八年级上册第九讲.docx

八年级上册第九讲.docx

《八年级上册第九讲.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级上册第九讲.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

八年级上册第九讲

八年级上册

第九讲：

等边三角形

一、预备知识检测：

1．在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个　

2．如图1，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（　　）

A．180°B．220°

C．240°D．300°　

3．如图2，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、AC上的点，

且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（　　）

　A．△DEF是等边三角形B．△ADF≌△BED≌△CFE

　C．DE=ABD．S△ABC=3S△DEF

4．如图3，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE=　_________　度．

5．已知：

如图4，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC于点D，且DE=DB，

试判断△CEB的形状，并说明理由．

二、拓展知识训练：

【例1】如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD的下方作等边三角形CDE，连接BE．

（1）求证：

△ACD≌△BCE；

（2）延长BE至Q，P为BQ上一点,连接CP、CQ，使CP=CQ=5，若BC=8时,求PQ的长．

【例2】如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一动点（不与B、C重合），以AP为边作

等边△APE，连接CE．

（1）求证：

AB∥CE；

（2）是否存在点P，使得AE⊥CE？

若存在，指出点P的位置并证明你的结论；若不存，请说明理由．

【例3】

（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：

BE=AD．

（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联接AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是_________　．（只填序号即可）

①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；

（3）如图2，在

（2）的条件下，求证：

PB+PC+PD=BE．

【例4】已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE．

（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：

BE=CD；

（2）如图2，连接DE交AB于点F．

①EFFD（填“

”、“

”或“

”）；

②请证明你的结论．

【例5】如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是角平分线，以AC为边向外作等边△ACE，BE分别与AD、AC交于点F、G，连结CF．

（1）求证：

∠FBD=∠FCD；

（2）求∠BFA的度数；

（3）若AF=3，DF=1，求EF的值．

三、自主探究导航：

1．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠

AC．下列结论中，正确的是　_________　．

①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO．　

2．三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=　_______°．

3．如图，在等边△ABC中，AD=BE=CF，D、E、F不是各边的中点，AE、BF、CD分别交于P、M、H，如果把三个三角形全等叫做一组全等三角形，那么图中全等三角形有（　　）

A．6组B．5组C．4组D．3组

4．如图，已知△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．

（1）求证：

AB∥CQ；

（2）当CQ⊥AQ时，求证：

AP⊥BC．

5．如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连结EC、ED，求证：

CE=DE．

6．如图，P是等边△ABC边AB上任一点，AB=2，PE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FM⊥AB于M，设BP=

．

（1）用含有

的代数式表示AM；

（2）当

等于多少时，点P和点M重合?

7．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，

A（0，1），点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC．

（1）求证：

OB=AC；

（2）求∠CAP的度数；

（3）当B点运动时，AE的长度是否发生变化？

8．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N．D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：

当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．

9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下四个结论：

①AD=BE；②PQ∥AE；③EQ=DP；④∠AOB=60°；

其中正确的是（）

A.①②④

B.①②③④

C.①②③

D.②③④

10．探究题：

如图：

（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？

请证明你的结论；

（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条件不变，如图

（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图

（2）的情形，求证：

∠BQP=60°；

（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？

写出证明过程．

、

例题解析：

【例1】

（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形，

∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）过点C作CH⊥BQ于H，

∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，

∴∠DAC=30°，

∵△ACD≌△BCE，∴∠QBC=∠DAC=30°，

∴CH=

BC=

×8=4，

∵PC=CQ=5，CH=4，∴PH=QH=3，∴PQ=6．

【例2】

证明：

（1）∵△ABC、△APE是等边三角形，

∴∠BAC=∠PAE=∠B=60°，AB=AC，AF=AE，

∴∠BAP=∠CAE，

在△ABF和△ACE中，

∴△ABP≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACP=60°，

∴∠BAC=∠ACF，∴AB∥CE；

（2）存在点P使得AE⊥CE．此时P为BC的中点；理由如下：

∵AE⊥CE，∴∠AEC=90°，

由

（1）得：

△ABP≌△ACE，∴∠APB=∠AEC=90°，

∴AP⊥BC，

∵AB=AC，∴P为BC的中点．

∴存在点P，使得AE⊥CE．

点评：

本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质；由等边三角形证明三角形全等是关键．

【例3】

（1）证明：

∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCE=∠ACD，

∵在△BCE和△ACD中，BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD

∴△BCE≌△ACD（SAS）∴BE=AD；

（2）解：

①②③都正确，

理由是：

∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCE=∠ACD，

在△BCE和△ACD中,，BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD

∴△BCE≌△ACD（SAS）

∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，∴②正确；

同理△FDC≌△BDE，∴BE=CF，

∴BE=AD=CF，∴①正确；

∵△BCE≌△ACD，∴∠CEP=∠CDA，

∵∠CED=∠CDE=60°，

∴∠DEP+∠CEP=∠CED=60°=∠CDP+∠DEP，

∴∠DPE=180°-60°-60°=60°，

同理∠EPC=∠CPA=60°，即∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°，

∴③正确；故答案为：

①②③；

（3）证明：

在PE上截取PM=PC，连接CM，

由

（1）可知，△BCE≌△ACD（SAS）∴∠1=∠2

设CD与BE交于点G，在△CGE和△PGD中，

∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD，∴∠DPG=∠ECG=60°，

同理∠CPE=60°，

∴△CPM是等边三角形，∴CP=CM，∠PMC=60°．∴∠CPD=∠CME=120°．

∵∠1=∠2，∴△CPD≌△CME（AAS），∴PD=ME，

∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD，即PB+PC+PD=BE．

【例4】

（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，

在△DAC和△BAE中，

，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴DC=BE；

（2）①EF=FD

②证明

如图，作DG∥AE，交AB于点G，

由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：

∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，

∴∠DGF=∠FAE=90°，

又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，

又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，

∴∠DBG=∠ABC=60°，

在△DGB和△ACB中，

，

∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，

又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，

在△DGF和△EAF中，

，

∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF．

【例5】

（1）∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是角平分线，

∴AD垂直平分BC，∴FB=FC，

∴∠FBD=∠FCD；

（2）∵AB=AC，AD是角平分线，

∴∠1=∠2，

∵AE=AC=AB，∴∠3=∠4

又∠EAC=60°，

∴2∠1+2∠3=120°，∴∠1+∠3=60°

∴∠7=120°，即∠BFA=120°

（3）方法一：

作CH//AD交BE于点H，

由

（1）、

（2）可得∠5=∠6=60°

∴∠AFG=∠5=60°，∴∠10=60°

∵CH//AD，∴∠9=60°

∴△CHF是等边三角形

∴∠FCH=∠ACE=60°，∴∠FCA=∠8

又AC=EC，∴△CHE≌△AFC

∴EH=AF，又HF=CF

而在Rt△CDF中，∠6=60°，DF=1，可求得CF=2

∴EF=EH+HF=AF+CF=3+2=5

方法二：

作

，交BE于点M，（过程略）

自主探究导航参考答案

1．60；

2．130；

3．B解析：

△EBA≌△DAC≌△FCB（SAS）；△DBC≌△FAB≌△ECA（SAS）；△ADH≌△CFM≌△BEP（ASA）；△BAP≌△ACH≌△CBM（SAS）；△DBM≌△FAP≌△ECH（AAS）．共5组．

4．

（1）∵△ABC和△APQ是等边三角形，

∴∠BAC=∠PAQ=60°，AB=AC，AP=AQ，

∴∠BAP=∠CAQ，

在△ABP和△ACQ中，

∴△ABP≌△ACQ（SAS），

∴∠ACQ=∠B=60°，

∵∠BAC=60°，∴∠ACQ=∠BAC，∴AB∥CQ；

（2）∵CQ⊥AQ，∴∠AQC=90°，

∵AB∥CQ，∴∠BAQ+∠AQC=180°，∴∠BAQ=90°，

∵∠PAQ=60°，∴∠PAB=30°，

∵∠ABC=60°，∴∠BPA=180°－（∠PAB+∠ABC）=90°，

∴∠APB=90°，∴AP⊥BC．

点评：

本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质；由三角形全等得出相等的角证出平行线，再根据平行线证出角的度数；证明三角形全等是关键．

5．证明：

（方法一）延长CD到F，使DF=BC，连结EF．

∵AE=BD，∴AE=CF

∵DABC为正三角形，∴BE=BF∠B=60°，∴△EBF为等边三角形．

∴∠F=60°，EF=EB

在△EBC和△EFD中，EB=EF（已证），∠B=∠F（已证），BC=DF（已作）

∴△EBC≌△EFD（SAS）∴EC=ED（全等三角形对应边相等）

（方法二）过D作DF‖AC交AE于F

∴∠1=∠2（两直线平行,同位角相等），∴∠3=∠4=60°

∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，∴△FBD为等边三角形，∴FD=BD

∵BD=AE，∴AE=FD，∴BF=BD=AE，∴BF=AE

∴BF－AF=AE－AF（等量减等量差相等）

∴AB=EF∴EF=AC

在△EAC和△DFE中，AE=FD（已证），∠1=∠2（已证），AC=EF（已证）

∴△EAC≌△DFE，∴EC=ED（全等三角形对应边相等）

6．⑴BP=

，AB=2，∴AP=

，

∵ΔABC是等边三角形，∴∠A=60°,

∵PF⊥AC，∴∠APF=30°，∴AF=

AP=

，

∵FM⊥AB,∴∠AFM=30°,

∴AM=

AF=

=

（2）AM=AP，

，∴

，即当

时，P、M重合．

7．

（1）证明：

∵△BPC和△AOP是等边三角形，

∴OP=AP，BP=PC，∠APO=∠CPB=60°，

∴∠APO+∠APB=∠BPC+∠APB，即∠OPB=∠APC，

在△PBO和△PCA中，

，

∴△PBO≌△PCA（SAS），∴OB=AC．

（2）解：

由

（1）知∠PBO=∠PCA，∴∠BAC=∠BPC=60゜，

又∵∠OAP=60゜，∴∠CAP=60゜．

（3）解：

当B点运动时，AE的长度不发生变化，

理由是：

∵∠EAO=∠BAC=60゜，∠AOE=90°，

∴∠AEO=30゜，∴AE=2AO=2，

即当B点运动时，AE的长度不发生变化．

8．

（1）如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．此时

．

（2）猜想：

结论仍然成立．

证明：

如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．

∵BD=CD，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°．

（2）猜想：

结论仍然成立． 

证明：

在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．

又△ABC是等边三角形，∴∠MBD=∠NCD=90°．

在△MBD与△ECD中，BM=CE，∠MBD=∠ECD，BD=DC，

∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．

∴∠EDN=∠BDC－∠MDN=60°．

在△MDN与△EDN中，DM=DE，∠MDN=∠EDN，DN=DN，，

∴△MDN≌△EDN（SAS）．

∴MN=NE=NC+BM．

△AMN的周长Q

=AM+AN+MN=AM+AN+（NC+BM）

=（AM+BM）+（AN+NC）

=AB+AC=2AB．

而等边△ABC的周长L=3AB．

∴

．

（3）如图，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=x，

则

（用x、L表示）．

9．∵等边△ABC和等边△DCE，∴BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=CE，

∴△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠DAC，AD=BE，∴①正确；

∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，

∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，

∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，∴④正确；

∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，

在△DPC和△EQC中，∠CDA=∠CEB，CD=CE，∠DCP=∠ECD，

∴△DPC≌△EQC，∴EQ=DP，∴③正确；CP=CQ，

∵∠BCD=60°，∴△CPQ是等边三角形，∴∠PQC=60°=∠DCE，

∴PQ∥AE，∴②正确；

正确的有①②③④．故选B．

10．

（1）成立．

理由：

∵△ABC是等边三角形，∴∠C=∠ABP=60°，AB=BC，

根据题意得：

CD=BP，

在△ABP和△BCD中，

，

∴△ABP≌△BCD（SAS），∴AP=BD；

（2）根据题意，CP=AD，

∴CP+BC=AD+AC，即BP=CD，

在△ABP和△BCD中，

，

∴△ABP≌△BCD（SAS），∴∠APB=∠BDC，

∵∠APB﹣∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，

∴∠BDC﹣∠DAQ=∠BQP=60°；

（2）DE=PE．

理由：

过点D作DG∥AB交BC于点G，

∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°，∠GDE=∠BPE，

∴△DCG为等边三角形，∴DG=CD=BP，

在△DGE和△PBE中，

，

∴△DGE≌△PBE（AAS），∴DE=PE．

点评：

此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．