《广东省中考数学疑难问题 中考第 23 题》教学设计.docx
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《广东省中考数学疑难问题中考第23题》教学设计
教材名称
数学
教材版本
北师大版
执教
学习对象
九年级
教材分析
本题考点的知识点是从北师版教材选择的。
它通过对具体情境的分析，确定二次函数的表达式、线段中点坐标、正弦值的解法，重组了一次函数、二次函数、三角函数、直角坐标系的坐标知识点，使学生对它们有更深的认识，让学生理解了一次函数、二次函数的几种表示方法。
本题更加明确了考纲对学生关于函数的要求，通过对函数的图像的观察和比较，让学生发现函数自身规律并进行语言表达，在相互交流中提高学生从图象中获取信息的能力。
（1）“求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式”体现了教材“北师版教材九下第二章二次函数”的知识点；
（2）“当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标”体现了教材“八上第三章第二节在平面直角坐标系中如何确定线段的中点坐标”的知识点；“（3）在
（2）的条件下，求sin∠OCB的值”体现了教材“九下的第一章探究直角三角形的边角关系的锐角的三角函数以及特殊角的三角函数的应用”的知识点。
一次函数、反比例函数、二次函数、三角函数和勾股定理的应用是历中考重要的知识点，较多出现在解答题的第23题，难度较大，要求学生熟练掌握教材相关知识点概念、性质并能灵活运用。
学情分
析
学生从八年级就开始接触函数，经过二年的学习与磨合，学生基本掌握了函数知识，但在一定的条件下，学生易对一、二次函数题型混淆，特别是对有关二次函数的解析式题型的思路还不是很清晰，所以我希望通过
这节课的讲授，能够使学生对此类题型有一个基本的认识掌握。
教学目标
知识与技能：
1、基础知识目标：
让学生掌握一次函数、二次函数、三角函数，掌握直角坐标系的线段中点坐标求法、勾股定理的知识，学会应用三角形中位线的性质，并用数形结合思想将诸多知识点有机地联系起来，得出解题思路。
2、基本技能目标：
学会运用教材知识点解题；学会运用辅助线及教材知识点解题。
让学生课余时间多练习本题型，熟练掌握。
教学重点难点
重点：
让学生掌握一次函数、二次函数、三角函数的相关知识点，掌握直角坐标系的中点坐标公式或运用勾股定理相结合的题目，并学会如何分析和解决此类问题。
难点：
让学生通过探索函数问题，掌握并会应用数形结合、建模等数学思
想解决问题。
教学策略选择与设计
为了达到以上的教学目标，结合本题内容，主要运用实践探究和小组合作讨论的教学方法，并利用教具、多媒体等辅助教学，让学生自主实践、合作交流、解决和掌握一次函数、二次函数、三角函数，以及掌握直角坐
标系的线段中点坐标或运用勾股定理相结合的题目。
教学环境
资源准备
教学环境：
交互式电子白板
资源准备：
PPT课件、实物投影
教学过程：
任务呈现→考题剖析→知识延伸→评价、总结和反思问题→课堂练习→谈收获
教学
环节
教学内容
教学活动
设计意图
教师活动
学生活动
任务
呈现
直接揭示主题：
通过探索
2017年广东中考卷第
函数问题，掌握并会应用
引发学生的
明确本节课的
23题
数形结合、建模等数学思
思考
教学目的
想解决问题。
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．
（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在
（2）的条件下，求sin∠OCB的值．
一．试卷训练
的目的:
1、使学生尽快
进入上课的精
神状态，集中
注意力于问题
学生分析解
上。
教师在上课前把试卷发
决问题，分
2、能使老师很
给学生，出示函数问题
析考点运用
了哪些知识
好地了解学生
基础。
的考题分析，让学生了
点，如一次
函数、二次
二、让学生先
独立完成练习
解此题的分值，内容等，
函数、三角
的目的：
函数、勾股
1、让学生尽快
限时训练，教师巡查学
定理、线段
进入函数的问
生解题情况。
中点坐标公
式
题的情境中，
通过解题回顾
知识点。
2、学生“动手
做”是“感悟”
的过程，是反
映学生的学习
状态的重要方
式。
（1）将点A、B代入抛
学生需自主完成，根据数形结合思想解决问题。
一、学生在我的引导下，理解一题多解的方法，从而培养学生独立完成能力。
二、请学生到讲台上讲
物线y=﹣x2+ax+b,解得
a、b可得解析式。
还可以
有其他解法吗？
请一名学生到投影仪前
中考考题剖析
展示自己的解题过程，讲解自己的想法和作法。
解，有利于培养学生的表达和逻辑思维能
力。
（2）由C点横坐标为O可得P点横坐标，将P点横坐标代入
（1）中抛物线解析式，易得P点坐标。
还可以有其他解法吗？
（添加辅助线求出点P的横坐标）
利用电子白板的智能画
笔在白板上画图作辅助线，让学生画出他所想的的图形，这样做充分体现多媒体在数学课上的优越性。
学生进行小组分工合作交流，利用电子白板的书写功能，讨论出的小组派代表到电子白板上进行讲解。
一、培养学生小组合作和数形结合的能力，培养学生表达能力、动手能力。
激发学生学习积极性和主动性。
（3）由P点的坐标可得C点坐标，A、B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，
利用sin∠OCB=OB可得
BC
结果。
还可以有其他解法吗？
老师引导学生用第二种方法解此题需添加辅助线。
学生根据老师引导，凭借“直角三角形三角函数值大小只与锐角的大小有关，和其形状大小无关”的知识点即可求出结果。
拓展延伸
（4）由
（2）的条件下写出直线BC的解析式；若双曲线过点P,求该双曲线的解析式，三角形OCB的面积是多少?
老师引导学生借助图像的形状来确定解析式的类型，可先设出一般形式，再把点的坐标代入进行求解。
用数形结合求三角形的面积。
学生在新的问题情境中，感受问题是从刚才的情境
（1）
（2）中延伸出来的。
学生再次经历、探索函数的过程。
学生及时总结一次函数、二次函数的图象在直角坐标系中的一般式和特殊形式和反比例函数的形式。
数形结合求三角形的面积。
一、让学生能学以致用——如何将所学知识正确无误地应用到其他问题中，在自己的头脑中形成自己一套该题型的解题思路。
二、有利于学生将以上
（1）
（2）题知识联系起来。
三、强化学生对情境的适应和基本待定系数法方法的运用，能有利于学生熟练掌握各种常见的转化策
略。
评价总结和反思问题解决过
程
小结:
函数问题、数形结合问题。
此类题型先观察图，后看已知条件，再确定是那类型的函数，用数形结合解决综合性的问题
老师要求学生感悟总结此类题型的方法、思想。
让学生谈谈自己的感受。
培养学生及时总结、巩固知识的能力。
课堂练习
1、（2018年广东中考卷第23题）如图，已知顶点为C（0，-3）的抛物线y＝ax2＋b（a≠0）与x轴交于A、B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B.
（1）求m的值；
（2）求函数y＝ax2＋b（a≠0）的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
此问题情境利用PPT出示此题。
学生独立完成或老师辅助完成。
激发学生的学习兴趣的同时让学生理解并掌握此类问题的解决方法
谈收获
1,、引导学生总结本节课的知识点。
2、再次强调此类题型的一般方法。
学生在教师的引导下，回忆本节课所学内容。
1.培养学生及时总结，巩固知识的能力。
2.有利于学生构建本节课的知识网络。
不同方法的讨论
函数的讨论
图形的讨论
师生互动
出示相关试题
《广东省中考数学疑难问题2017年中考第23题》教学流程图
开始
揭示本节主题
剖析试题
学生演示解题过程
一题多解
小组合作交流
反思总结问题解决过程
知识拓展延伸
教师引导
学生寻找解题方法
评价与总结
效果检测
结束
《广东省中考数学疑难问题2017年中考第23题》教学反思
本次教学既是对中考数学疑难问题的分析，也是对相关知识点的回顾与应用的复习课。
我经历了教材知识重组和总结归纳的过程。
学生也体验了知识的再形成过程。
这让学生既做到对知识点的总结和解题方法的掌握，又让我体验了身为教师的“成功感”。
这是个教学相长的过程。
以下内容即为我本次教学反思：
一、本题与一次函数、二次函数、勾股定理应用、三角函数计算和直角坐标系线段中点坐标的问题相关。
已知坐标点用待定系数法求一次、二次函数的解析式，已知图像的解析式求坐标点，学生在掌握课本基础知识和技能的前提下，有根据已知点求直线的关系式，根据已知直线求点求函数的解析式。
这些都是中考的重点。
本题最后一题利用了数型结合的思想，有三角函数计算和直角坐标系线段中点坐标的问题，有一次函数与坐标轴围成的图形的面积问题，也有一次函数的实际应用等问题，这也是中考考点和难点。
课上师学生交流与合作的主动下，我们一起完成了例题，我让学生理解一题多解的必要性。
在进入知识拓展延伸题时，我由一次函数延伸到是反比例函数，让学生体会知识学以致用的原则——如何将所学知识正确无误的应用到其他问题中。
这有利于在自己的头脑中形成一种解决问题的方式方法。
最后，学生独立完成课堂练习的环节中，我由浅入深的将知识延伸到作辅助线分情况讨论问题中，以循序渐进的教学向学生渗透各种问题的解决方法。
这有利于培养学生分情况讨论问题中中形成一种以不变应万变的解题能力。
二、本教学始终以有关一次函数，二次函数的图象的知识点为主线进行复习。
我在课堂教学时重视了学生对基础知识的理解和基本方法的运用，重点解决学生在平时学习和练习中的难点和易错点，有针对性的进行复习讲解。
本教学让学生自主、探究、主动地学习，把思维空间留给学生，把学习主动权还给学生，把自主时间还给学生。
同时我“教学案”的设计侧重于夯实基础，复习“低起点、多归纳、快反偾”的策略，注重激发全体学生学习数学的自信心。
我在教学中也注重学生解题的准确性及表达的规范性。
三、关于在课堂练习题最后一题的解题思路如何让学生更易于接受的问题上，我仍需探究。
总之，在本次的教学的设计时，我在明确中考数学疑难问题的分析任务下，以学生的“学”为出发点，将“自主探究、合作交流”的理念贯穿于课的始终，我与学生教学相长。
我相信，在新程标准的指引下，我们的数学课堂关于中考数学疑难问题的分析将会越来越精彩。
习题参考答案
（2017年广东中考卷23题））
（1）方法一：
解：
将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b
⎧⎪a=-12+a+b
⎩
可得⎨⎪0=-32
+
3a+b
解得a=4、b=-3
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+ax+b
方法二：
解：
把y=-x2+ax+b转化为交点式
y=-（x-x1）（x-x2）
y=-（x-1）（x-3）
y=-（x2-3x-x+3）
y=-（x2-4x+3）y=-x2+4x-3
（2）方法一：
解：
∵点C在y轴上，∴C点横坐标x=0
∵点P是线段BC的中点∴点P横坐标X=0+3=3
p22
∵点P在抛物线y=﹣x2+ax+b上
p
∴y=-（3）2+4×3-3=3
224
方法二：
解：
过点P作PM⊥x轴于点M,则PM平行于y轴，
∵P为BC的中点，PM平行于y轴
∴M为OB的中点∴P的横坐标为3
2
把x=3代入y=-x2+4x-3得y=3
24
∴P（3，3）
24
（3）方法一：
解∵点P的坐标为（3，3）点P是线段BC的中点
24
∴点C的纵坐标为2×3-0=3
42
∴点C的坐标为（0，3）
2
（3）2+32
2
35
∴BC==，
2
25
3
BC
∴sin∠OCB=OB=35=
25
方法二：
解：
∵PM∥OC
∴∠OCB=∠MPB
∴PM=3，MO=25
45
∴PB=
==35
PM2+MO2
9+9
164
4
∴sin∠MPB=BM=
PB
2
3=25
355
4
（4）（拓展题）解①;设直线BC的解析式为y=kx+b,图象过了点P（3，3）
24
⎧
15k33
所以，直线BC解析式是y=-3x+4②设双曲线的解析式为y=x,代入点p（24）
9
所以，k=8
所以，双曲线的解析式是y=9
8x
③∵C的横坐标是0，
∴它的纵坐标是5
4
∴C（0，5）
4
∵B（3,0）
∴OC=5
4
，OB=3
1
SOCB=
2
×3×5
4
=15
8
（2018年广东中考卷23题）
（1）解：
直线y=x+m过点C（0，-3）
∴m=-3
（2）∵y=x-3所以令y=0时，x=3
∴B（3，0）
1
∴a=
3
b=-3
∴y=1x2-3
3
（3）如上图所示，过点C作直线CD、CE交X轴于点D，点E，交抛物线于点M1、M2
∴B（0，3），C（0，—3）
∴OB=OC=3且∠BOC=900
∴∠OBC=450
①若∠M1CB=15o
∴∠BDC=450=∠OBC—∠BCD=450—150=300
在RtDOC中，OD=
3=
tan30o
3=3
3
3
3
3
∴D（3，0）
3
设直线CM1的解析式是y=kx+b,把点C（0,-3），D（3
⎧b=-3
⎪
，0）代入，得
⎨3
⎪⎩k=3
∴直线CM1的解析式是y=
3x-3
3
⎧
⎪y=
3x-3
3
⎩
⎧x=3
由⎨
⎪
⎪y=
⎩
1x2-3
3
解之得⎨y=-2
3
所以，M1（，-2）
oOoo
②若∠M2CB=15，则∠OCM1=45-15=30
在RtOCM2
中，OE=3∙tan30o=3×3=
3
3
3
所以，E（，0）
3
设直线CM2的解析式是y=px+q,将C（0,-3），E（，0）代入，得
3
P=,q=-3
3
所以,直线CM2的解析式是y=x-3
3
所以，M2（3，6）
升级会员 