张国强数模土木学院交通工程101班.docx

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张国强数模土木学院交通工程101班

内蒙古工业大学数学建模课程

结

课

作

业

学院：

土木学院

班级：

交通10-1班

姓名:

*****

学号:

201020610***

大学生数学建模

摘要：

通过一学期的学习，对交通学生关于数学建模的认识、交通高等学课中渗透数学建模对学生的影响和渗透数学建模的必要性。

应选取简单、易懂、实用的数学建模案例；增设动手实践活动。

同时，Matlab强大的数值运算能力有助于建模计算、Matlab强大的图形处理能力有助于建模预测、Matlab丰富的工具箱功能有助于求解优化问题、Matlab在数学建模中可用来做拟合插值

关键字：

数学建模、MTLAB

前言

随着社会的发展，生物、医学、社会、经济⋯.等各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，急待人们去研究、去解决。

但是，社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量的是需要在各部门中从事实工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益。

他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题，而是为了解决实际问题而需要用到数学。

建立数学模型来解决实际问题的过程，是各行各业各领域大量需要的，所需要的远不只是数学知识和解数学题的能力，而需要多方面的综合知识和能力。

社会对具有这种能力的人的需求，比对数学专门人才的需求要多得多。

所以，作为教育部门，在学校里就应当努力培养和提高学生在这方面的能力。

当然有多种形式来达到这个目的。

比如开设数学模型方面的课程；让学生多接触实际工作，得到锻炼，等等。

但是，既然开展数学竞赛能促进数学研究专门人才的培养，那么为什么不可以开展一项竞赛来促进数学应用人才的培养呢？

MATLAB应用

近几十年来，数学科学在各领域扮演着越来越重要的角色。

数学建模以及相关计算逐渐成为各工程领域中的关键工具，数学技术作为数学与计算机的结合，已经成为现代高新技术的一个重要组成部分[1]。

Matlab作为一款功能和规模都比其他数学软件强大的数学软件，能够非常方便、快捷、高效地解决数学建模中所涉及的众多实际问题[2]。

本文针对数学建模过程中常出现的一些难点问题，提出了使用Matlab软件进行难点处理的一些对策和方法。

建模过程中的难点

数学建模主要步骤：

（1）根据研究对象的特点，确定建模的方法；

（2）对资料进行分析，提出合理的必要的假设；（3）根据假设以及题目目的，建立数学模型；（4）求解模型并进行误差分析和最优化决策。

通过多年的数学建模课程教学和建模竞赛辅导，我们看到在建模过程中，存在很多采用传统数学方法无法解决的难点问题。

总结为以下四个方面：

难点1：

在模型求解步骤中，很多时候需要求出模型的数值解或近似解，这是困扰绝大多数建模者的真正难点所在。

因为事实上，对具体的生产实际问题建模时，构造的数学关系式经常是十分复杂的，如“求高阶的微分方程的数值解”，若采用传统的“龙格-库塔算法”手工求解，其计算过程是极其复杂的，并且难以求出较为准确的数值解，更何况这些算法即使是数学专业的高年级的学生才接触一些皮毛。

若是数学计算能力稍弱一点的学生，在模型求解这一块将很难进行下去。

试想，若数值解无法求得，又怎么得到数据点？

又怎么作图分析呢？

难点2：

有时模型所求的并非是一个解析解，而是要求建模者对问题发展趋势进行预测。

建模过程中经常需要建立若干变量之间的关系，往往无法通过合理的假设，或无法通过定理、原理，经过有机分析而得到，只能借助于所得的数据和数据所含信息，选择适当数学形式拟合变量之间的关系，从而揭示变量的内在联系，这一过程不得不依靠Matlab一类数学软件。

难点3：

面对优化问题时，简单优化问题是容易解决的，但对于复杂的优化问题、大规模的计算、一般情形的推广却是棘手的。

例如：

求两点间的最短路可算，但92个点中求任意两点的最短路再进行比较却是不可算的。

这正是2011年全国建模竞赛B题所需求解的部分容，短短的建模竞赛三天时间都不够计算所用。

对于这种一般情形的、大规模的、复杂的优化问题，除了借助于数学软件编程解决之外别无他法。

难点4：

有的建模问题中数据多，并且杂乱无章，以致于对数据资料分析时无法快速高效地拨丝抽茧，观察和研究出实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系。

例如2011年5月的全国大学生数学建模夏令营的A题。

Matlab处理建模难点的对策与方法

Matlab包含计算矩阵、分析数值、可视化科学数据以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能，它能为其他工程领域必须进行有效数值计算提供了一种全面的解决方案，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。

应用Matlab强大的数值运算能力处理难点1

计算是数学活动（包括数学建模）的一个重要组成部分，能借助计算机来解决较为复杂的数学计算问题可以为建模者节省许多宝贵的时间，将其从繁杂的计算中解放出来，以便能够探究计算背后更为深奥的数学规律。

例如求微分方程近似解，在技术上求解有一定困难或者在初等数学范围内解不存在，此时应用MATLAB软件求出的近似解或许是一种有效的办法。

当建模时需要进行涉及微积分计算、矩阵计算、微分方程计算、概率统计计算和处理这四方面科学计算时，建议建模者首先考虑采用Matlab软件的强大计算功能。

例1求解微分方程组（Lorenz模型）[4]

该方程是非线性微分方程，所以不存在解析解，只能用数值解法求解。

设其中参数的值分别为，，初值设为，MATLAB程序如下：

首先编辑M-文件：

lorenzeq.m

functionxdot=lorenzeq（t,x）

xdot=[-8/3*x

（1）+x

（2）*x（3）;-10*x

（2）+10*x（3）;-x

（1）*x

（2）+28*x

（2）-x（3）];

然后编辑计算程序

t_final=100;x0=[0;0;1e-10];

[t,x]=ode45（'lorenzeq',[0,t_final],x0）;

plot（t,x）;figure;plot3（x（:

1）,x（:

2）,x（:

3））;

axis（[1042-2020-2025]）;

运行该方程数值解如图1，2所示：

应用Matlab强大的图形处理能力处理难点2

实际建模时，绝大多数情况下并不需要求出某个具体的数值解，而是想看看随着时间的变化，事情的发展趋势是怎样的，即对实际问题作预测。

此时作图分析是最好的手段。

而Matlab恰恰具有强大的图形处理能力，它提供了丰富的对二维和三维图形进行处理的函数，尤其是其拥有大量的能够对繁杂数据进行综合分析并实现数据可视化的函数，从而扩充了Matlab语言在数学建模的应用，使得问题更加确，也更易揭示问题的本质。

例207年华中数学建模竞赛[3]中就有用曲面图表现函数z=x^2+y^2，若用Matlab便可轻松编写程序：

clf,x=-4:

4;

y=x;

[X,Y]=meshgrid（x,y）;

Z=X.^2+Y.^2;

surf（X,Y,Z）;?

%或mesh（X,Y,Z）?

得到图3：

通过例2可以看到，应用Matlab软件不仅可以绘制直观、形象、有利于模型分析的图形，而且调用命令格式简单，易于掌握。

应用Matlab优化工具箱有助于处理难点3

无论做任何一件事，人们总希望以最小的代价取得最大的利益，而最优化问题就是如何在一切可能的方案中选择一个最好的方案，使得人们的目标得以实现。

优化问题在建模时也比较常见，建议建立优化模型时，最好使用Matlab优化工具箱。

例3：

为迎接2008年奥运会，满足公众查询公交线路的选择问题，某公司准备研制开发一个计算机系统解决公交线路选择问题。

例3为2007年的高教杯数学建模竞赛试题，这个模型的主要目的是线路选择的模型与算法。

需要解决的问题是：

对任意给出的两公交汽车站点之间线路（只考虑公交汽车线路），选择问题的一般数学模型与算法。

求出以下6对起始站到终到站最佳路线。

这种规划模型虽可用单纯型法、匈牙利法手工求解，但较为繁琐，计算量巨大而且耗费大量时间。

而Matlab各种工具箱（TOOLBOX）就可以方便、快捷地使用复杂的理论公式，免除了自己编写复杂而庞大的算法程序的困扰。

尤其是在做数学推导和理论验证时，有了这些功能丰富的工具箱，问题就变得十分简单。

应用Matlab的拟合与插值功能处理难点4

无论是从事数据整理与计算结果分析的科研人员还是参加建模竞赛的大学生，都要面对难点4。

面对一大堆离散数据，为了获得更为丰富的信息，找到数据的内在关系，就必须对数据进行插值。

数学建模者能快速而轻易地从中提取有意义的特征和结果，探索、发现规律，进而较快地找到数学建模的方法。

。

在建立数学模型的过程中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等等常呈非线性曲线关系。

即使建模者手中有大量的数据，也很难从中抽象出具体函数关系。

这种关系的表现，莫过于图形手段，所以再使用拟合的方法，寻找出满足数据点上拟合值与数据值差的平方和最小的那条曲线。

Matlab中的曲线拟合（curvefitting）就是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。

可见，Matlab软件恰恰有很强的解决常见拟合问题的能力。

例4：

2009年全国数学建模竞赛题：

混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加，现将一批混凝土作成12个试块，记录了养护日期x（日）及抗压强度y（kg/cm2）的数据：

养护时间x234579121417212856

抗压强度y35+r42+r47+r53+r59+r65+r68+r73+r76+r82+r86+r99+r

对于这种情况，我们需要用Matlab作辅助建立非线性回归模型，并对得到的模型和系数进行检验。

（注明：

此题中的+r代表加上一个[-0.5,0.5]之间的随机数）

模型程序为：

y=a+k1*exp（m*x）+k2*exp（-m*x）;

clc;clear;

x=[2347121728];

r=rand（1,12）-0.5;

y1=[35424759687686];

y=y1+r

myfunc=inline（'beta

（1）+beta

（2）*exp（beta（4）*x）+beta（3）*exp（-beta（4）*x）','beta','x'）;

beta=nlinfit（x,y,myfunc,[0.50.50.50.5]）;

a=beta

（1）,k1=beta

（2）,k2=beta（3）,m=beta（4）

%testthemodel

xx=min（x）:

max（x）;

yy=a+k1*exp（m*xx）+k2*exp（-m*xx）;

plot（x,y,'o',xx,yy,'r'）

运行并输出结果：

a=87.5244

k1=0.0269

k2=-63.4591

m=0.1083

有了这些参数，就可以得到非线性函数：

这样的非线性函数不仅精确，而且求解更加容易。

如果能有图像加以辅助就更好了，应用Matlab软件

得到下面图形：

由上述四方面可以看出Matlab在处理数学建模中难点的巨大优势，无论是数学模型的建立阶段，还是模型的求解、分析阶段，Matlab都有其他语言无法比拟的方便、快捷、高效的运用，能使数学建模者将主要精力放在问题的分析、模型的建立、算法研究等方面，既节约了时间，大大提高了数学建模的效率，又有利于提高数学建模的质量和解决实际问题的能力，丰富了数学建模的方法和手段，有力地促进了问题的解决。

数学建模对大学生能力的提高

数学建模对大学生创新能力的培养

创新是以新思维、新发明和新描述为特征的一种概念化过程。

创新人才结构应该包括以下六个方面要素：

创新意识、创新思维、创新精神、创新人格、创新的知识储备、创新技能。

从解决问题的方面来看，数学建模运用了归纳总结的方法解决实际的问题，它具有结合实际、辐射面广、依赖数学计算等特点。

通过与所学的知识和数学归纳方法的结合。

培养了大学生的创新能力。

同时一个具体的问题可以拥有很多种解决方法，这样使得大学生的想象力和创造力在问题的解决过程中拥有了很大的发挥空间，促进了大学生对于平时数学知识的融会贯通，养成了多层面思考的良好习惯，从而对大学生以后的创新思维培养提供了更好的方法。

数学建模对大学生动手实践和总结能力的培养

运用数学建模方法解决现实问题，包括运用数学方式归纳问题即构造抽象模型和利用计算机软件求解所建立的数学模型。

[1-3]数学模型的求解大多数要依赖于计算机软件才能完成，要求学生对计算机软件操作拥有一定的熟练度，如Matlab、Mathematics等计算机软件。

[4-5]这些软件的实际求解操作中能培养大学生的计算机操作能力，同时也培养大学

生运用已经学过的知识和在现实生活中总结出来的规律求解抽象问题的能力，这是符合当代大学应用型人才培养基本思想与方法的重要途径。

数学建模对大学生日常学习能力的培养

大学层次的高等数学教学不能只停留在理论阶段上，还应养成让大学生运用已掌握的数学知识解决现实问题的能力。

学生通过对数学建模课程的学习与探究。

使得学生养成科学的学习方法、浓厚的探究精神，并能从对实验数据的计算中总结并掌握推导事物规律的能力，进而提高学生对其他自然科学课程的学习兴趣。

数学建模对大学生未来踏入社会能力的培养

对于在校大学生而言，数学建模能够有效的解决生活中存在的实际问题，同时也能让学生认识到生活处处存在着数学。

对于即将踏入社会生活的毕业生而言，能够通过数学建模来增加他们对生活中实际问题的理解，从而让学生掌握更多的分析处理问题的方法，提升高等院校综合素质教育的质量，培养更多与社会接轨的应用型人才。

结束语

数学建模学习对大学生创新能力的培养是一个系统的教育过程，高校教育改革中仍处于摸索阶段，还有很多的难题有待于探索。

但是不可否认的是，数学建模在高校创新性人才培养中扮演着不可或缺的角色，许多在校大学生从中得到了很好的锻炼，拓宽了平时的知识面，提高了分析问题、转换问题、解决问题的能力，充分发挥了大学生的想象力、洞察力、创造力，促进了大学生综合素质的培养，更好的推动了高等院校培养应用性人才工程的实施。

在此感谢我们尊敬木仁老师，是您孜孜不倦的教导才使我们有了这么大的进步！

[参考文献]

[1]尹湘锋，熊之光，王艳.论数学建模在高校素质教育中的作用

[J].湘潭师范学院学报，2008，

（1）.

[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第3版）[M].北京：

高等

教育出版社，2003.

[3]裘哲勇，郝丽萍.数学建模教育在培养大学生素质中的作用[J].

杭州电子工业学院学报，2001，（5）.

[4]郑渊顺，李学顺，蔡海涛.数学建模课程与学生创新能力的培

养[J].数学理论与应用，2000，（4）.

[5]韦程东.指导学生参加全国大学生数学建模竞赛的探索与实践

[J].高教论坛，2007，

（1）.