高中数学新学案同步 必修3 人教A版 全国通用版 第三章 概 率 321322.docx

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高中数学新学案同步必修3人教A版全国通用版第三章概率321322

§3.2　古典概型

3.2.1　古典概型

3.2.2　（整数值）随机数（randomnumbers）的产生

学习目标　1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.理解（整数值）随机数（randomnumbers）的产生.

知识点一　基本事件

思考　掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面向上，结果有哪些？

答案　结果有4个，即正正、正反、反正、反反.

梳理　基本事件

（1）定义：

在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件.

（2）特点：

①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

知识点二　古典概型

古典概型

（1）定义：

古典概型满足的条件：

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

②每个基本事件出现的可能性相等.

（2）计算公式：

对于古典概型，任何事件的概率为

P（A）＝.

知识点三　随机数的产生

1.随机数的产生

（1）标号：

把n个大小、形状相同的小球分别标上1,2,3，…，n.

（2）搅拌：

放入一个袋中，把它们充分搅拌.

（3）摸取：

从中摸出一个.

这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数.

2.伪随机数的产生

（1）规则：

依照确定算法.

（2）特点：

具有周期性（周期很长）.

（3）性质：

它们具有类似随机数的性质.

计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数.

3.产生随机数的常用方法

（1）用计算器产生.

（2）用计算机产生.（3）抽签法.

4.随机模拟方法（蒙特卡罗方法）

利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.

1.任何一个事件都是一个基本事件.（　×　）

2.每一个基本事件出现的可能性相等.（　√　）

3.古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的.（　√　）

类型一　基本事件的计数问题

例1　将一枚骰子先后抛掷两次，则：

（1）一共有几个基本事件？

（2）“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？

考点　基本事件

题点　求基本事件的个数

解　方法一　（列举法）：

（1）用（x，y）表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的所有结果为

（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5），（3,6），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（4,6），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），（5,6），（6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6），共36个基本事件.

（2）“出现的点数之和大于8”包含以下10个基本事件：

（3,6），（4,5），（4,6），（5,4），（5,5），（5,6），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6）.

方法二　（列表法）：

如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应.

（1）由图知，基本事件总数为36.

（2）点数之和大于8包含10个基本事件（已用虚线圈出）.

方法三　（树状图法）：

一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示.如图所示：

（1）由图知，共36个基本事件.

（2）点数之和大于8包含10个基本事件（已用“√”标出）.

反思与感悟　基本事件的三个探求方法

（1）列举法：

把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.

（2）列表法：

将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数.列表法适用于较简单的试验问题，基本事件数较多的试验不适合用列表法.

（3）树状图法：

树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验问题.

跟踪训练1　一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.

（1）共有多少个基本事件？

（2）2个都是白球包含几个基本事件？

考点　基本事件

题点　求基本事件的个数

解　方法一　

（1）采用列举法.

分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则有以下基本事件：

（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共10个（其中（1,2）表示摸到1号、2号）.

（2）“2个都是白球”包含（1,2），（1,3），（2,3）三个基本事件.

方法二　

（1）采用列表法.

设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球.

列表如下：

a

b

c

d

e

a

（a，b）

（a，c）

（a，d）

（a，e）

b

（b，a）

（b，c）

（b，d）

（b，e）

c

（c，a）

（c，b）

（c，d）

（c，e）

d

（d，a）

（d，b）

（d，c）

（d，e）

e

（e，a）

（e，b）

（e，c）

（e，d）

由于每次取2个球，因此每次所得的2个球不相同，而事件（b，a）与（a，b）是相同的事件，故共有10个基本事件.

（2）“2个都是白球”包含（a，b），（b，c），（a，c）三个基本事件.

类型二　古典概型的概率计算

例2　将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况.

（1）一共有多少种不同的结果？

（2）点数之和为5的结果有多少种？

（3）点数之和为5的概率是多少？

考点　古典概型计算公式

题点　古典概型概率公式的直接应用

解　

（1）将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有1,2,3,4,5,6，共6种结果，故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有6×6＝36（种）不同的结果.

（2）点数之和为5的结果有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1），共4种.

（3）正方体骰子是质地均匀的，将它先后抛掷两次所得的36种结果是等可能出现的，其中点数之和为5（记为事件A）的结果有4种，因此所求概率P（A）＝＝.

反思与感悟　首先，阅读题目，收集题目中的各种信息；其次，判断基本事件是否为等可能事件，并用字母A表示所求事件；再次，求出基本事件的总数n及事件A包含的基本事件的个数m；最后，利用公式

P（A）＝＝，求出事件A的概率.

跟踪训练2　从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：

（1）事件A＝{三个数字中不含1和5}；

（2）事件B＝{三个数字中含1或5}.

考点　古典概型计算公式

题点　古典概型概率公式的直接应用

解　这个试验的基本事件为（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5），所以基本事件总数n＝10.

（1）因为事件A＝{（2,3,4）}，

所以事件A包含的事件数m＝1.

所以P（A）＝＝.

（2）因为事件B＝{（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5）}，

所以事件B包含的基本事件数m＝9.

所以P（B）＝＝.

类型三　整数随机模拟与应用

例3　盒中有大小、形状相同的5个白球和2个黑球，用随机模拟方法求下列事件的概率：

（1）任取一球，得到白球；

（2）任取三球，恰有两个白球；

（3）任取三球（分三次，每次放回再取），恰有3个白球.

考点　（整数值）随机数的应用

题点　（整数值）随机数的应用

解　用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球.

（1）统计随机数个数N及小于6的个数N1，则即为任取一球，得到白球的概率的近似值.

（2）三个数一组（每组内不重复），统计总组数M及恰好有两个数小于6的组数M1，则即为任取三个球，恰有两个白球的概率的近似值.

（3）三个数一组（每组内可重复），统计总组数K及三个数都小于6的组数K1，则即为任取三球（分三次，每次放回再取），恰有3个白球的概率的近似值.

反思与感悟　

（1）做整数随机模拟试验时应注意的相关事项

做整数随机模拟试验时，首先要确定随机数的范围，明确哪个数字代表哪个试验结果.

①当试验的基本结果的可能性相等时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；

②当研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及范围.

（2）抽签法、利用计算器或计算机产生随机数方法的比较：

抽签法、利用计算器或计算机均可产生随机数、但抽签法能保证机会均等，而计算器或计算机产生的随机数为伪随机数，不能保证等可能性，当总体容量非常大时，常用这种方式近似代替随机数，但结果有一定误差.

跟踪训练3　袋子中有四个小球，分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，从中任取一个小球，取到“冬”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：

先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出的小球上分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：

13　24　12　32　43　14　24　32　31　21

23　13　32　21　24　42　13　32　21　34

据此估计，直到第二次就停止的概率为（　　）

A.B.

C.D.

考点　（整数值）随机数的应用

题点　（整数值）随机数的应用

答案　B

解析　20组随机数中，第一次不是4且第二次是4的数共有5组，故估计直到第二次就停止的概率为＝.

1.从长度分别为1,2,3,4的四条线段中，任取三条不同的线段，以取出的三条线段为边可组成三角形的概率为（　　）

A.0B.

C.D.

考点　古典概型计算公式

题点　古典概型概率公式的直接应用

答案　B

解析　从中任取三条线段共有4种取法，能构成三角形的只有长度为2,3,4的线段，所以P＝，故选B.

2.在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为（　　）

A.B.C.D.

考点　古典概型计算公式

题点　古典概型概率公式的直接应用

答案　B

解析　用（A，B，C）表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有（A，B，C），（A，C，B），（B，A，C），（B，C，A），（C，A，B），（C，B，A），共6种，其中B先于A，C通过的有（B，C，A）和（B，A，C），共2种，故所求概率P＝＝.

3.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为________.

考点　古典概型计算公式

题点　古典概型概率公式的直接应用

答案　

解析　设两个红球分别为A，B，两个白球分别为C，D，从中任取两个球，有如下取法：

（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共6种情形，其中颜色相同的有（A，B），（C，D），共2种情形，故P＝＝.

4.从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率为________.

考点　古典概型计算公式