高考数学分项函数附解析上海专版.docx

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高考数学分项函数附解析上海专版

2017高考数学分项—函数（附解析上海专版）

【2015/2016】

1、【2015高考上海文数】设为的反函数，则.

【答案】

【解析】因为为的反函数，，解得，所以.

【考点定位】反函数，函数的值.

【名师点睛】点在原函数的图象上，在点必在反函数的图象上.两个函数互为反函数，则图象关于直线对称.

2.【2015高考上海文数】方程的解为.

【答案】2

【考点定位】对数方程.

【名师点睛】利用，将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.

3.【2016高考上海文数】已知点在函数的图像上，则.

【答案】

【解析】试题分析：

将点（3，9）代入函数中得，所以，用表示得，所以.

【考点】反函数的概念以及指、对数式的转化

【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：

一解（反解x）、二换（x与y互换）、三注（注意定义域）.本题较为容易.

4.【2016高考上海文数】设、、是定义域为的三个函数．对于命题：

①若、、均是增函数，则、、均是增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（）.

（A）①和②均为真命题（B）①和②均为假命题

（C）①为真命题，②为假命题（D）①为假命题，②为真命题

【答案】D

【解析】

【考点】抽象函数、函数的单调性、函数的周期性

【名师点睛】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，是高考常考内容.本题有一定难度.解答此类问题时，关键在于灵活选择方法，如结合选项或通过举反例应用“排除法”等.本题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等.

5.【2015高考上海文数】（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.

已知函数，其中为实数.

（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.

【答案】

（1）是非奇非偶函数；

（2）函数在上单调递增.

【考点定位】函数的奇偶性、单调性.

【名师点睛】函数单调性的判断

（1）定义法：

取值、作差、变形、定号、下结论．

（2）复合法：

同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．

（3）导数法：

利用导数研究函数的单调性．

（4）图象法：

利用图象研究函数的单调性．

6.【2016高考上海文数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分8分.

有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到点或河边运走.于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图.

（1）求菜地内的分界线的方程；

（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为.设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另有一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的“经验值”.

【答案】

（1）（）；

（2）矩形面积为，五边形面积为，五边形面积更接近于面积的“经验值”．

【解析】

（2）依题意，点的坐标为．

所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．

矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差

的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”．

【考点】抛物线的定义及其标准方程、面积计算

【名师点睛】本题主要考查抛物线的实际应用，“出奇”之处在于有较浓的“几何味”，即研究几何图形的面积，解题关键在于能读懂题意.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力、数学的应用意识等.

7.【2016高考上海文数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知R，函数=.

（1）当时，解不等式1；

（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；

（3）设0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

【答案】

（1）；

（2）或；（3）．

【解析】

（2）有且仅有一解，

等价于有且仅有一解，等价于有且仅有一解．

当时，，符合题意；

当时，，．

综上，或．

【考点】对数函数的性质、函数与方程、二次函数的性质

【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答本题的关键是利用转化与化归思想、应用函数的性质，将问题转化成二次函数问题，再应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题的易错点是将复杂式子进行变形的能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.

一．基础题组

1.【2014上海,文3】设常数，函数，若，则.

【答案】3

【解析】由题意，则，所以.

【考点】函数的定义.

2.【2014上海,文9】设若是的最小值，则的取值范围是.

【答案】

【解析】由题意，当时，的极小值为，当时，极小值为，是的最小值，则.

【考点】函数的最值问题

3.【2014上海,文11】若，则满足的取值范围是.

【答案】

【考点】幂函数的性质.

4.【2013上海,文8】方程＝3x的实数解为______．

【答案】log34

【解析】＋1＝3x＝3x－13x－1＝±33x＝±3＋1＞03x＝4x＝log34.

5.【2013上海,文15】函数f（x）＝x2－1（x≥0）的反函数为f－1（x），则f－1

（2）的值是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由反函数的定义可知，x≥0,2＝f（x）＝x2－1x＝，选A.

6.【2012上海,文6】方程4x－2x＋1－3＝0的解是__________．

【答案】log23

【解析】原方程可化为（2x）2－2×2x－3＝（2x－3）（2x＋1）＝0，所以2x＝3，x＝log23.

7.【2012上海,文9】已知y＝f（x）是奇函数，若g（x）＝f（x）＋2且g

（1）＝1，则g（－1）＝__________.

【答案】3

【解析】由g

（1）＝f

（1）＋2＝1，得f

（1）＝－1.

由f（x）为奇函数得f（－1）＝1.

所以g（－1）＝f（－1）＋2＝1＋2＝3.

8.【2012上海,文13】已知函数y＝f（x）的图像是折线段ABC，其中A（0,0），B（，1），C（1,0）．函数y＝xf（x）（0≤x≤1）的图像与x轴围成的图形的面积为__________．

【答案】

9.【2011上海,文3】若函数f（x）＝2x＋1的反函数为f－1（x），则f－1（－2）＝________.

【答案】

【解析】

10.【2011上海,文14】设g（x）是定义在R上、以1为周期的函数．若函数f（x）＝x＋g（x）在区间0,1]上的值域为－2,5]，则f（x）在区间0,3]上的值域为________．

【答案】－2,7]

【解析】

11.【2011上海,文15】下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，＋∞）上单调递减的函数为（）

A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D．

【答案】A

【解析】

12.【2010上海,文9】函数f（x）＝log3（x＋3）的反函数的图像与y轴的交点坐标是________．

【答案】（0，－2）

【解析】法一：

函数f（x）＝loga（x＋3）的反函数为g（x）＝ax－3，而g（0）＝a0－3＝－2.

∴g（x）的图像都过点（0，－2）．

法二：

∵f（－2）＝loga1＝0，∴函数f（x）的图像都过点（－2,0），

又∵原函数与其反函数的图像关于直线y＝x对称，

∴其反函数的图像经过点（0，－2）．

13.【2010上海,文17】若x0是方程lgx＋x＝2的解，则x0属于区间…（）

A．（0,1）B．（1,1.25）

C．（1.25,1.75）D．（1.75,2）

【答案】D

14.（2009上海,文1）函数=x3+1的反函数f-1（x）=__________.

【答案】

【解析】∵x∈R,∴∈R.

由y=x3+1,得.

故该函数的反函数为f-1（x）=,x∈R.

15.【2008上海,文4】若函数的反函数为，则．

【答案】

【解析】令则且

16.【2008上海,文9】若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式．

【答案】

【解析】是偶函数，则其图象关于

y轴对称,且值域为，

17.【2008上海,文11】在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．如果

是围成的区域（含边界）上的点，那么当取到最大值时，点的坐标

是．

【答案】

18.【2007上海,文1】方程的解是.

【答案】

【解析】

19．【2007上海,文2】函数的反函数.

【答案】

【解析】

20.【2007上海,文8】某工程由四道工序组成，完成它们需用时间依次为天.四道工序的先后顺序及相互关系是：

可以同时开工；完成后，可以开工；完成后，可以开工.若该工程总时数为9天，则完成工序需要的天数最大是.

【答案】3

【解析】

21.【2007上海,文15】设是定义在正整数集上的函数，且满足：

“当成立时，总可推出成立”.那么，下列命题总成立的是（）

Ａ.若成立，则成立Ｂ.若成立，则成立

Ｃ.若成立，则当时，均有成立

Ｄ.若成立，则当时，均有成立

【答案】D

【解析】

22.【2006上海,文3】若函数的反函数的图像过点，则.

【答案】

23.【2006上海,文8】方程的解是_______.

【答案】5

【解析】方程的解满足，解得x=5.

24.【2005上海,文1】函数的反函数=__________.

【答案】

【解析】

反函数=

25.【2005上海,文2】方程的解是__________.

【答案】x=0

【解析】

26.【2005上海,文13】若函数，则该函数在上是（）

A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值

C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值

【答案】A

二．能力题组

1.【2014上海,文20】（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分.

设常数，函数

（1）若=4，求函数的反函数；

（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.

【答案】

（1），；

（2）时为奇函数，当时为偶函数，当且时为非奇非偶函数．

【解析】

【考点】反函数，函数奇偶性．

2.【2013上海,文20】甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是元．

（1）求证：

生产a千克该产品所获得的利润为元；

（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：

甲厂应该选取何种生产速度？

并求此最大利润．

【答案】

（1）参考解析;

（2）甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元

【解析】

（1）生产a千克该产品，所用的时间是小时，

所获得的利润为.

所以，生产a千克该产品所获得的利润为元．

3.【2013上海,文21】已知函数f（x）＝2sin（ωx），其中常数ω＞0.

（1）令ω＝1，判断函数F（x）＝f（x）＋的奇偶性，并说明理由；

（2）令ω＝2，将函数y＝f（x）的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图像．对任意aR，求y＝g（x）在区间a，a＋10π]上零点个数的所有可能值．

【答案】

（1）F（x）既不是奇函数，也不是偶函数;

（2）可能值为21或20

【解析】

（1）f（x）＝2sinx，

F（x）＝f（x）＋＝2sinx＋2sin＝2（sinx＋cosx）．

＝，＝0，≠，≠－．

所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）f（x）＝2sin2x，

将y＝f（x）的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y＝2sin2＋1的图像，所以g（x）＝2sin2＋1.

令g（x）＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋（kZ）．

因为a，a＋10π]恰含10个周期，所以，

当a是零点时，在a，a＋10π]上零点个数为21；

当a不是零点时，a＋kπ（kZ）也都不是零点，区间a＋kπ，a＋（k＋1）π]上恰有两个零点，故在a，a＋10π]上有20个零点．

综上，y＝g（x）在a，a＋10π]上零点个数的所有可能值为21或20.

4.【2012上海,文20】已知函数f（x）＝lg（x＋1）．

（1）若0＜f（1－2x）－f（x）＜1，求x的取值范围；

（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）＝f（x），求函数y＝g（x）（x∈1,2]）的反函数．

【答案】

（1）;

（2）y＝3－10x，x∈0，lg2]

5.【2012上海,文21】海事救援船对一艘失事船进行定位：

以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图．现假设：

①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.

（1）当t＝0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

【答案】

（1）北偏东弧度;

（2）时速至少是25海里才能追上失事船

6.【2011上海,文21】已知函数f（x）＝a2x＋b3x，其中常数a，b满足ab≠0.

（1）若ab＞0，判断函数f（x）的单调性；

（2）若ab＜0，求f（x＋1）＞f（x）时的x的取值范围．

【答案】

（1）函数f（x）单调递减;

（2）参考解析

7.【2010上海,文19】已知0＜x＜，化简：

lg（cosxtanx＋1－2sin2）＋lgcos（x－）]－lg（1＋sin2x）．

【答案】0

【解析】原式＝lg（sinx＋cosx）＋lg（sinx＋cosx）－lg（1＋sin2x）＝lg＝lg＝0.

8.【2010上海,文22】若实数x、y、m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.

（1）若x2－1比3接近0，求x的取值范围；

（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：

a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab；

（3）已知函数f（x）的定义域D＝{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1＋sinx和1－sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．

【答案】

（1）（－2,2）;

（2）参考解析;（3）参考解析

【解析】

（1）解：

由题意得|x2－1|＜3，即－3＜x2－1＜3，解得－2＜x＜2.

∴x的取值范围是（－2,2）

（2）证明：

当a、b是不相等的正数时，

a3＋b3－（a2b＋ab2）＝（a－b）2（a＋b）＞0，

又a2b＋ab2＞2ab，则a3＋b3＞a2b＋ab2＞2ab＞0，

于是，|a2b＋ab2－2ab|＜|a3＋b3－2ab|，

∴a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.

9.（2009上海,文21）有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*）,表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.

（1）证明:

当x≥7时,掌握程度的增长量f（x+1）-总是下降;

（2）根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115,121］,（121,127］,（127,133］.当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.

【答案】

（1）参考解析;

（2）乙学科

10.【2008上海,文17】（本题满分13分）

如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）．

【答案】445

【解析】

【解法一】设该扇形的半径为r米.由题意，得

CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=……………………………4分

在中，……………6分

即…………………….9分

解得（米）.…………………………………………….13分

【解法二】

11.【2008上海,文19】（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．

已知函数．

（1）若，求的值；

（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】

（1）;

（2）

【解析】

（1）.…………….2分

由条件可知，解得…………6分

∵…………8分

12.【2007上海,文18】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%.以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）.

（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；

（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？

【答案】

（1）2499.8兆瓦;

（2）

【解析】

（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为，，，.则2006年全球太阳电池的年生产量为

（兆瓦）.

（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则.

解得.

因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到.

13.【2007上海,文19】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

已知函数，常数.

（1）当时，解不等式；

（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.

【答案】

（1）;

（2）参考解析

14.【2006上海,文22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分

已知函数有如下性质：

如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.

（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值.

（2）设常数，求函数的最大值和最小值；

（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由.

【答案】

（1）4;

（2）参考解析;（3）参考解析

【解析】

（1）由已知得=4,∴b=4.

（2）∵c∈1,4],∴∈1,2],

于是,当x=时,函数f（x）=x+取得最小值2.

f

（1）－f

（2）=,

当1≤c≤2时,函数f（x）的最大值是f

（2）=2+；

当2≤c≤4时,函数f（x）的最大值是f

（1）=1+c.

15.【2005上海,文19】（本题满分14分）已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数.

（1）求的值；

（2）当满足时，求函数的最小值.

【答案】

（1）k=1,b=2;

（2）-3

【解析】

（1）由已知得A（,0）,B（0,b）,则={,b},于是=2,b=2.∴k=1,b=2.

（2）由f（x）g（x）,得x+2x2-x-6,即（x+2）（x-4）0,得-2x4,

==x+2+-5

由于x+20,则≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立

∴的最小值是-3.

【解后反思】要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法.如型.

16.【2005上海,文20】（本题满分14分）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，

（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？

（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？

【答案】

（1）2013；

（2）2009

17.【2005上海,文22】（本题满分18分）对定义域是、的函数、，规定：

函数.

（1）若函数，，写出函数的解析式；

（2）求问题

（1）中函数的值域；

（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明.

【答案】

（1）；

（2）；（3）