高中数学函数压轴题doc.docx
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高中数学函数压轴题doc
高考数学函数压轴题：
1.已知函数f（x）
1x3
axb（a,bR）在x
2处取得的极小值是
4
.
3
3
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若x[4,3]时，有f（x）m2m10恒成立，求实数m的取值范围.
3
2.某造船公司年最高造船量是
20艘.
已知造船
x艘的产值函数
R（x）=3700x+45x
2–10x3（单位：
万元
）,
成本函数
为
C（x）=460x+5000（
单位：
万元
）.
又在经济学中，函数
f（x）
的边际函数
Mf（x）
定义为:
Mf（x）=f（x+1）
–f
（x）.
求:
（提示：
利润
=产值–成本）
（1）利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）;
（2）年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?
（3）边际利润函数MP（x）的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
3.已知函数（x）
5x2
5x1（x
R），函数y
f（x）的图象与（x）的图象关于点（0,1）中心对称。
2
（1）求函数y
f（x）的解析式；
（2）如果g1（x）
f（x），gn（x）
f[gn1（x）]（n
N,n2），试求出使g2（x）
0成
立的x取值范围；
（3）是否存在区间E，使Exf（x）0对于区间内的任意实数x，只要nN，且n2时，都有
gn（x）0恒成立？
4．已知函数：
f（x）
x
1
a（a
R且xa）
a
x
（Ⅰ）证明：
f（x）+2+f（2a
－x）=0
对定义域内的所有
x都成立.
（Ⅱ）当f（x）的定义域为[a+
1,a+1]
时，求证：
f（x）
的值域为[－3，－2]；
2
（Ⅲ）设函数g（x）=x2+|（x－a）f（x）|,
求g（x）的最小值.
5.设f（x）是定义在[0,1]上的函数，若存在
x*
（0,1），使得
f（x）在[0,x*]上单调递增，在[x*
1]上单调递减，则称f（x）
为[0,1]上的单峰函数，
x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间
.对任意的[0,1]上的单峰函数
f（x），下面研究缩短其含
峰区间长度的方法.
（1）证明：
对任意的
x1,x2（0,1），x1
x2，若f（x1）
f（x2），则（0,x2）为含峰区间；若
f（x1）f（x2），则（x1,1）
为含峰区间；
（2）对给定的r（0r0.5），证明：
存在x1,x2（0,1），满足x2x12r，使得由
（1）所确定的含峰区间的长度不
大于0.5r；
6.设关于x的方程2x2
ax2
0的两根分别为
、
，函数f（x）
4x
a
x2
1
（1）证明f（x）在区间
上是增函数；
（2）当a为何值时，
f（x）在区间
上的最大值与最小值之差最小
7.甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数fxx8，gxx12，及任意的x0，当甲公司投
入x万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于fx万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投
入x万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于gx万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险.设甲公司投
入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：
（1）请解释f0,g0；甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？
（3）若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的
宣传费：
若甲先投入
a1
12万元，乙在上述策略下，投入最少费用
b1；而甲根据乙的情况，调整宣传费为
a2；同
样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为
b2
如此得当甲调整宣传费为
an时，乙调整宣传费为
bn；试问是否存在
liman，limbn的值，若存在写出此极限值（不必证明）
nn
，若不存在，说明理由
.
8.设f（x）是定义域在
[1,
1]上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零
.
（l）求证f（x）在[
1,
1]上是减函数；
（ll
）如果f（x
c），f（xc2）的定义域的交集为空集，求实数
c的取值范围；
（lll
）证明若1
c
2，则f（xc），f（xc2）存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.
9.已知函数
2
*
，b∈N，c∈Z。
f（x）＝ax＋bx＋c，其中a∈N
（1）若b>2a，且f（sinx）（x∈R）的最大值为2，最小值为－4，试求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2＋1）恒成立，且存在x0，使得f（x0）<2（x02＋1）成立，求c的值。
10.已知函数f（x）x44x3ax21在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减；
（1）求a的值；
（2）求证：
x=1是该函数的一条对称轴；
（3）是否存在实数
b，使函数g（x）
bx2
1的图象与函数
f（x）的图象恰好有两个交点？
若存在，求出
b的值；若不
存在，请说明理由.
11.定义在区间（0，）上的函f（x）满足：
（1）f（x）不恒为零；
（2）对任何实数x、q,都有f（xq）qf（x）.
（1）求证：
方程f（x）=0
有且只有一个实根；
（2）若a>b>c>1,且a、b、c成等差数列，求证：
f
（
）
?
f
（）
f
2
（）
；
a
c
b
（3）（本小题只理科做）若
f（x）单调递增，且
m>n>0时，有
f（m）
f（n）2f（mn），求证：
3m22
2
12.已知三次函数f（x）x3ax2bxc在y轴上的截距是2，且在（,1）,（2,）上单调递增，在（－1，2）上
单调递减.
（
Ⅰ）求函数f（x）
的解析式；
（
Ⅱ）若函数h（x）
f
（x）
1）ln（xm），求h（x）的单调区间.
3（x
（m
2）
13.已知函数f（x）3x3（a1）（a0且a1）．
ax
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
（2）
已知当x0
时，函数在（0,6）上单调递减，在（6,
）上单调递增，求
a的值并写出函数的解析式；
（3）
（理）记
（2）
中的函数的图像为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l
，使得l为曲线C的对称轴？
若存在，
求出l的方程；若不存在，请说明理由．
（文）记
（2）中的函数的图像为曲线C，试问曲线C是否为中心对称图形？
若是，请求出对称中心的坐标并加
以证明；若不是，请说明理由．
14.已知函数f（x）logax和g（x）2loga（2xt2）,（a0,a1,tR）的图象在x2处的切线互相平行.
（Ⅰ）求t的值；
（Ⅱ）设F（x）g（x）f（x），当x1,4时，F（x）2恒成立，求a的取值范围.
15.设函数f（x）定义在R上，对任意的m,nR，恒有f（mn）f（m）f（n），且当x1时，f（x）0。
试解
决以下问题：
（1）求f
（1）的值，并判断f（x）的单调性；
（2）设集合A
（x,y）|f（x
y）
f（x
y）
0,B（x,y）|f（ax
y
2）0,aR，若AIB
，求实数a的
取值范围；
（3）若
0a
b
，满足|
f
（
a
）||
（）|
2|
f
（ab）|
，求证：
3b
2
2
fb
2
16.（理科）二次函数f（x）=x2axb（a、bR）
（I）若方程f（x）=0
无实数根，求证：
b>0；
（II
）若方程f（x）=0
有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：
f（－a）=1（a2
1）
；
4
（III
）若方程f（x）=0
有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数
k，使得
1
f（k）.
4
（文科）已知函数f（x）=
ax2
bxc，其中a
N*,bN,c
Z.
（I）若b>2a,且f（sinx）（x
∈R）的最大值为
2，最小值为－
4，试求函数f（x）的最小值；
（II
）若对任意实数
x，不等式4x
f（x）
2（x2
1）恒成立,且存在x0使得f（x0）
2（x2
01）成立，求c的值。
17.定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：
对任意x、y（-1,1）都有。
（I）求证：
函数f（x）是奇函数；
（II）如果当时，有f（x）>0，判断f（x）在（-1,1）上的单调性，并加以证明；
（III）设-1
18.已知二次函数
f（x）
ax2
bx
1（a0,b
R）,设方程f（x）＝x有两个实数根
x1、x2.
（Ⅰ）如果x12
x2
4，设函数
f（x）的对称轴为
x＝x0,求证x0>—1;
（Ⅱ）如果0x12，且f（x）＝x的两实根相差为2，求实数b的取值范围.
19.函数
f（x）
的定义域为
R，并满足以下条件：
①对任意
xR，有
f（x）
0；
②对任意
x
、
y
R，有
f（xy）
[f（x）]
y
；③
f
（1）
3
1.
则
（1）求
f（0）
的值；
（4分）
（2）求证：
f（x）
在
R上是单调增函数；
（5分）
（3）若
a
bc0,且b2
ac，求证：
f（a）
f（c）
2f（b）.
20.（理）已知f（x）=In（1+x2）+ax（a≤0）
（1）讨论f（x）的单调性；
1
）（1+
1
）（1+
1
）（2）证明：
（1+
4
4
n
4
2
3
（文）设函数f（x）
1ax3
bx2
cx（a
b
c），其图象在点A（1,f
（1））,B（m,f（m））处的切线的斜率分别为o,-a.
3
（1）求证：
0≤b<1；a
（2）若函数f（x）的递增区间为[s,t]，求[s-t]的取值范围.
21.设函数
1
3
2
2
3
2
（0
1）
f（x）
3
x
ax
ax
b
a
（1）求函数f（x）
的单调区间，并求函数
f（x）
的极大值和极小值；
（2）当x∈[a+1,a+2]
时，不等|f（x）|a
，求a的取值范围.
22.已知函数f（x）x167x，函数g（x）6lnxm.
x1
（1）当x1时，求函数f（x）的最小值；
（2）设函数h（x）=（1－x）f（x）+16，试根据m的取值分析函数h（x）的图象与函数g（x）的图象交点的个数.
23.已知二次函数f（x）ax2
bxc,
l
1
:
yt2
8t（
其中
0t2.t
为常数）；l2:
x
2.若直线
1
2
与函
直线
l、l
数f（x）的图象以及l1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；
（Ⅲ）若g（x）6lnxm,问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？
若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
24.已知f（x）x（xa）（xb），点A（s,f（s））,B（t,f（t））
（I）若ab1,求函数f（x）的单调递增区间；
（II）若函数
f（x）
的导函数
f（x）满足：
当
|x|
≤1时，有|
f（x）|≤
3恒成立，求函数
f（x）
的解析表达式；
2
（III）若
0函数
f（x）在x
s和x
t
处取得极值，且
a
b
23,证明：
OA与OB
不可能垂直
.
25.已知函数f（x）
mx2
mR.
x
（1）设g（x）f（x）lnx,当m≥1
4
时
求g（x）在[1,2]上的最大值；
2
（2）若ylog1[8
f（x）]在[1,
）上是单调减函数，求实数
m的取值范围.
3
26.（本小题满分12分）
已知常数a>0,n为正整数，fn（x）=xn–（x+a）n（x>0）是关于x的函数.
（1）判定函数fn（x）的单调性，并证明你的结论.
（2）对任意na,证明f`n+1（n+1）<（n+1）fn`（n）
答案：
x2
f
（2）
4
a
0
a
4，
1.解：
（1）
f（x）
a，由题意
8
2a
b
4
f
（2）
b
4
3
3
令f（x）
x2
4
0得f（x）的单调递增区间为
（
2）和（2,
）.
（2）f（x）
1x3
4x
4，当x变化时，f（x）与f（x）的变化情况如下表：
3
x
-4
（-4，-2
（-2,2）
2
（2,3）
3
-2）
f（x）
Z
]
Z
00
f（x）4
3
增
28
3
4
减
3
增1
所以x[
4,3]
，f（x）max
28
.于是f（x）m2
m
10
在x[
4,3]上恒成立等价于
m2
m
10
28
，求
3
3
3
3
得m（
3]
[2,
）.
2.解：
（1）P（x）=R（x）
–C（x）=
–10x3+45x
2+3240x
–5000
（x
N且x[1,20]）;
2
分
MP（x）=P（x+1）
–P（x）=
–30x2+60x+3275
（x
N且x
[1,20]）.4
分
（2）P`（x）=
–30x2+90x+3240=
–30（x+9）（x
–12）（x
N且x[1,20]）7
分
当1P`（x）>0,P（x）
增,
当12P`（x）<0,P（x）
减.
∴x=12
P（x）
取最大,
10
分
即,年建造
12艘船,
公司造船的年利最大
.
11
分
（3）
由MP（x）=
–30（x
–1）
2+3305（x
N且x
[1,20]）.
∴当120，MP（x）减.
12
分
MP（x）
是减函数明:
随着量的增加，每艘利与前一台比，利在减少
.1
3.解：
（1）f（x）
5x
5x2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（
6
分）
（2）由g2（x）5g1（x）5g12（x）
0解得g1（x）0或g1（x）1
即5x
5x2
0或5x
5x2
1
解得x
0或x
1或5
5
x
55
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（
12分）
10
10
（1）由xf（x）0
xx
0或x
1，
又（5
5,55）xx0或x1
，
10
10
当x（5
5,5
5），g2（x）
0，g3（x）5g2（x）5g22（x）
0，
10
10
∴于n
2,3
，E
（55,5
5），命成立。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯（
14分）
1010
以下用数学法明
E
（5
5
5
5）n
N，且n
2，都有gn（x）
0成立
10
10
假n
k（k
2,k
N）命成立，即gk（x）
0，
那么
（）
[
（）]
5（）5
2
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