喀兴林高等量子力学习题EX28-31.doc
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练习28.1证明:
（杜花伟）
证明:
根据公式（28.4）
可知
则
#
28.2证明下列二式成立：
（刘强）
证明：
因为：
又因为：
即有
又因为
同理可证得
综上所述
两式成立。
#
28.3利用（28.32）和（28.33）二式证明（27.51）式，即
证明：
（董廷旭）
#
练习28.4从（28.29）和（28.30）二式出发,证明（27.60）式,即（杜花伟）
提示可先证明
证明:
摩勒算符的定义为:
用哈密顿算符从左作用上式两端,得
和都是的本征态,则有
即
因（28.29）和（28.30）二式可写成
故（27.60）式得证,即.
#
28.5
28.6证明微观可逆性定理：
并解释上式的意义。
证明：
（董廷旭）
设分别为指定的末态和初态，对于弹性散射来说
意义：
对于粒子散射的整个过程，让粒子反向运动，末态变成初态，则改变后的散射的末态与改变前的初态概率幅相等。
#
练习28.7试从（28.41）式直接证明（28.56）式.（杜花伟）
提示
证明:
令,当;,当.
利用
有
故
再利用
得
#
28.8证明在相互作用绘景中默勒算符为（刘强）
将此式直接对求导证明：
证明：
因为在相互作用绘景中默勒算符为
（1）
又因为
可见，是两个含时的演化算符乘积的极限
所以是一个不含时的幺正或等距算符。
将
（1）式对时间求导得
即得证
#
28.9用相互作用绘景证明：
并与练习28.5第
（2）问中的公式比较。
证明：
（董廷旭）
把式中的用替换就得证。
与28.5题的公式比较，可得出两者是一样，与绘景无关。
#
练习28.10取一个包含散射中心的大封闭曲面,在散射进行过程中一个平面波从左边进来,从右边出去,同时又有一个球面波出去.那么散射现象不是违反了概率守恒的原则了吗?
（杜花伟）
答:
此散射现象没有违反概率守恒原则.
散射的过程,是以动量入射的粒子散射后成为指定动量的概率幅.入射波演化到成为一个平面波加一个复杂的近处结构和一个远处的向外球面波,在远处是把一个向外的球面波展开成为不同方向的平面波和向内的球面波.展开后让时间继续从前进,到时,近处的复杂结构和向内的球面波全部消失,只剩下一些向不同方向传播的平面波的叠加.可见从到的演化,远处向外的球面波按不同方向的平面波的展开一点都没有变,变化的是近处的复杂结构.
#
28.11
28.12
直接对时间求导，得出（28.65）式。
解：
（董廷旭）
#
30.1两个全同粒子构成一个系统，讨论它的自旋希尔伯特空间。
证明若粒子的自旋为，则对称希尔伯特空间与反对称希尔伯特空间维数之比为。
（韩丽芳）
证明：
该系统有两个全同粒子构成，下面讨论它的自旋希尔伯特空间。
代表单粒子的一组完备自旋物理量，代表这组物理量各组不同的本征值。
则整个系统的希尔伯特空间的基失为
则对称化基失为
反对称化的基失为
若自旋为，对于对称化的基失，
若，则有个基失；
若，则有个基失。
对于反对称化的基失，则有个基失。
则
即证得对称希尔伯特空间与反对称希尔伯特空间维数之比为。
#
30.2两个自旋为的粒子构成全同粒子系统。
若其单粒子自旋态矢量和的量子数分别为和。
试在其自旋希尔伯特空间中具体写出系统的全部对称基失和反对称基失，并给出每个基失的总自旋角动量和之值。
（韩丽芳）
证明：
对于两个粒子构成的系统
对称化基失为
反对称化的基失为
因为单粒子自旋态矢量和，则该系统的希尔伯特空间的全部基失为
对称化基失：
对反称化基失：
#
练习30.3取单电子算符B为自旋，则本征值，简写为。
讨论5电子系统的对称自旋态：
（输入人；：
王俊美检阅人杜花伟）
系统的总自旋算符为，
⑴ 求对的作用，即求写成形式。
⑵ 证明都是的本征矢量，求出本征值。
⑶ 证明都是的本征矢量，求出本征值.
解:
⑴
同理
⑵证明：
所以 都是的本征矢量，本征值分别
由⑴解可知
由此可证都是的本征矢量，其本征值均为0。
此题得证
⑶证明：
由此可以证明都是的本征矢量，其本征值分别为。
练习30.4设单粒子算符B有三个本征值,简写为1，2，3，对于玻色子系统计算下列内积：
，，，
对于费米子系统，计算
，，
态矢量中的粒子数n已经省去，单粒子的本征矢量是归一化的。
（胡项英）
解：
玻色系统并且根据内积定理：
公式（30.9）
对于费米系统，，又内积定理得：
#
30.5
（1）试将三粒子系统的对称化函数
具体展开成六项。
（做题人：
刘强审核人：
韩丽芳）
（2）利用此展开具体验证：
若函数对其自变量的对调是对称化的（即具有对称性或反对称性），则对称化的函数的作用与普通的函数相同，即具有类似于下式的关系：
解：
（1）对称化函数展开为：
（2）证：
若有
则有：
而且有
即证得：
即对称化的函数的作用与普通的函数相同。
#
练习30.6内积定理（30.9）式的右边各项中的左矢是相同的.内积定理还有一个类似的形式,其右边各项中右矢是相同的,试导出这一形式的内积定理.（仪双喜）
解:
即证得内积定理的另一种表达式.
#
30.7
练习31.1证明与的对易关系（31.4）和与的对易关系（31.6）式。
（31.4）
（31.6）
（解答：
熊凯；校对：
李泽超）
证明：
将和分别作用在n粒子基左矢上
（1）
（2）
由得：
（3）将与分别作用在右矢上
（3）
（4）
由得：
□
练习31.2计算下列对易关系：
（解答：
熊凯；校对：
李泽超）
解：
（1）令为处于b态的占有数算符由（31.10）、（31.11）两式可得：
（31.10）
（31.11）
从上式可以看出当时中括号为0，时δ函数为0，所以上式为零
因为：
上式中第四步计算用到了（31.6）式
∴
（2）
从上式可以看出：
当时括号为0，时δ函数为0，所以上式为0
∴
□
练习31.3讨论全同粒子的自旋态，设自旋为1/2的粒子的单粒子的本征矢量为，相应的本征值为；分别是态和态的产生和消灭算符。
现定义以下4个算符：
（解答：
陈玉辉核对；项朋）
求它们的对易关系：
解：
31.4
练习31.5取单粒子算符为,其两个本征态为,.为相应的产生算符和消灭算符.现有对称的多粒子自旋态求下列算符作用到这些态上的结果:
式中及取两值,.（做题人：
杜花伟）
解:
（1）当时,作用到多粒子自旋态上的结果:
（2）当时,作用到多粒子自旋态上的结果:
#
31.6：
（梁端）
证明：
根据算符定义：
令作用于任意一个基矢
则：
根据产生算符和湮灭算符的定义：
原式可以变成
同理，将作用于任意一个基矢，利用产生算符和湮灭算符可以得出：
故：
即：
同理，用上面方法可证：
#
31.7
31.8试利用X和B两个表象中产生算符和消灭算符之间的关系31.21和31.22两式，直接证明在这两个表象中总粒子数算符相同，即（刘强）
证明：
因为：
所以：
即证得
也就是说：
在这两个表象中总粒子算符相同。
#
练习31.8试用X和B两个表象中产生算符与消灭算符之间的关系（31.21）和（32.22）两式，直接证明在这两个表象中总粒子数算符相同，即：
。
（吴汉成）
证明：
由题意可知（31.2）和（32.22）两式分别为：
和。
为便于讨论把式中的改为，则有：
。
所以：
（）
（）
（）
（把改为）
。
于是得证。
#
31.9证明。
（孟祥海）
证明：
利用公式：
并且是数，设为。
公式：
，代入上式，可得上式为零。
即，。
#
31.10在对称化的位置表象中，由与（31.35）
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