4、图形建立
图一
四、模型求解
(1)污水处理只有5种方案:
方案1、各工厂分别建站,总费用W=W1+W2+W3(万元)
方案2、工厂1,2合作处理,工厂3单独建站,总费用 W=W12+W3(万元)
方案3、工厂1,3合作处理,站2单独建站,总费用 W=W13+W2(万元)
方案4、工厂2,3合作处理,工厂1单独建站,总费用W=W23+W1(万元)
方案5、三厂合作在工厂3建站,总费用为W=W3+W3+W3
(2)三工厂合作建厂费用W(万元),按三工厂污水排污量比例为a:
b:
c分担,工厂1,2,3分别负担
,
,
(万元).
工厂1到工厂2管道费C=C12(万元),由工厂1负担 C12
工厂2到工厂3管道费C=C23 (万元).按工厂1,2 污水量比例a:
b,由工厂1,工厂2分别负担
,
(万元).
在上述建议下,各工厂的分担费用分别是 C12,
,
(万元)
五、模型检验
表1-1模型汇总和参数估计值
因变量:
建站费
方程
模型汇总
参数估计值
R方
F
df1
df2
Sig.
常数
b1
b2
b3
线性
.967
232.649
1
8
.000
94.549
26.242
对数
.956
173.759
1
8
.000
-19.644
168.422
倒数
.803
32.697
1
8
.000
435.978
-706.440
二次
.986
238.505
2
7
.000
47.110
40.438
-.853
三次
.986
136.705
3
6
.000
51.668
37.979
-.521
-.013
复合
.896
69.226
1
8
.000
130.154
1.102
幂
.991
865.937
1
8
.000
79.198
.661
S
.924
97.280
1
8
.000
6.183
-2.919
增长
.896
69.226
1
8
.000
4.869
.097
指数
.896
69.226
1
8
.000
130.154
.097
Logistic
.896
69.226
1
8
.000
.008
.907
自变量为排污量。
表1-2模型汇总和参数估计值
因变量:
建站费(万元)
方程
模型汇总
参数估计值
R方
F
df1
df2
Sig.
常数
b1
幂
.991
865.937
1
8
.000
79.198
.661
自变量为排污量(t/s)。
图1-1幂函数的拟合效果图
运用SPSS分析,表1-1中幂函数的R方在各种函数的R方中最大,拟合度最高。
由表1-2可以得出因变量建站费与自变量排污量的幂回归模型为C1’=79.19842*Q
。
表1-3模型汇总和参数估计值
因变量:
建站费
方程
模型汇总
参数估计值
R方
F
df1
df2
Sig.
常数
b1
b2
b3
线性
.889
64.257
1
8
.000
139.342
5.206
对数
.964
213.523
1
8
.000
-201.745
154.374
倒数
.868
52.469
1
8
.000
442.679
-2873.346
二次
.946
61.073
2
7
.000
57.041
11.144
-.082
三次
.977
84.537
3
6
.000
-43.590
23.579
-.481
.004
复合
.781
28.574
1
8
.001
156.519
1.019
幂
.949
147.394
1
8
.000
40.871
.590
S
.958
183.815
1
8
.000
6.201
-11.636
增长
.781
28.574
1
8
.001
5.053
.019
指数
.781
28.574
1
8
.001
156.519
.019
Logistic
.781
28.574
1
8
.001
.006
.981
自变量为管道总长。
表1-4模型汇总和参数估计值
因变量:
建站费(万元)
方程
模型汇总
参数估计值
R方
F
df1
df2
Sig.
常数
b1
b2
b3
三次
.977
84.537
3
6
.000
-43.590
23.579
-.481
.004
自变量为管道总长(km)。
图1-2三次曲线的拟合效果图
运用SPSS分析,表1-3中三次函数的R方在各种函数的R方中最大,拟合度最高。
由表1-4可以得出因变量建站费与自变量管道总长的三次回归模型为:
C1’’=-43.59009+23.57917L-0.418149L
+0.00367L
。
根据排污量与建站费的函数关系得到的建站费与管道总长与建站费的函数关系得到的建站费比较,由附表1可知,得到最贴近实际建站费的比例公式为C1=0.9C1’+0.1C1’’。
表1-5模型汇总和参数估计值
因变量:
管道费
方程
模型汇总
参数估计值
R方
F
df1
df2
Sig.
常数
b1
b2
b3
线性
.981
407.974
1
8
.000
-25.404
2.943
对数
.845
43.658
1
8
.000
-185.982
77.800
倒数
.594
11.685
1
8
.009
131.820
-1279.109
二次
.996
807.337
2
7
.000
-2.647
1.301
.023
三次
.998
1224.806
3
6
.000
-18.567
3.268
-.041
.001
复合
.887
62.699
1
8
.000
9.748
1.051
幂
.995
1581.071
1
8
.000
.343
1.501
S
.933
110.954
1
8
.000
5.220
-28.512
增长
.887
62.699
1
8
.000
2.277
.050
指数
.887
62.699
1
8
.000
9.748
.050
Logistic
.887
62.699
1
8
.000
.103
.951
自变量为管道总长。
表1-6模型汇总和参数估计值
因变量:
管道费
方程
模型汇总
参数估计值
R方
F
df1
df2
Sig.
常数
b1
b2
b3
三次
.998
1224.806
3
6
.000
-18.567
3.268
-.041
.001
自变量为管道总长。
图1-3三次曲线的拟合效果图
运用SPSS分析,表1-5中三次函数的R方在各种函数的R方中最大,拟合度最高。
由表1-6可以得出因变量建站费与自变量管道总长的三次回归模型为C2=-18.56729+3.268069L-0.04068L
+0.00058L
综上,我们组得到的各个变量之间线性关系的数学模型为:
C1’=79.19842*Q
C1’’=-43.59009+23.57917L-0.418149L
+0.00367L
C1=0.9C1’+0.1C1’’
C2=-18.56729+3.268069L-0.04068L
+0.00058L
假设ABC三个工厂在一条直线上建站,有以下五种方案:
方案1、各工厂分别建站,不建管道直接建站,所以不需要考虑管道费,根据污水排放量确定建站费用,由公式C1=79.198*Q
得出总费用W=W1+W2+W3=213.95+145.09+258.73=617.77(万元)
方案2、工厂A,B合作处理污水联合建站,污水处理站建在B工厂下游,管道长度(L)
20(km),W12=C1+C2=284.30+35.16=319.46(万元)工厂C不建管道单独建站,总费用 W=W12+W3=319.46+258.73=578.19(万元)
方案3、工厂A,C联合建站合作处理污水,污水处理站建在C工厂下游,管道长度(L)
60(km),工厂B单独建站,W13=C1+C2=380.01+156.37=536.38(万元)总费用W=W13+W2=536.38+145.09=681.47(万元)
方案4、工厂B,C联合建站合作处理污水,污水处理站建在C工厂下游,管道长度(L)
40(km),工厂A单独建站,W23=329.50+84.19=413.69(万元)
总费用W=W23+W1=413.69+213.95=627.64(万元)
方案5、三厂合作在工厂3建站,污水处理站建在C工厂下游,管道长度(L)
60(km)总费用为W=C1+C2=431.24+156.36=587.60(万元)
详见附表2
仅从节约总投资的角度出发,由上述方案比较可知,方案二最优。
方案6、假设ABC三个工厂不在一条直线上建站,形成一个三角形,河流沿着AC工厂,或者穿过BC工厂的中点流过,那么为了使得A到C的管道费用最低,则AC的距离最小趋近于20(km)。
如图:
图二
那么只有工厂A,C联合建站合作处理污水,污水处理站建在C工厂下游,管道长度(L)
20(km),工厂B单独建站的方案与在同一条直线的方案三不同,其他结果是一致的,我们将这三角形的A,C联合建站,B单独建站称为方案六。
W13=C1+C2=363.51+35.16=398.67(万元)
总费用W=W13+W2=398.67+145.09=543.76(万元)
费用分担问题:
方案一中各工厂分别建站不需要考虑管道费,因此工厂A花费213.95万元,B工厂花费145.09万元,C工厂花费258.73万元,共计617.77万元。
方案二中工厂A,B联合建站合作处理污水,污水处理站建在B工厂下游,管道长度(L)
20(km),其中污水处理站的费用为W12=284.30(万元),根据污水比例4.5:
2.5计算出工厂A应该负担182.76万元,B应该负担101.54万元,由于B工厂不需要建造管道,因此管道费C2=35.16万元应由A工厂负担,为217.92万元。
工厂C单独建站,负担自己工厂的258.73万元。
综上A工厂负担217.92万元;B工厂应该负担101.54万元;C工厂应该负担258.73万元。
从实际问题出发,此方案对工厂A不公平,花费217.92万元要大于自己单独建站的213.95万元,工厂A显然不会答应,但是从节约总投资的角度出发,此方案做到了使费用降到了最低的情况,所以更合理的分配方案是应该让A工厂和B工厂一起分担与污水处理站建站费用相比花费较少管道费,根据污水比例4.5:
2.5分配总费用W=319.46万元,计算出工厂A应该负担205.37万元,B应该负担114.09万元。
从总体角度来看,本方案中A工厂和B工厂的花费都小于自己单独建站的花费。
方案六A,C联合建站合作处理污水,污水处理站建在C工厂下游,管道长度(L)
20(km),其中污水处理站的费用为W12=363.51(万元),根据污水比例4.5:
6计算出工厂A应该负担155.79万元,C应该负担207.72万元,由于C工厂不需要建造管道,因此管道费C2=35.16万元应由A工厂负担,为190.95万元。
工厂B单独建站,负担自己工厂的145.09万元。
三个工厂都小于自己单独建站的费用。
其中A工厂即使负担全部管道费用仍小于单独建站的213.95万元。
然而并不知道实际情况中三个工厂与河流之间的分布情况,三个工厂规模大小以及投资资金的情况,也不知道三工厂是否愿意协商采取总投资最小而损害自己利益的方案,因此如果三个工厂在河流的同一侧,如图1所示,那么优化后的方案二最为合适,如果ABC三个工厂不在一条直线上建站,形成一个三角形,河流沿着AC工厂,或者穿过BC工厂的中点流过,那么方案六的总投资最小,应该选择此方案。
六、模型推广和优化
通过对题目的解读我们不难发现这是一类分配问题,我们建立了一个总投资最小的合理分配模型。
仔细分析我们建立的模型不难发现:
此类模型可以做到在满足最基本的污水处理而建站的费用最低、最经济的情况,可以解决诸多效益分配问题,例如合伙经商受利问题,通过此类假设,可以获利最佳,但有一定的不公平性,如果是从整体上看,可以采用此类模型,做到收益最佳,若要求公正合理,则可以根据实际情况采取另外的合作对策。
本文模型的建立是为了解决污水处理的费用分担问题,通过污水处理站的选取,来做到费用最低。
通过资源配置最优化为杠杆平衡它们之间的分配关系。
决策者要通过概念抽象、关系分析可将各类影响因子放入规划模型中,可以通过相关的计算机软件得到兼顾全局的最优解,而我们主要使用的软件为SPSS。
分配问题是运筹学的一个重要分支,我们在解决此类分配问题的时候也使用了运筹学的知识,它在解决工业生产组织、经济计划、组织管理人机系统中,都发挥着重要的作用。
本题的求解是一个典型的分配问题,我们模型的使用范围非常广泛,涉及到投资时,有限的资金如何分配到各种投资方式上以及较公平的费用分担问题上,我们的模型下均能较好的解决。
当然了,在实际工厂选址时,要兼顾距离原料区和服务区的路程而不仅仅只考虑简单的三点一线距离模型,费用分担也不能仅仅依据污水量的比例来分担,还应该考虑污水的成分,排污时间和工厂的实际情况。
尽管如此,规划模型在工业、商业、交通运输、工程技术、行政管理等领域依然有着广泛的应用。
参考文献
【1】邓维斌、唐兴艳等著,SPSS19统计分析实用教程,电子工业出版社(2012)
【2】蔡常丰编著,数学模型建模分析,科学出版社(1995)
【3】刘来福、曾文艺编,数学模型与数学建模,北京师范大学出版杜(1997)
【4】管宇著,生活中的数学数学建模,浙江工商大学出版社(2013)
【5】寿纪麟等编,数学建模--方法与范例,西安交通大学出版社(1993)
附表1
管道影响
排污量影响
建站费(万元)
116.1052097
125.2021112
125.18
214.1367859
197.9277858
195.8
273.191126
272.7852
265.21
308.423958
312.8973466
332.56
329.4401763
338.2198813
322.93
358.3362475
350.5205232
372.63
376.5671176
362.6033444
363.29
392.9598234
386.1718249
374.56
410.7905679
420.2054981
430.18
461.6789876
473.9996147
459.29
附表2-各个方案的总费用
建站费
总费用
方案一
管道费
建站费A
建站费B
建站费B
A,B,C各自建
0
213.9459249
145.0913686
258.7336704
617.770964
方案二
管道费A-B20km
管道总长影响的建站费
排污量影响的建站费
总和的建站费
建站费3
A,B联合,C自建
35.16307613
264.7295605
286.4743321
284.2998549
258.7336704
578.1966015
方案三
管道A-C60km
管道总长影响的建站费
排污量影响的建站费
总和的建站费
建站费B
B自建,A,C联合
156.3654165
429.7646412
374.4828202
380.0110023
145.0913686
681.4677875
方案四
管道费B-C40km
管道总长影响的建站费
排污量影响的建站费
总和的建站费
建站费A
A自建,B,C联合
84.19313349
363.8501481
325.6850414
329.5015521
213.9459249
627.6406105
方案五
管道费
建站费
A,B,C一起建
156.3654165
431.2369024
587.602319