近世代数第四章 整环里的因式分解.docx
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近世代数第四章整环里的因式分解
第四章整环里的因式分解
§1.素元、唯一分解
本讲中,总假定
为整环,
为
的商域.
1.整除
定义1设
为整环,
如果存在
使得
则称
整除
记作
;并称
是
的一个因子,
是
的倍元.
∙整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广,因此有许多与整数的整除相类似的性质.
∙整除有下列常用的性质:
（1）如果
则
;
（2）如果
,则
.
2.相伴
定义2整环
的一个元
叫做
的一个单位，假如
是一个有逆元的元。
元
叫做元
的相伴元，假如
是
和一个单位
的乘积：
定理１ 两个单位的乘积也是一个单位.单位
的逆元
也是一个单位.
例１因为整数环
的单位仅有１与-１，故任一非零元
有２个相伴元：
与
.
例２
有四个单位，１，-１，i,-i,所以任一非零元
，
有四个相伴元：
定义3 单位以及元
的相伴元叫做
的平凡因子.若
还有别的因子，则称为
的真因子.
３. 素元
定义4设
为整环，
，且
既非零也非单位，如果
只有平凡因子，则称
为一个素元.
定理２ 单位
与素元
的乘积
也是一个素元.
定理３ 整环中一个非零元
有真因子的充分且必要条件是：
，这里
，
都不是单位.
推论 设
，并且
有真因子
：
.则
也是
的真因子.
定义5 我们称一个整环
的元
在
中有唯一分解，如果以下条件被满足：
（i）
（
为
的素元）
（ii）若同时有
（
为
的素元）
则有
，并且可以调换
的次序，使得
（
为
的单位）
整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的对象只能是非零也非单位的元.
例３ 给整环
.那么有：
（1）
的单位只有
.
（2）适合条件
的元
一定是素元.
首先
，
；又由
（1）,
也不是单位.设
为
的因子：
那么
但不管
，
是何整数，
或４
若
，则
是单位.若
，则
而
为单位.因而
是
的相伴元.从而
只有平凡因子，故
是素元.
（3）
没有唯一分解：
我们有
（A）
故由
（2）,2,
都是
的素元.由
（1）,
都不是２的相伴元，因而
给出了４的两种不同分解从而４没有唯一分解.
这说明并不是任意整环
中的非零和非单位的元都有唯一分解.
$2.唯一分解环
定理１ 一个唯一分解环有以下性质：
若一个素元
能够整除
，则有
整除
或
.
定理２ 做定整环
有如下性质：
（i）
的每一个非零非单位的元
都有一个分解.
（
为
的素元）
（ii）
的一个素元
若能够整除
，则有
整除
或
，则
一定是一个唯一分解环.
定义6 元
叫做
的公因子，如果
.
定理３ 一个唯一分解环
的两个元
和
在
里一定有最大公因子.
和
的两个最大公因子
和
只能差一个单位因子：
（
是单位）.
推论 一个唯一分解环
的
个元
在
里一定有最大公因子.
的两个最大公因子只能差一个单位因子.
定义 一个唯一分解环的元
称为互素的，如果它们的最大公因子是单位.
$3.主理想环
引理１ 设
是一个主理想环.若在序列
里的每一个元是前一个元的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.
引理２ 设
是一个主理想环，那么
的任一素元
生成一个最大理想.
定理 一个主理想环
是一个唯一分解环.
证：
我们证明
是一个唯一分解环.
设
且
不是零也不是单位.若
不能写成有限个元的乘积，则
不是一个素元，所以由$４.１的推论，
都是
的真因子.
的这两个真因子中至少有一个不能写成素元的乘积，否则
就是素元的乘积而与假设矛盾.于是有这样的结论；若
没有分解，则
一定
有一个真因子
也没有分解.这样，在
没有分解的假设之下，就得到一个无穷序列
在此序列中每一个元都是前一个元的真因子.依照引理１，这是不可能的，所以
一定有分解.即满足$４.２定理２中的条件（i）.
又设
的素元
能整除
的元
乘积
，那么
这就是说在剩余类环里
，
所代表的类与o所代表的类相同：
由引理２，
是最大理想，因而由$３.９的定理，
是一个域.因为域没有零因子，所有由上面等式有
或
即有
或
亦即
或
从而
或
，故也满足$４.２定理２的条件（iii）.因而
是一个唯一分解环.
$4.欧氏环
定义 一个整环
叫做一个欧氏环，如果
（i）有一个从
的非零元所作成的集合
－｛０｝到全体非负整数作成的集合的映射存在；
（ii）任意给定的一个非零元
，
的任何元
都可以写成
的形式，这里有
或
例 整数环是一个欧氏环.因为：
定理１
是一个适合条件（i）的映射并且任意给定整数
，则任何整数都可写成
这里
或
上面定义中的映射
称为欧氏映射.
定理１
每一个欧几里德环都是主理想整环,因而也是唯一分解环.
证明设
为欧几里德环
的任一理想,
为欧氏映射.
（1）如果
则
.
（2）如果
令
则
非空,且
.设
使得
为
中的最小数,下证
.
任给
因为
所以存在
使得
.于是,
.
如果
则
与
的选取矛盾.所以,
则
于是
.由
的任意性可知
.
又
所以
从而
.
这就证明了,
的任一理想都是主理想,故
为主理想整环.
定理２ 整数环是主理想，因而是唯一分解环.
定理３ 一个域
上的一元多项式
是一个欧氏环.因而是一个唯一分解环.
$５.多项式环的因子分解
本章讨论唯一分解环
上的一元多项式环
.我们称
的素元即素多项式为不可约多项式，日有真因子的多项式叫做可约多项式.
定义
的一个元
叫做一个本原多项式，如果
的系数的最大公因子是单位.
我们有如下结论：
（A）
的单位是
的仅有的单位.
（B）一个本原多项式不会等于零.
（C）若本原多项式
可约，那么
且有
（
表示
的次数）
引理1设
，那么
是本原多项式的充分且必要条件是
和
都是本原多项式.
设
是
的商域，那么多项式环
是唯一分解环.
引理2
的每一个非零多项式
都可以写成
的形式，这里
是
的本原多项式.如果
也有
的性质，那么
，（
为
的单位）
引理3
的一个本原多项式
在
里可约的充分必要条件是
在
里可约.
引理4
的次数大于零的本原多项式在
里有唯一分解.有了以上的结论，我们就有
定理如果
是唯一分解环，，则
也是唯一分解环.
$６.因子分解与多项式的根
定义 整环
的元
叫做的多项式的一个根，如果有
定理１
是
的一个根的充分且必要条件
是整除
定理２
的
个不同的元
都是
的根的充分且必要条件是
整除
推论 若
的次数为
，则
在
中至多有
个根.
定义
的元
叫做
的一个重根，如果
能被
整除，这里
是大于1的整数.
定义 由多项式
唯一决定的多项式
叫做
的导数.
导数适合如下计算规则：
定理３
的一个根
是一个重根的充分且必要条件是
整除
推论 设是
唯一分解环.
的元
是
的一个重根的充分且必要条件是：
能整除
和
的最大公因子.
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