为什么琴键要排成等比数列说数学与音乐的关系.docx

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为什么琴键要排成等比数列说数学与音乐的关系

为什么琴键要排成等比数列？

----说数学与音乐的关系

我开始学钢琴的时候就在想，钢琴的每个键频率是多少？

频率的排列有什么关系？

黑白键的排列方式是出于什么原因？

为什么有的音合在一起会和谐共处，有的音和在一起会打架？

后来发现数学其实可以解释这些问题。

下面的话可能不严格，但是音乐不需要严格，我们只需要列出想要满足的条件，然后在这些条件下找到一个极优解，问题就算解决了。

一、频率排列和琴键排列

说钢琴一共有88个键，它们各自的频率组成一个等比数列，比例系数是2开12次方，即2^（1/12），中音A（左起第49个键）的频率规定为440Hz，于是所有88个键的频率都确定了。

现在就有一个问题，为什么是等比数列而不是等差数列？

从“十二平均律”这个名字看，在最低频率和最高频率之间均匀分布88个音，也应该得到一个等差数列才对。

这里有两个原因。

第一个原因，也就是我觉得最重要的原因，是取决于人的听觉。

人耳分辨两个音的高低，靠的是两个音之间的频率比例，而不是频率差值。

比如说，一个正常人可以清楚的区分50Hz和55Hz，但却很难区分5000Hz和5005Hz（也许莫扎特可以，但是莫扎特是大神，大神是不具备参考意义的…）。

这就意味着，如果钢琴上音的分布是等差数列，那么越到高音，你就会发现两个音越难以区分。

这不是我们想要的。

当然这不能决定琴键必须是等比数列，因为如果你听到两个音不太好区分，那么只要增大它们的频率差即可，也就是说，耳朵的限制只能导致越到高音区，频率差越大而已。

但是从数学的角度，我们可以证明这些音的分布必须是等比数列。

这也就是我认为的第二个原因。

我们希望琴键的排列具有周期性，这样以便钢琴家找到每一个音的位置。

最方便的获取周期的方式就是：

一巴掌忽上去，就是一个最小正周期----这是手感上的周期性。

我们要确定这一巴掌里面能覆盖多少个键：

太少了不行----因为这样就限制了钢琴音乐的丰富性；太多了也不行----因为这样会导致每个键的宽度很窄，容易一指头戳到两个键。

就现有钢琴的排键密度，好多胖纸也会吐槽按不到两个黑键中间去，巴赫这货貌似就挺胖的…于是巴赫就想，一巴掌里面排12个音很恰当，7个白键，5个黑键，黑键以两个一组、三个一组，间隔排列在均匀分布的白键之间。

这是一个很好的排列方式：

这使得你一巴掌无论拍在什么位置上，都会拍到一个最小正周期，并且具有视觉上的周期性----钢琴家很容易一眼就确定每个音的位置。

要满足音的数量不多不少以及两个周期性要求，这是最好的排列方式了。

我们还希望一巴掌上去，大拇指和小拇指的两个音应该在相邻两个周期中的相同位置，比如说…（1234567）（1234567）（123…，一巴掌上去，大拇指和小拇指正好按到相邻的两个1、两个2等等。

这两个音要非常和谐的共存，简单地说就是听起来超爽~

（从下面开始，用粗体的形如Ab来表示A_b，即A下标b）

我们现在知道声音是周期性振动，音色取决于波形。

钢琴声音的波形不是sin，因此用f（wt）表示角频率为w的琴键的波形，那么两个音一起按下去的效果就是F（t）=f（w1t）+f（w2t），（不妨设w2>w1）。

我们希望F（t）的周期尽可能短（这里的“周期”指的是波形函数的数学周期，并不是人耳的听感周期，人听到的感觉是两个独立的频率），一个周期内的波形尽可能简单。

简单起见，设f（t）的最小正周期是1，F（t）的最小正周期是T，那么F（T）=f（w1T）+f（w2T），其中w1T=i，w2T=j，i和j都是正整数，那么T=i/w1=j/w2要尽量小，也就是说i=（w1/w2）j，我们要使i和j都尽量小。

最佳的方式就是w2=2w1，这时i=1，j=2，这是最优解了。

我们称上述这两个音为一个“八度”，因为一个周期内有7个白键，如果标记为1234567的话，这两个键就对应1和8。

上述结果表明，一个八度的频率应该是二倍关系，你一巴掌上去，总归是按到频率比例为1:

2的两个音。

现在我们还有一个想法，就是如果我按下两个键，只要它们的间隔相同，那么无论这两个键是在什么位置上，除了频率高低以外，它们合成的效果都应该相同（这说法有种“一致连续”的赶脚）。

从数学的角度讲，也就是说：

F1（t）=f（wit）+f（wjt），F2（t）=f（wmt）+f（wnt），如果j-i=n-m>0，那么存在a>0，使得F1（at）=F2（t）。

简单地说，就是我可以通过横轴缩放，使得F1（t）与F2（t）重合。

F1（at）=f（awit）+f（awjt）=F2（t）=f（wmt）+f（wnt），于是awi=wm且awj=wn，两式相除得到wj/wi=wn/wm。

令j-i=n-m=1，这就意味着w（i+1）/wi=w（m+1）/wm=Constant对任意的i和m成立，这就证明了琴键频率必须排成等比数列。

最后需要确定的是这个数列的比例系数。

一个八度的频率比例为1:

2，中间有11个音，12个间隔，因此比例系数是2^（1/12）。

至于为什么中音A的频率是440Hz，这完全是出于规定。

这样一来，所有的A音频率都是整数（除了最低音27.5Hz），其余的音频率全是无理数（当然实际调音的时候，只要差不多就行了…）。

钢琴上最低音频率为27.5Hz，最高音频率约为4186Hz。

二、听感周期与大小调

这里还有第三个周期性----听感上的周期性。

首先来一张琴键图：

上面这张琴键图，Do、Re、Mi、。

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、Si、Do，分别对应CDEFGABC。

以#代表升，b代表降，那么一个周期内的5个黑键依次称为#C、#D、#F、#G、#A或bD、bE、bG、bA、bB。

我们说，两个相邻琴键的间隔称为半音，比如C5和#C5、E5和F5、bA5和A5；中间隔一个琴键则称为全音，比如C5和D5、#F5和#G5、E5和#F5。

以大调为例。

C大调是以C作为Do，然后取间隔为“全，全，半，全，全，全，半”，依次确定Re、Mi、。

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、Si、Do。

这些音全部在白键上。

当然也可以随便找一个音定义为Do，然后按照上面所说的间隔确定相应的Re、Mi、。

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、Si、Do，这也构成一个大调。

如果你选了图中的D定义为Do，那么按照上面的规则构造出的就是D大调；如果你选了bE5作为Do，那么就造出了降E大调（不要问我为什么不叫升D大调，这个我也不知道…）。

除了C大调以外的所有大调中都会出现黑键。

听感上的周期性就在于两点：

1）任何两个大调，除了频率整体的不同以外，给人带来的听感是完全相同的。

也就是说如果你没有绝对音高能力（就是我随便给你弹一个音，你就能听出来它是哪个键），那么我冷不丁给你来个C大调，然后过段时间再给你来个E大调，你就完全不能区分出它们的不同…2）如果你弹C大调，从某个很低的Do开始往上弹，那么你的听感就是（DoReMiFaSoLaSi）（DoReMiFaSoLaSi）…的循环，当然频率会越来越高，但是除整体频率变化之外，每个周期内音和音之间的联系感是完全相同的。

当然还有小调，它们的间隔规则是“全，半，全，全，半，全+半，半”。

例如a小调，是ABCDEF#GA。

小调的效果就是比较忧郁比较冷，很容易听出它和大调的区别。

但是如果你没有绝对音高能力，那么不同的小调在你听来就是相同的（如果你听到两个小调的间隔时间够长的话）…

一言以蔽之，就是说两个频率数列{ai}和{bi}，你能否听出它们的区别，取决于{ai/bi}是不是常数列。

你会认为A大调和B大调、或者a小调与b小调是相同的，因为{Ai/Bi}和{ai/bi}都是常数列；但你很容易区分（DoReMiFaSoLaSi）和（FaSoLaSiDoReMi）的区别，因为它们相除不是常数列。

琴键排列的最小正周期导致你必须等到下一组（DoReMiFaSoLaSi），才会有相同的听感，之前的任意一组7个白键，听感都是互不相同的。

作曲家喜欢用转调，比如一首曲子，本来是A大调，中间转成了E大调直到结尾，如果两段的旋律相同，那作曲家和音乐家会听出这两段不一样，但一般人会觉得这两段就是在重复。

也许在转调的过程中，你能听出一些变化来，但是转完以后，你就分不清前后的区别了，比如kisstherain最后一段，转调的瞬间会让你听起来别扭，但是转完了以后，你会觉得旋律和之前就是一样的；再比如《月光》第三乐章，听起来像是重复了3遍，前两次确实是全同的重复，但是第三次，它就已经不在同一个调上了。

更巧妙的曲子，旋律类似，但是音的间隔有微调（相当于一个数列的大小关系不变，但是间距有变化，效果类似于大调转小调），如果两个旋律前后隔得够远，一般人也有可能听不出区别来，贝多芬经常干这种事情，比如的《悲怆》和《黎明》的第一乐章。

三、和谐与不和谐

前面提到过，听感取决于波形。

如果波形简单，周期性好，那么听起来就爽；反之就不爽…为了看到波形效果，我们现在假设钢琴单音的波形就是sin，这样几何画板就能画出来了。

上述表格第二列是2^（i/12），第三列是第二列的有理数近似值，第四列是我标记音高的方式，第五列是对应的音。

最和谐的当然是八度两个音了，它们的频率关系是二倍，波形如下：

看起来很爽，所以听起来也一样。

正是因为要这么爽，所以它决定了八度频率的二倍关系。

再看一个和谐的例子。

在表中可以看出So和Do的频率关系约是1.5倍，可以猜测如果Do+So+Do，即1+5+8这三个音一起按下去，应该会很和谐。

波形如下：

看上去确实很和谐，如果不相信的话，可以去钢琴上弹一下，确实听起来很爽。

同理，Do+Fa+Do也应该很漂亮：

大三和弦是Do+Mi+So，即1+3+5，这是一个协和和弦，可以看到波形如下：

虽然没有前三张漂亮，但是对耳朵而言，这样还算是很有规律的…

小三和弦是1+2.5+5，这个和弦就不如大三和弦那么舒服了，波形如下：

确实是有点乱，不过听起来还算是可以。

下面随便找一个听上去就蛋疼的组合，1+1.5+3+4，波形如下：

我看这个波形就觉得它很蛋疼，甚至还有拍频的影子。

也许你会觉得它看上去没比小三和弦烂多少，但是如果你看到它后面的样子：

你最好拿它去和Do+So+Do的波形比一下。

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当然以上只是数学的一种解释，漂亮的波形确实能产生好听的声音，但是蛋疼的波形不一定就会难听。

不同的音组合会给人不同的感受，就好像小调带来忧郁抒情的氛围，月光、辛德勒名单、肖邦夜曲第一首，（还有我军训时写给14连的那首煞风景的无词歌），这些都是用小调写的，但如果你把小调的和弦画成波形，那必须是很蛋疼的样子…作曲的时候用哪些音，取决于作曲家的听感。

至于为什么不同的音乐（无非就是各种频率和音色的音按某些规律组合）给人带来的感受不一样，那就不清楚了…