一元一次方程应用汇总及答案解析.docx
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一元一次方程应用汇总及答案解析
一、一般行程问题（相遇与追击问题）
1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小
时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为。
解：
等量关系步行时间－乘公交车的时间＝3.6小时
列出方程是：
2、甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，
那么在乙出发1小时30分相遇，当甲比乙每小时快1千米时，求甲、乙两人的速度。
解：
等量关系甲行的总路程＋乙行的路程＝总路程（18千米）
设乙的速度是x千米/时，则列出方程是：
3、某人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，
可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
解：
等量关系⑴速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程
⑵速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟
老师提醒：
速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。
方法一：
设预定时间为x小/时，则列出方程是：
15（x－0.25）＝9（x＋0.25）
方法二：
设从家里到学校有x千米，则列出方程是：
4、在800米跑道上有两人练习中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，两人同时同地同向起跑，
t分钟后第一次相遇，t等于分钟。
老师提醒：
此题为环形跑道上，同时同地同向的追击问题（且为第一次相遇）
等量关系：
快者跑的路程－慢者跑的路程＝800（俗称多跑一圈）320t－280t＝800t＝20
5、一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：
2，问两车每秒各行驶多少米？
老师提醒：
将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。
等量关系：
快车行的路程＋慢车行的路程＝两列火车的车长之和
设客车的速度为3x米/秒，货车的速度为2x米/秒，则16×3x＋16×2x＝200＋280
7、休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追我们，如果我和妈妈每小时行2千米，从家里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？
（提示：
此题为典型的追击问题）
解：
设爸爸用x小时追上我们，则6x＝2x＋2×1
解得x＝0.50.5小时＜1小时45分钟答：
能追上。
8、一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。
汽车速度是60千米/时，步行的速度是5千米/时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。
出发地到目的地的距离是60千米。
问：
步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）
老师提醒：
此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈
即步行者行的总路程＋汽车行的总路程＝60×2
解：
设步行者在出发后经过x小时与回头接他们的汽车相遇，则5x＋60（x－1）＝60×2
10、某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，但他因事将原计划的时间推迟了20分，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离。
解：
方法一：
设由A地到B地规定的时间是x小时，则
12x＝
x＝212x＝12×2＝24（千米）
方法二：
设由A、B两地的距离是x千米，则（设路程，列时间等式）
x＝24答：
A、B两地的距离是24千米。
温馨提醒：
当速度已知，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。
13、甲、乙两地相距x千米，一列火车原来从甲地到乙地要用15小时，开通高速铁路后，车速平均每小时比原来加快了60千米，因此从甲地到乙地只需要10小时即可到达，列方程得。
答案：
14、列车在中途受阻，耽误了6分钟，然后将时速由原来的每小时40千米提高到每小时50千米，问这样走多少千米，就可以将耽误的时间补上？
解：
设走x千米就补上耽误的时间，则
x＝20
答：
走20千米就补上耽误的时间。
18、甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B到A地，两人都匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，
到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A、B两地间的路程。
解：
设A、B两地间的路程是x千米，则
方法一：
方法二：
x＋36＝36×2×2解，得x＝108答：
A、B两地间的路程是108千米。
二、环行跑道与时钟问题：
2、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？
若背向跑，几分钟后相遇？
老师提醒：
此题为环形跑道上，同时同地同向的追击与相遇问题。
解：
①设同时同地同向出发x分钟后二人相遇，则240x－200x＝400x＝10
②设背向跑，x分钟后相遇，则240x＋200x＝400x＝
三、行船与飞机飞行问题：
1、一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，
求两码头之间的距离。
解：
设船在静水中的速度是x千米/时，则3×（x－3）＝2×（x＋3）
解得x＝152×（x＋3）＝2×（15＋3）＝36（千米）答：
两码头之间的距离是36千米。
2、一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间的距离。
解：
设无风时的速度是x千米/时，则3×（x－24）＝
×（x＋24）
3、小明在静水中划船的速度为10千米/时，今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了6小时，
求该河的水流速度。
解：
设水流速度为x千米/时，则9（10－x）＝6（10＋x）解得x＝2答：
水流速度为2千米/时.
4、某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度
为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。
解：
设A与B的距离是x千米，（请你按下面的分类画出示意图，来理解所列方程）
①当C在A、B之间时，
解得x＝120
②当C在BA的延长线上时，
解得x＝56
答：
A与B的距离是120千米或56千米。
第二类：
工程问题
工程问题的基本关系：
工作量=工作效率×工作时间；工作效率=工作量÷工作时间；工作时间=工作量÷工作效率
注意：
一般情况下把总工作量设为1，完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
1、做某件工作，甲单独做要8小时才能完成，乙单独做要12小时才能完成，
问：
①甲做1小时完成全部工作量的几分之几？
②乙做1小时完成全部工作量的几分之几？
③甲、乙合做1小时完成全部工作量的几分之几？
④甲做x小时完成全部工作量的几分之几？
⑤甲、乙合做x小时完成全部工作量的几分之几？
⑥甲先做2小时完成全部工作量的几分之几？
乙后做3小时完成全部工作量的几分之几？
甲、乙再合做x小时完成全部工作量的几分之几？
三次共完成全部工作量的几分之几？
结果完成了工作，则可列出方程：
2、一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，
还需要几天完成？
解：
设还需要x天完成，依题意，得
解得x=5答：
还需要5天完成
3、食堂存煤若干吨，原来每天烧煤4吨，用去15吨后，改进设备，耗煤量改为原来的一半，结果多烧了10天，求原存煤量.
解：
设原存煤量为x吨，依题意，得
解得x=55答：
原存煤量为55吨
4、一水池，单开进水管3小时可将水池注满，单开出水管4小时可将满池水放完。
现对空水池先打开进水管2小时，然后打开出水管，使进水管、出水管一起开放，问再过几小时可将水池注满？
解：
设再过x小时可将水池注满，依题意，得
解得x=4答：
再过4小时可将水池注满。
6、一项工程300人共做,需要40天,如果要求提前10天完成,问需要增多少人?
解：
由已知每人每天完成
，设需要增x人,
则列出方程为
解得x=100
答：
需要增100人
7、某工作,甲单独干需用15小时完成,乙单独干需用12小时完成,若甲先干1小时、乙又单独干4小时,剩下的
工作两人合作,问:
再用几小时可全部完成任务?
答：
4
解：
设甲、乙两个龙头齐开x小时。
由已知得，甲每小时灌池子的
，乙每小时灌池子的
。
列方程：
×0.5+（
+
）x=
+
x=
x=
x=
=0.5x+0.5=1（小时）
答：
一共需要1小时。
8、一水池有一个进水管,4小时可以注满空池,池底有一个出水管,6小时可以放完满池的水.如果两水管同时打开,那么经过几小时可把空水池灌满?
解：
令水箱为1，进水管每小时注水
，出水管每小时放水
，
设两水管同时打开,经过x小时可把空水池灌满
则由题意列出方程为（
－
）x=1,解得x=12
9、某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而
且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？
，X=780
10、某工程，甲单独完成续20天，乙单独完成续12天，甲乙合干6天后，再由乙继续完成，乙
再做几天可以完成全部工程?
1-6（
）=
XX=2.4
11、已知甲、乙二人合作一项工程，甲25天独立完成，乙20天独立完成，甲、乙二人合5天后，
甲另有事，乙再单独做几天才能完成？
1－
，X=11
13、一个水池安有甲乙丙三个水管，甲单独开12h注满水池，乙单独开8h注满,丙单独开24h可排掉满池的水，
如果三管同开，多少小时后刚好把水池注满水？
X=6
14、甲、乙两个水池共蓄水50t,甲池用去5t，乙池又注入8t后，甲池的水比乙池的水少3t，
问原来甲、乙两个水池各有多少吨水？
X-5+3=50-X+8X=2750-27=23
15、将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30
分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？
1-
，X=
，2小时12分
二、市场经济问题
2.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
解：
设该工艺品每件的进价是
元,标价是（45+x）元.依题意，得:
8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x解得：
x=155（元）所以45+x=200（元）
3.（2006·益阳市）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：
李小波：
阿姨，您好！
售货员：
同学，你好，想买点什么？
李小波：
我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.
售货员：
好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见.
根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？
解：
设笔记本每本x元，则钢笔每支为（x+2）元，据题意得
10（x+2）+15x=100-5 解得，x=3（元）所以x+2=5（元）答：
（略）.
4.某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦
则超过部分按基本电价的70%收费．
（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．
（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦？
应交电费是多少元？
解：
（1）由题意，得0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72解得a=60
（2）设九月份共用电x千瓦时，0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x
解得x=90所以0.36×90=32.40（元）答：
90千瓦时，交32.40元．
5.某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
解：
按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，
设购A种电视机x台，则B种电视机y台．
（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程
1500x+2100（50-x）=90000x=2550-x=25
②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，可得方程
1500x+2500（50-x）=90000x=3550-x=15
③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．可得方程
2100y+2500（50-y）=900004y=350，不合题意
可选两种方案：
一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
（2）若选择
（1）①，可获利150×25+250×15=8750（元）
若选择
（1）②，可获利150×35+250×15=9000（元）
故为了获利最多，选择第二种方案．
6.某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。
问这种鞋的标价是多少元？
优惠价是多少？
利润率=
40%=
X=105105*80%=84元
7.某产品按原价提高40%后打八折销售，每件商品赚270元，问该商品原标价多少元？
现销售价是多少？
X（1+40%）80%-X=270X=2250
2250（1+40%）80%=2520元
8.甲乙两件衣服的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将家服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装成本各是多少元？
甲X乙50–X
109X（1+50%）–X+（500-X）（1+40%）90%-（500-X）=157X=300
某文艺团体组织了一场义演为“希望工程”募捐，共售出1000张门票，已知成人票每张8元，学生票每张5元，共得票款6950元，成人票和学生票各几张？
8X+5（1000-X）=6950X=6501000-650=350
利润问题
利润问题的基本关系：
①获利=售价－进价②打几折就是原价的十分之几
1某商场按定价销售某种电器时，每台获利48元，按定价的9折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等，该电器每台进价、定价各是多少元？
（48+X）90%*6–6X=（48+X-30）*9–9XX=162162+48=210
四、分配问题
1某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件．解：
设这一天有x名工人加工甲种零件，
则这天加工甲种零件有5x个，乙种零件有4（16-x）个．
根据题意，得16×5x+24×4（16-x）=1440解得x=6
2有两个工程队，甲工程队有32人，乙工程队有28人，如果是甲工程队的人数是工程队人数的2倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？
32+X=（28-X）*2X=8
3某班同学利用假期参加夏令营活动，分成几个小组，若每组7人还余1人，若每组8人还缺6人，问该班分成几个小组，共有多少名同学？
7X+1=8X-6X=7
4.将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，
≈3.14）．
解：
设圆柱形水桶的高为x毫米，得
·（
）2x=300×300×80x≈229.3
5有某种三色冰淇淋50克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：
3：
5，这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？
解：
设这种三色冰淇淋中咖啡色配料为2x克，
那么红色和白色配料分别为3x克和5x克．
根据题意，得2x+3x+5x=50得x=5于是2x=10，3x=15，5x=25
五、数字问题
数字问题的基本关系：
数字和数是不同的，同一个数字在不同数位上，表示的数值不同.
1一个两位数，个位数字比十位数字小1，这个两位数的个位十位互换后，它们的和是33，求这个两位数.
10（X+1）+X+10X+X+1+33x=1为21
2已知三个连续偶数的和是2004，求这三个偶数各是多少？
X+2+X+X-2=2004x=668666668670
年龄问题
（1）某同学今年15岁，他爸爸今年39岁，问几年以后，爸爸的年龄是这位同学年龄的2倍？
（15+x）*2=39+xx=9
（2）三位同学甲乙丙，甲比乙大1岁，乙比丙大2岁，三人的年龄之和为41，求乙同学的年龄.x+1+x+x-2=41x=14
（4）．兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？
解：
设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，
则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x．
由题意，得2×（9+x）=15+x18+2x=15+x，2x-x=15-18∴x=-3
答：
3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．
（点拨：
-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3年后具有相反意义的量）
1．某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？
设去年为灾区捐款x元
2x+1000=25000
2x=25000-1000
2x=24000
x=12000答：
去年该单位为灾区捐款12000元。
例2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
设原有X升、
则、X-25%X-40%（75%X）+1=25%x+40%（75%X）
例4．有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
解:
设十位上的数字是x，则百位上的数字为（x+1），个位上的数字为（9-2x）.3*[9-2x+10x+100（x+1）]+61=100（9-2x）+10x+x+13*（108x+109）+61=901-189x324x+189x=901-189x324x+189x=901-388513x=513x=11+1=2,9-2*1=7原来的三位数字是217.
例5．一个2位数，个位上的数字比十位上的数字大5，且个位上的数字与十位上的数字的和比这个2位数的大6，求这个2位数。
解：
一个2位数,个位上的数字比十位上的数字大5,且个位上的数字与十位上的数字的和比这个2位数的七分之一大6,设十位为a个位为a+5（a+a+5）=（10a+a+5）/7+6a=4这个数为49
例5：
一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元
进价
折扣率
标价
优惠价
利润
X元
8折
（1＋40%）X元
80%（1＋40%）X
15元
等量关系：
（利润＝折扣后价格—进价）折扣后价格－进价＝15
设进价为X元，80%X（1＋40%）—X＝15，X＝125
答：
进价是125元。
例6：
甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇?
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
（此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
）
（1）
（2）
（3）2.4（4）9.6（5）11.4
此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
故可结合图形分析。
（1）相遇问题，画图表示为：
等量关系是：
慢车走的路程＋快车走的路程＝480公里。
设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x＋90（x＋1）＝480
解这个方程，230x＝390
∴x＝
答：
快车开出
小时两车相遇
（2）相背而行，画图表示为：
等量关系是：
两车所走的路程和＋480公里＝600公里。
设x小时后两车相距600公里，
由题意得，（140＋90）x＋480＝600解这个方程，230x＝120
∴x＝
答：
小时后两车相距600公里。
（3）等量关系为：
快车所走路程－慢车所走路程＋480公里＝600公里。
设x小时后两车相距600公里，由题意得，（140－90）x＋480＝600
50x＝120
∴x＝2.4
答：
2.4小时后两车相距600公里。
（4）追及问题，画图表示为：
等量关系为：
快车的路程＝慢车走的路程＋480公里。
设x小时后快车追上慢车。
由题意得，140x＝90x＋480
解这个方程，50x＝480 ∴x＝9.6
答：
9.6小时后快车追上慢车。
（5）追及问题，等量关系为：
快车的路程＝慢车走的路程＋480公里。
设快车开出x小时后追上慢车。
由题意得，140x＝90（x＋1）＋480
50x＝570
∴x＝11.4
答：
快车开出11.4小时后追上慢车。
例7：
一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？
解：
设船在静水中的速度是x2（x+3）=3（x-3）x=15两个码头的距离是2*18=36千米
例9：
一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
解：
设乙还要x天才能完成全部工程，可得：
3/15+（x+3）/12=1x/12=1-3/15-3/12x/12=11/20x=33/5
例10：
一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独
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