苏教版数学必修2 第1章 111 棱柱棱锥和棱台.docx

苏教版数学必修2 第1章 111 棱柱棱锥和棱台.docx

《苏教版数学必修2 第1章 111 棱柱棱锥和棱台.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏教版数学必修2 第1章 111 棱柱棱锥和棱台.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

苏教版数学必修2第1章111棱柱棱锥和棱台

1．1　空间几何体

1．1.1　棱柱、棱锥和棱台

1．通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义．（重点）

2．掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及相关概念．（易错、易混点）

3．能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．（难点）

[基础·初探]

教材整理1　棱柱

阅读教材P5～P6第5行以上部分内容，完成下列问题．

1．棱柱的定义

一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．

2．棱柱的相关概念

平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做侧棱．

3．棱柱的特点

棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．

1．四棱柱共有______个顶点，________个面，______条棱．

【答案】　8　6　12

2．下列几何体中，棱柱有________个．

①　　　　　②　　　　　　③　　　④

图1－1－1

【解析】　由棱柱的特性可判断4个几何体均为棱柱．

【答案】　4

教材整理2　棱锥

阅读教材P6第6行～第13行的内容，完成下列问题．

1．棱锥的概念

当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．

2．棱锥的特点

棱锥的底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．

1．三棱锥是________面体．

【解析】　因为三棱锥有四个面，故三棱锥是四面体．

【答案】　四

2．五棱锥是由________个面围成．

【解析】　观察各棱锥可以归纳出，几棱锥就有几个侧面，因此五棱锥有5个侧面，1个底面，共6个面．

【答案】　6

教材整理3　棱台

阅读教材P6倒数第3行～P7例1以上部分内容，完成下列问题．

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台．即棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．

1．如图1－1－2所示的几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台.

【导学号：

41292001】

图1－1－2

【解析】　由棱柱、棱锥和棱台的定义知，①③④符合棱柱的定义，⑥符合棱锥的定义，②是一个三棱柱被截去了一段，⑤符合棱台的定义．故①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．

【答案】　①③④　⑥　⑤

2．下列叙述是棱台性质的是________．

①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都平行；④侧棱延长后交于一点．

【答案】　①②④

教材整理4　多面体

阅读教材P7例1下面的部分，完成下列问题．

棱柱、棱锥和棱台都是由一些平面多边形围成的几何体．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）棱柱的侧面是平行四边形．（　　）

（2）棱台的侧棱延长后不一定交于一点．（　　）

（3）棱台的侧面是梯形．（　　）

（4）面数最少的多面体是四面体．（　　）

【答案】　

（1）√　

（2）×　（3）√　（4）√

[小组合作型]

棱柱、棱锥和棱台的概念及结构特点

（1）下列命题中，正确的是______．

①五棱柱中五条侧棱长度相同；

②三棱柱中底面三条边长度都相同；

③三棱锥的四个面可以都是钝角三角形；

④棱台的上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1.

（2）下列说法正确的是__________．

①棱锥的侧面不一定是三角形；②棱锥的各侧棱长一定相等；③棱台的各侧棱的延长线交于一点；④有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台．

（3）下列三个命题，其中不正确的是__________．

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．

【精彩点拨】判断几何体结构特征的主要依据是棱柱、棱锥、棱台的概念．

【自主解答】　

（1）由棱柱的特点知命题①正确．三棱柱的底面不一定为等边三角形，所以命题②不正确．如图所示，取以点O为端点的三条线段OA，OB，OC，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝100°，且OA＝OB＝OC，这时△AOB，△BOC，△COA都是钝角三角形，只有△ABC为等边三角形，可让点C沿OC无限靠近点O，则∠ACB就可趋近于100°，所以每个面都可以是钝角三角形，故命题③正确．由棱台的定义知，棱台是由棱锥截得的，截面是棱台的上底面，故上底面的面积一定小于下底面的面积，所以命题④正确．

综上所述，可知①③④正确．

（2）棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故①②不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥底面得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，③正确；棱台的各条侧棱必须交于一点，故④错误．

（3）必须用一个平行底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体并不能说明各条侧棱是否交于一点，故不能判定②正确；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，③不正确．

【答案】　

（1）①③④　

（2）③　（3）①②③

对于判定关于棱柱、棱锥、棱台的命题真假的问题，求解的关键是抓住棱柱、棱锥、棱台的概念与特征．除此之外，还可以利用举例或找反例的方法来判断．

[再练一题]

1．给出下列几个命题：

①棱柱的侧面不可能是三角形；

②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；

③多面体至少有4个面；

④将一个正方形沿不同方向平移得到的几何体都是正方体．

其中真命题是________.

【导学号：

41292002】

【解析】　①②均为真命题；对于③，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故③也是真命题；对于④，当正方形沿与其所在平面垂直的方向平移，且平移的长度恰好等于正方形的边长时，得到的几何体才是正方体，故④不正确．故填①②③.

【答案】　①②③

空间几何体的判定

　如图1－1－3，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？

若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征．在立体图中画出截面．

图1－1－3

【精彩点拨】　依据棱柱的定义进行判断．

【自主解答】　

（1）因为这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，所以这个几何体不是棱柱．

（2）在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2；

在BB1上取F点，使BF＝2；

连结C1E，EF，C1F，

则过C1，E，F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC－EFC1，其侧棱长为2；

截去部分是一个四棱锥C1－EA1B1F.

认识一个几何体，需要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开．

[再练一题]

2.如图1－1－4所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.

图1－1－4

（1）这个长方体是棱柱吗？

如果是，是几棱柱？

为什么？

（2）用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体是棱柱吗？

如果是，是几棱柱？

并指出底面．如果不是，请说明理由．

【解】　是棱柱，并且是四棱柱．因为它可以看成由四边形ADD1A1沿AB方向平移至四边形BCC1B1形成的几何体，符合棱柱的定义．

（2）截面BCFE右边的部分是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1与△CFC1是底面．截面BCFE左边的部分是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．

[探究共研型]

多面体及多面体的有关概念

探究1　观察下面四个几何体，这些几何体都是多面体吗？

怎样定义多面体？

（1）　　　　

（2）　　　　（3）　　　　　（4）

图1－1－5

【提示】　这四个几何体都是多面体，多面体是由若干个平面多边形围成的几何体．

探究2　多面体集合的哪些性质可以作为它的特征性质？

【提示】　多面体的每一个面都是多边形．

探究3　根据图1－1－6所给的几何体的表面展开图，画出立体图形．

（1）　　　　　

（2）

图1－1－6

【提示】　将各平面图折起来的空间图形如图所示．

（1）　　　　　

（2）

　画出如图1－1－7所示的几何体的表面展开图．

（1）　　　　　

（2）

图1－1－7

【精彩点拨】　作出模型，将模型剪开，观察展开图．

【自主解答】　表面展开图如图所示：

（1）　　　　　

（2）

多面体表面展开图问题的解题策略

1．绘制展开图：

绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．

2．已知展开图：

若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．

[再练一题]

3．给出如图1－1－8所示的正三角形纸片，要求剪拼成一个正三棱柱模型，使它的表面积与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标在图中，并写出简要说明．

图1－1－8

【解】　如图，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边长为三角形边长的

，有一组对角为直角，余下的部分沿虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好可以拼成这个正三棱柱的上底．

1．棱柱的侧棱最少有________条，棱柱的侧棱长之间的大小关系是________．

【答案】　3　相等

2．如图1－1－9所示，不是正四面体的展开图的是________．

①　　　　②　　　　③　　　　④

图1－1－9

【解析】　可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．

【答案】　③④

3．下列四个命题：

（1）棱柱的底面一定是平行四边形；

（2）棱锥的底面一定是三角形；

（3）棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥；

（4）棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱．

其中正确的是________（填序号）.

【导学号：

41292003】

【答案】　（4）

4．如图1－1－10，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．

图1－1－10

【解析】　结合棱柱的定义可知倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．

【答案】　四棱柱

5．画一个六面体：

（1）使它是一个四棱柱；

（2）使它由两个三棱锥组成；（3）使它是五棱锥．

【解】　如图所示．

（1）是一个四棱柱；

（2）是一个由两个三棱锥组成的几何体；（3）是一个五棱锥．

（1）　　　

（2）　　（3）