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考研数学一答案解析

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学

（一）试题与参考答案

选择题

1）

当x0时，下列无穷小量最高阶是

A）

0xet21dt.

B）0xln1t3dt.

C）

0sinxsint2dt.

dt.

D）01cos

1）【答案】（D）.

xt2

解析】因为lim0xet21dt

故x0时，0xet21dt是x的3阶无穷小；

因为lim

x0+

0xln1

dtlimln1

x0+53

x025x32

lim

0+53x2

故x0时，

因为lim

0sinxsint2dtlimsinsinx2cosxlim

sin2x

lim

故x0时，

x3x0+

0sinxsint2dt是x的3阶无穷小；

x0+3x2

3x23,

因为lim01cosx

+0tdt

x01cosx

sint2dtlim

in1cosxsinxlim+

1cosxsinx

sin1cosx2

cosx

1cosx

111

又01cosxtdtt21cosx2x4，

2028

故x0时，01cosxsint2dt是x的4阶无穷小；

综上，x0时，无穷小量中最高阶的是01cosxsint2dt.

故应选（D）.

（2）设函数fx在区间1,1内有定义，且limfx0,则（）

（A）

（B）lim

（C）

fx在x0处可导.

fx0时，fx在x0处可导.x0x2

fx在x0处可导时，

lim

D）当fx在x0处可导时，limfx0.

x0x22）【答案】（C）.

【解析】

对于选项（A）：

取fxx，满足已知，但fx在x0处不可导，排除（A）

x,x0,

对于选项（B）：

fx满足已知，但fx在x0处不可导，排除（B）

对于选项（C）：

当f

0,x0,

x在x0处可导时，x在x0处连续，故

f0limfx0,且f0存在，不妨设f0limff0limfxA,

x0x0xx0x

故应选（C）.

n垂直，则

x,y0,0

3）【答案】（A）.

因为n,xy

1fx0,0,fy0,0,1，故

0,0

则limnx,y,fx,ylimx2y20.故应选（A）.

x,y0,0x2y2x,y0,0xy

（4）设R为幂级数anxn的收敛半径，r是实数，则（）

（A）anrn发散时，rR.

（B）anrn发散时，rR.

（C）rR时，anrn发散.

（D）rR时，anrn发散.

（4）【答案】（A）.

【解析】若anrn发散，则rR，否则，若rR，由阿贝尔定理知，anrnn1n1

绝对收敛，矛盾.故应选（A）.

（5）若矩阵A经过初等列变换化成B，则（）

（A）存在矩阵P，使得PAB.

（B）存在矩阵P，使得BPA.

（C）存在矩阵P，使得PBA.

（D）方程组Ax0与Bx0同解.

（5）【答案】（B）.

【解析】A经过初等列变换化成B，相当于A右乘可逆矩阵P变成B，即存在

可逆矩阵Q，使得AQB，得BQ1A.取PQ1，则存在矩阵P，使得BPA.

故应选（B）

6）已知直线L:

xa2yb2zc2与直线L:

xa3

a1b1c1a2

yb3zc3相交于b2c2

点，法向量αb,i1,2,3.则

（A）α1可由α2,α3线性表示.

（C）α3可由α1,α2线性表示.

（）

（B）α2可由α1,α3线性表示.

D）α1,α2,α3线性无关.

6）【答案】（C）

a1a2

【解析】已知量

L,L相交于一

点，故向

，即α,

1b与2bαcc12

线性无关

a1a2

且有b,b

2,b

b，即α

,ααα

123

线1性相关.

故α1,

α2,

α3线性相关，则

α3可由

α1,α2线性表示，

且表示法唯一.

故应选（C）

7）设A,B,C为三个随机事件，且

PAPBPC

4,PAB0,PAC

PBC121,

则A,B,C恰有一

个事件发生的概率为

（

）

（A）3.

（B）2.

（C）1.

（D）5.

7）【答案】（D）

【解析】事件A,B,C中前有一个发生的概率可用至少一个发生的概率减去至少发

生两个的概率表示，即P（ABCABCABC）P（ABC）P（ABACBC）,

而P（ABC）P（A）P（B）P（C）P（AB）P（AC）P（BC）P（ABC）因P（AB）0，故P（ABC）0，从而

P（ABACBC）

P（AB）

P（AC）

P（BC）P（ABC）

P（ABC）

0121

1206,

715

故P（ABCABCABC）

12612

.故应选（D）.

P（ABC）3401211210127

8）设X1,X2,,X100为来自总体X的简单随机样本，其中PX0PX1

x表示标准正态分布，则利用中心极限定理可得PXi

（A）11.（B）1.

100

55的近似值为（

C）10.2.（D）

）

0.2

8）【答案】（B）

100

【解析】由中心极限定理知，

10011

2D（X）10025，故

i1i22

Xi近似服从N（i1

100

2），其中E（Xi）50，

100PXii1

100

Xi50

5550

（1）.

故应选（B）.

二、填空题

9.limx

x01ln（1x）

9）【答案】1.

解析】

lim11limln（1x）ex1

x0ex1limx

ln（1x）x0e1ln（1x）12

xx1x2

lim

x2x21.x2

t21,

10.已知

yln（tt2

d2y

则2

10）【答案】2.

解析】因为

dydtdx

2t21

d2y

dx2

dtddy

2t2

ddydt

dxdx

dtt

dtdxdx

t21

故ddx22yt1

t21

11.设yf（x）满足f（x）

af（x）

f（x）0（a

0）,f（0）m,f（0）

n，则

0f（x）dx

11）【答案】am

解析】由已知，得

f（x）dx

f（x）af（x）dx0

f（x）af（x）

fxe

当0a2时，1,2a4a2i，故

ax4a2xCsin4a2

2C1cos2xC2sin2x,

aax4a24a2

2e2C1cos2xC2sin2x

从而limf（x）x

lim

f（x）0.

当a

2时，

1,2

1，

故

fxC1C2xex

fxC1C2xexC2ex

从而xlim

f（x）

lim

f（x）

当a2时，aa24，故

1,2

aa24aa24fxC1e2xC2e2x

fxaa24C1e

aa224xaa24C2eaa224x,

从而limf（x）x

limf（x）0.x

综上，

f（x）dx

f（x）af（x）lim

f（x）af（x）f（0）af（0）amn

xt22f

12.f（x,y）0xy

ext2dt，则

．

xy（1,1）

12）【答案】4e.

解析】因为ff，又fexxy2xxex3y2,

xyyxy

从而

4e.

13.行列式

（13）【答案】

解析】

14）【答案】2.

E（X）0,

E（XY）E（XsinX）2πxsinxπdx

π2π

02xdcosxxcosx|02

π02xsinxdx

0cosxdx

ππ

2π2

sinx|02.

故cov（X,Y）2π0π2.

三、解答题

15）（本题满分10分）

求f（x,y）

38y3

xy的极值.

（15）【解析】

因为f3x2

y,f24y2x,y

联立方程组f

y0,解得x0,

24yx

0,y0,

故驻点为0,0,

在点0,0处：

Afxx0,00,Bfxy0,01,Cfyy0,00,

ACB210，故0,0不是极值点.

在点,处：

612

Af1,1xx

10,B

11,

1,14,

612

ACB410，故

是极

小值点，

极小值为

113

126

216

（16）（本题满分10分）

4xy

计算IL4x2y2dx4x2y2dy

，其中

L为

2，

方向为逆时针方向

（16）【解析】补曲线L:

4x2y22,其中0为一个很小的数，使得4x2y221

在曲线L的内部，方向顺时针，则

4xy

LL14x2y2

dx4x2

L14x2y2dx4x2y2dy

记P4x2y2,Q4x2y2，因为

P4x8xyy2Q4x28xyy2

1dxdy

π.

从而I

17）

本题满分10分）

设数列an满足a11,（n

1）

an1（n

12）an.

证明：

当x

1时，幂级数

anxn收敛，

并求其和函数

17）【证明】由

1）a（n

1）a，

an1

n2，从而

lim

故当x1时，幂级数

anxn收敛.

当x1时，设Sx

anxn，且n1

a11,则

Sxnanxn1nanxn1

n1n2

n1axn1（n）axn

n1n1n12n

nanxnn1anxn

n1n2n1n

1xn1nanxn12S

x1xSx12Sx,

进而有1xSx1

2Sx,整理得

Sx21xSx1x，

xfxy2xydydzyf

xfxy2xy

zyfxy

2yxzzfxy

zdxdy

2y2

fxy

xy2xy

02π

xy2yx

19）（本题满分10分）

设fx在区间0,2上具有一阶连续导数，且f0

f20,Mmaxx0,2fx

证明：

（Ⅰ）存在0,2，使得f

Ⅱ）若对任意x0,2，fx

M，则M0.

19）【证明】（Ⅰ）因fx

0,2上连续，故存在最大值Mmaxx0,2

，则对

0,2，都有f0，命题成立

，因f

0f20,故存在x00,2，使得fx0

当x0

0,1，

由拉格朗日中值定理知，存在

10,x00,1，使得

1x0,

则有f1

当x0

则有f2

当x0

综上，存在

Ⅱ）假设

当x0

x0x0

1,2，由拉格朗日中值定理知，

存在

1，

2x0,21,2，使得

fx0

2x02x0

由拉格朗日中值定理知，存在

0,1，使得

0,2，使得f

0，因对任意x0,2，有f

0,1或x0

1,2时，存在0,2，

M，由（Ⅰ）知，

使得fM，矛盾，从而有

1时，有f1

M，则f1M，不妨设f1M.

构造函数gxfx

Mx,x0,1.

因为gx

gx0,x0,1，即fx

xM0,故gx单调不增.又g00,g10，从而

Mx,x0,1.

构造函数hx

fxMx2M,x1,2.

因为hx

，故hx单调不减.

0,h2

0，从而hx0,x1,2

，即fxMx2M.

综上，当x0

时，f

Mx,

0x1,

因为

Mx2M,1x2.

故与fx在x

若f1M，

综上，若对任意

limfx

limMxMM0,

x1x1

fxf1lim

x1x1

处可导矛盾，从而当

limMx2MM

x1x01时，有M0.

则可构造gxfxMx,hxfxMx

M0,

同理可证.

x0,2，

M，则M0.

20）（本题满分11

分）

设二次型fx1,x2

x124x1x24x22经正交变换

Qy1化为二次型y2

gy1,y2ay14y1

by2,其中a

Ⅰ）求a,b的值；

Ⅱ）求正交矩阵Q.

20）【解析】

Ⅰ）设二次型f的矩阵为A，则A

又f经正交变换XQY化成gy1

y2ay12

2by22,即

XQYfXTAX=Y

TQTAQYY

因此QTAQ=

2，由于Q为正交矩阵，故A与B相似且合同，

又ab，故a4,b1.

的特征向量

故可取P2

则有P1AP

β2,1β，则P2为正交矩阵，且有P21BP2

P1BP，因此PP1APP1B.

222112

21124

取Q=PP1PPT5555

1212122

QT=P1P2TTP2P1T,

Q1=P1P2T1P2T1P11P2P1T.

综上，有Q为正交矩阵，且满足QTAQB.

（21）（本题满分11分）

设A为2阶矩阵，P=α,A，α其中α是非零向量，且不是A的特征向量

（Ⅰ）证明P为可逆矩阵；

（Ⅱ）若A2α+Aα6α0，求P1AP并判断A是否相似于对角阵.

（21）【解析】（Ⅰ）若α与Aα线性相关，则α与Aα成比例，即有Aαkα.由于α是非零向量，故根据特征值、特征向量的定义知，α是A的属于特征值k的

特征向量

与已知矛盾，

故

α与Aα无关，从而

P可逆.

（Ⅱ）由

A2α

6α

0知，

A2α

Aα6α,则

α,Aα

α2α,AA

α,Aα6α

Aα

记B

，则有AP=

PB,得

P1APB，故A与B相似.

因为

632,

可知，B

的特征值为

故A的特征值也为13,22.

因此A可相似对角化

22.（本题满分11分）

设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1和X2服从标准正态分布，X3的概率分

布为P{X30}P{X31}12，YX3X1（1X3）X2.

Ⅰ）求二维随机变量（X1,Y）的分布函数，结果用标准正态分布函数

x表示；

Ⅱ）证明随机变量Y服从标准正态分布.

22）【解析】

Ⅰ）由

F（x,y）P{X1x,Yy}P{X1x,[X3X1（1X3）X2]y}

x,[X3X1（1X3）X2]y,X30}P{X1x,[X3X1

x,X2y,X30}P{X1x,X1y,X31}

P{X1

又X

2,X3相互独立，故

F（x,y）

x,X1

2（x）

（y）

（1X3）X2]

P{X1x,

y,X31}

X1y}.

当x

时，

F（x,y

）12

（x）

（y）

y）（x）1

当x

时，

F（x,y

）12

（x）

（y）

（x）

x）（y）1.

综上，

1（y）

F（x,y）

2（x）

Ⅱ）由（Ⅰ）有，

FY（y）limFx（x,y）

lim1（x）

故Y服从标准正态分布．

1（y）

1（y）1（y）（y）,

23）（本题满分11分）

1e,t0,设某种元件的使用寿命T的分布函数为：

F（t）

0,其他.

其中,m为参数且大于零.

（Ⅰ）求概率P{Tt}与P{Tst|Ts}，其中s0,t0；

（Ⅱ）任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1,t2,tn，若m已

知，

求的最大似然估计值.

（23）【解析】

1e（）m

（Ⅰ）

P{Tt}1P{Tt}1F（t）1

1[1e]e

（t）m

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