喀兴林高等量子力学习题EX23-27.doc
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练习23.1利用恒等式及展开，证明:
对整数和都成立；式中定义为
证明：
（王俊美）
因为
对 进行得
（这里）
则
所以
即
此题得证。
练习23.2利用上题，证明当为正整数，且时有
证明：
（王俊美）
⑴因为
所以
此题得证
⑵
所以
此题得证。
练习23.3证明当及时有（杨涛）
（1）
（2）
证明：
对
（1）式变形的
（3）
要证
（1）式成立即要求（3）式成立即可
由可得（3）式的左式
由可得
左式=右式
题中所列等式成立即
（1）式成立
对
（2）式变形，左式与右式同时乘以
则
假定
左式=右式
即题设中所列等式成立
#
练习23.4利用23.2与23.3的结果。
证明：
（杨涛）
（1）
及
（2）
证明：
由可得
假设
（1）式的左式
又
题设中
（1）式成立
据可得：
根据
（2）式我们知：
即
（2）式证毕
#
练习23.5利用上题结果，证明CG系数的Edmonds形式（23.19）式与（23.20）等价。
（做题人：
韩丽芳）
证明：
CG系数的Edmonds形式（23.19）式如下式所示
CG系数的另一种Racah形式（23.20）式如下所示
（1）
而
（2）
由公式
（3）
及
（4）
则
（1）式的最后一项为
将换成得
（5）
将（5）代入
（1）式并和
（2）式比较证得两式等价
即CG系数的Edmonds形式与Racah形式等价。
#
23.6证明（23.27）式与（23.20）式等价。
（做题人：
韩丽芳）
证明：
CG系数的Racah形式（23.20）式如下所示
CG系数的Wigner形式（23.27）如下所示
（1）
而
（2）
由公式
（3）
及
（4）
则
（2）式的最后一项为
（5）
将（5）式代入
（2）式得，再与
（1）式进行比较，证得两式等价，即CG系数的Racah形式与CG系数的Wigner形式。
23.7取,取转动,写出:
（1）;
（2）S;（3）（这三者都是矩阵）.（吴汉成）
解：
又
（1）根椐公式：
可得：
所以，
（2）根据CG系数Wigner形式的公式：
可得S的矩阵如下：
表示行序号：
，它们的取值，11表示第一行，10表示第二行，依此类推，-1-1表示第九行。
表示列序号：
，它们的取值，00表示第一列，11表示第二列，依此类推，2-2表示第九列。
（3）因为，所以的矩阵，则的值（把转置后，再取转置后矩阵元的倒数，即得的矩阵元）,如下：
jm表示行序号：
jm=00，11，10，1-1，22，21，20，2-1，2-2。
00表示第一行，11表示第二行，依此类推，2-2表示第九行。
表示列序号：
=11，10，1-1，01，00，0-1，-11，-10，-1-1。
11表示第一列，10表示第二列，依此类推，-1-1表示第九列。
#
23.8证明（23.70）式等号右边的分子
与无关。
（吴汉成）
证明：
已知（23.69）式为：
现取m--------------------------------
（1）式
另一方面，根据上升算符的性质：
，可把作用于（23.69）式两边,得:
两边除以，得：
--------------------------
（2）式
（1）
（2）两式比较，得：
此恒等式含有递推关系：
其中，。
现设，则综上所述，得：
-----（3）式
此（3）式表明了：
在范围内，取任意两值和时，该式都是恒等的，即该恒等式与的取值无关，所以证得与无关。
#
23.9.取，讨论在两种耦合方式中的取值范围与耦合方式无关。
（刘强）
证明：
第一种耦合方式：
（利用CG系数不为零的条件）
在和耦合中满足：
（１）
在和耦合中满足：
（2）
由（１）
（2）两式得
令得；
第二种耦合方式:
与先耦合成再与耦合，
同理我们可得到
令得；
当时，在两种耦合方式中的取值范围都是。
即证得的取值范围与耦合方式无关。
23.10在多粒子系统中，给定和，直接证明与对易。
（刘强）
证明：
为两粒子之间的距离，
对于多粒子系统中，给定为一个数值，
则上式=
即
证得与对易。
#
24.1
（1）写出：
的明显9×9矩阵形式。
（董廷旭）
（2）利用（24.21）式，由9个计算出（24.22）、（24.23）和（24.24）三式。
解
（1）
（2）
#
24.2证明除零秩外，所有不可约张量算符的迹都是零。
（董廷旭）？
？
？
？
证明：
根据不可约张量算符的定义，我们知道，具有在转动下按球谐函数的规律变换的一组算符作为其分量。
与球谐函数的性质做类比，我们可以通过幺正变换把不可约张量算符的矩阵变成对角阵，而对角元素就是相应本征函数的本征值，又因为其本征值必是2k+1个以原点对称的数，所以本征值的和为零。
从而得到对角矩阵的迹为零。
又因为幺正变换不改变矩阵的迹。
零秩显然本身不为零。
从而我们得出除零秩外，所有不可约张量算符的迹都是零。
练习24.3设已知一个二秩不可约张量的一个分量为式中和为二矢量，，亦同。
求的其余分量。
（做题人：
侯书进）
解：
由公式
并且由已知
得
即求得
同理
即得
由
得
及由
得
即求得求的其余分量为
练习24.4采用公式和为不可约张量算符的定义，证明两个不可约张量算符的直积的左方确实是一个不可约张量算符。
（做题人：
侯书进）
证明：
两个不可约张量算符和，可以通过它们的直积构成一些新的不可约张量算符
式中的取值为，上式可以简写成
要证明（24.30）式的左方确实是一个不可约张量算符，只需利用定义式及转动群的不可约表示的直积约化关系即可。
#
24.5
练习24.6采用与角动量的对易关系（24.27）式为不可约张量算符的定义,由此定义直接证明Wigner-Eckart定理.（杜花伟）
证明:
令
则根据（24.27）式
得
对于的每个,由给出个非零态矢量.
所以与无关,因此
#
练习24.7证明:
（做题人：
宁宏新）
证明:
由Wigner-Eckart定理得
因为有的个数为
所以
#
24.8
24.9
24.10设是电子的轨道和自旋量子数，证明在表象中有：
（仪双喜）
（1）
（2）
证明：
（1），对于有Wigner—Eckart定理知，
（2），对于有Wigner—Eckart定理知
及证得。
27.1
练习27.2
（1）根据（27.9）式，证明完全性关系：
（2）在表象和表象中，有证明当时有：
（吴汉成）
证：
（1）由（27.9）式可知在位置表象中，有：
，，，
显然有：
，
（完全性）
得证。
（2）由题意可知在表象和表象中，有：
，
得证
#
27.3
练习27.4由（27.34）式推出（27.35）式。
（吴汉成）
解：
（27.34）式：
两边除以得：
，得证。
#
练习27.5由（27.30）式证明散射态矢量的正交归一性：
（吴汉成）
解：
已知：
算符，。
显然得：
（）
（）
#
27.6
27.7
练习27.8讨论（27.30）式中的时间反演态，证明：
（吴汉成）
证明：
已知：
，则得：
等价（F为函数）
，
显然得：
即：
得证。
#
练习27.8讨论（27.30）式的时间反演态，证明：
（刘超）
证明：
讨论的时间反演态，这一变换的结果是时间变号，并且函数求复共轭。
我们知道动量与时间有关，也与时间有关
又因为
则的时间反演态为
因为为时间反演算符，由时间算符的定义得
即证得
27.9证明（27.39）式可以写成（刘超）
证明：
因为
所以
用作用得
同理有
所以
即证得：
可以写成
27.10证明：
。
（刘超）
证明：
已知LS方程为
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