(Ⅰ)求t的值;
(Ⅱ)设F(x)g(x)f(x),当x1,4时,F(x)2恒成立,求a的取值范围.
15.设函数f(x)定义在R上,对任意的m,nR,恒有f(mn)f(m)f(n),且当x1时,f(x)0。
试解
决以下问题:
(1)求f
(1)的值,并判断f(x)的单调性;
(2)设集合A
(x,y)|f(x
y)
f(x
y)
0,B(x,y)|f(ax
y
2)0,aR,若AIB
,求实数a的
取值范围;
(3)若
0a
b
,满足|
f
(
a
)||
()|
2|
f
(ab)|
,求证:
3b
2
2
fb
2
16.(理科)二次函数f(x)=x2axb(a、bR)
(I)若方程f(x)=0
无实数根,求证:
b>0;
(II
)若方程f(x)=0
有两实数根,且两实根是相邻的两个整数,求证:
f(-a)=1(a2
1)
;
4
(III
)若方程f(x)=0
有两个非整数实根,且这两实数根在相邻两整数之间,试证明存在整数
k,使得
1
f(k).
4
(文科)已知函数f(x)=
ax2
bxc,其中a
N*,bN,c
Z.
(I)若b>2a,且f(sinx)(x
∈R)的最大值为
2,最小值为-
4,试求函数f(x)的最小值;
(II
)若对任意实数
x,不等式4x
f(x)
2(x2
1)恒成立,且存在x0使得f(x0)
2(x2
01)成立,求c的值。
17.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:
对任意x、y(-1,1)都有。
(I)求证:
函数f(x)是奇函数;
(II)如果当时,有f(x)>0,判断f(x)在(-1,1)上的单调性,并加以证明;
(III)设-1
18.已知二次函数
f(x)
ax2
bx
1(a0,b
R),设方程f(x)=x有两个实数根
x1、x2.
(Ⅰ)如果x12
x2
4,设函数
f(x)的对称轴为
x=x0,求证x0>—1;
(Ⅱ)如果0x12,且f(x)=x的两实根相差为2,求实数b的取值范围.
19.函数
f(x)
的定义域为
R,并满足以下条件:
①对任意
xR,有
f(x)
0;
②对任意
x
、
y
R,有
f(xy)
[f(x)]
y
;③
f
(1)
3
1.
则
(1)求
f(0)
的值;
(4分)
(2)求证:
f(x)
在
R上是单调增函数;
(5分)
(3)若
a
bc0,且b2
ac,求证:
f(a)
f(c)
2f(b).
20.(理)已知f(x)=In(1+x2)+ax(a≤0)
(1)讨论f(x)的单调性;
1
)(1+
1
)(1+
1
)(2)证明:
(1+
4
4
n
4
2
3
(文)设函数f(x)
1ax3
bx2
cx(a
b
c),其图象在点A(1,f
(1)),B(m,f(m))处的切线的斜率分别为o,-a.
3
(1)求证:
0≤b<1;a
(2)若函数f(x)的递增区间为[s,t],求[s-t]的取值范围.
21.设函数
1
3
2
2
3
2
(0
1)
f(x)
3
x
ax
ax
b
a
(1)求函数f(x)
的单调区间,并求函数
f(x)
的极大值和极小值;
(2)当x∈[a+1,a+2]
时,不等|f(x)|a
,求a的取值范围.
22.已知函数f(x)x167x,函数g(x)6lnxm.
x1
(1)当x1时,求函数f(x)的最小值;
(2)设函数h(x)=(1-x)f(x)+16,试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数.
23.已知二次函数f(x)ax2
bxc,
l
1
:
yt2
8t(
其中
0t2.t
为常数);l2:
x
2.若直线
1
2
与函
直线
l、l
数f(x)的图象以及l1,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
(Ⅰ)求a、b、c的值;
(Ⅱ)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式;
(Ⅲ)若g(x)6lnxm,问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点?
若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
24.已知f(x)x(xa)(xb),点A(s,f(s)),B(t,f(t))
(I)若ab1,求函数f(x)的单调递增区间;
(II)若函数
f(x)
的导函数
f(x)满足:
当
|x|
≤1时,有|
f(x)|≤
3恒成立,求函数
f(x)
的解析表达式;
2
(III)若
0函数
f(x)在x
s和x
t
处取得极值,且
a
b
23,证明:
OA与OB
不可能垂直
.
25.已知函数f(x)
mx2
mR.
x
(1)设g(x)f(x)lnx,当m≥1
4
时
求g(x)在[1,2]上的最大值;
2
(2)若ylog1[8
f(x)]在[1,
)上是单调减函数,求实数
m的取值范围.
3
26.(本小题满分12分)
已知常数a>0,n为正整数,fn(x)=xn–(x+a)n(x>0)是关于x的函数.
(1)判定函数fn(x)的单调性,并证明你的结论.
(2)对任意na,证明f`n+1(n+1)<(n+1)fn`(n)
答案:
x2
f
(2)
4
a
0
a
4,
1.解:
(1)
f(x)
a,由题意
8
2a
b
4
f
(2)
b
4
3
3
令f(x)
x2
4
0得f(x)的单调递增区间为
(
2)和(2,
).
(2)f(x)
1x3
4x
4,当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:
3
x
-4
(-4,-2
(-2,2)
2
(2,3)
3
-2)
f(x)
Z
]
Z
00
f(x)4
3
增
28
3
4
减
3
增1
所以x[
4,3]
,f(x)max
28
.于是f(x)m2
m
10
在x[
4,3]上恒成立等价于
m2
m
10
28
,求
3
3
3
3
得m(
3]
[2,
).
2.解:
(1)P(x)=R(x)
–C(x)=
–10x3+45x
2+3240x
–5000
(x
N且x[1,20]);
2
分
MP(x)=P(x+1)
–P(x)=
–30x2+60x+3275
(x
N且x
[1,20]).4
分
(2)P`(x)=
–30x2+90x+3240=
–30(x+9)(x
–12)(x
N且x[1,20])7
分
当1P`(x)>0,P(x)
增,
当12P`(x)<0,P(x)
减.
∴x=12
P(x)
取最大,
10
分
即,年建造
12艘船,
公司造船的年利最大
.
11
分
(3)
由MP(x)=
–30(x
–1)
2+3305(x
N且x
[1,20]).
∴当120,MP(x)减.
12
分
MP(x)
是减函数明:
随着量的增加,每艘利与前一台比,利在减少
.1
3.解:
(1)f(x)
5x
5x2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(
6
分)
(2)由g2(x)5g1(x)5g12(x)
0解得g1(x)0或g1(x)1
即5x
5x2
0或5x
5x2
1
解得x
0或x
1或5
5
x
55
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(
12分)
10
10
(1)由xf(x)0
xx
0或x
1,
又(5
5,55)xx0或x1
,
10
10
当x(5
5,5
5),g2(x)
0,g3(x)5g2(x)5g22(x)
0,
10
10
∴于n
2,3
,E
(55,5
5),命成立。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯(
14分)
1010
以下用数学法明
E
(5
5
5
5)n
N,且n
2,都有gn(x)
0成立
10
10
假n
k(k
2,k
N)命成立,即gk(x)
0,
那么
()
[
()]
5()5
2