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土坡稳定性分析
第七章土坡稳定性分析
第一节概述
图7-1土坡各部位名称
土坡就是由土体构成、具有倾斜坡面的土体，它
的简单外形如图7-1所示。
一般而言，土坡有两种类
型。
由自然地质作用所形成的土坡称为天然土坡，如山坡、江河岸坡等；由人工开挖或回填而形成的土坡称为人工土（边）坡，如基坑、土坝、路堤等的边坡。
土坡在各种内力和外力的共同作用下，有可能产生剪切破坏和土体的移动。
如果靠坡面处剪切破坏的面积很大，则将产生一部分土体相对于另一部分土体滑动的现象，称为滑坡。
土体的滑动一般系指土坡在一定范围内整体地沿某一滑动面向下和向外移动而丧失其稳定性。
除设计或施工不当可能导致土坡的失稳外，外界的不利因素影响也触发和加剧了土坡的失稳，一般有以下几种原因：
1．土坡所受的作用力发生变化：
例如，由于在土坡顶部堆放材料或建造建筑物而使坡顶受荷。
或由于打桩振动，车辆行驶、爆破、地震等引起的振动而改变了土坡原来的平衡状态；
2．土体抗剪强度的降低：
例如，土体中含水量或超静水压力的增加；
3．静水压力的作用：
例如，雨水或地面水流入土坡中的竖向裂缝，对土坡产生侧向压力，从而促进土坡产生滑动。
因此，粘性土坡发生裂缝常常是土坡稳定性的不利因素，也是滑坡的预兆之一。
在土木工程建筑中，如果土坡失去稳定造成塌方，不仅影响工程进度，有时还会危及人的生命安全，造成工程失事和巨大的经济损失。
因此，土坡稳定问题在工程设计和施工中应引起足够的重视。
天然的斜坡、填筑的堤坝以及基坑放坡开挖等问题，都要演算斜坡的稳定性，亦既比较可能滑动面上的剪应力与抗剪强度。
这种工作称为稳定性分析。
土坡稳定性分析是土力学中重要的稳定分析问题。
土坡失稳的类型比较复杂，大多是土体的塑性破坏。
而土体塑性破坏的分析方法有极限平衡法、极限分析法和有限元法等。
在边坡稳定性分析中，极限分析法和有限元法都还不够成熟。
因此，目前工程实践中基本上都是采用极限平衡法。
极限平衡方法分析的一般步骤是：
假定斜坡破坏是沿着土体内某一确定的滑裂面滑动，根据滑裂土体的静力平衡条件和莫尔—库伦强度理论，可以计算出沿该滑裂面滑动的可能性，即土坡稳定安全系数的大小或破坏概率的高低，然后，再系统地选取许多个可能的滑动面，用同样的方法计算其稳定安全系数或破坏概率。
稳定安全系数最低或者破坏概率最高的滑动面就是可能性最大的滑动面。
本章主要讨论极限平衡方法在斜坡稳定性分析中的应用，并简要介绍有限元法的概念。
第二节无粘性土坡稳定性分析
无粘性土坡即是由粗颗粒土所堆筑的土坡。
相对而言，无粘性土坡的稳定性分析比较简单，可以分为下面二种情况进行讨论。
一、均质的干坡和水下坡
均质的干坡系指由一种土组成，完全在水位以上的无粘性土坡。
水下土坡亦是由一种土组成，但完全在水位以下，没有渗透水流作用的无粘性土坡。
在上述二种情况下，只要土坡坡面上的土颗粒在重力作用下能够保持稳定，那么，整个土坡就是稳定的。
在无粘性土坡表面取一小块土体来进行分析（图7-2），设该小块土体的重量为W，其法向分力N=Wcos
，切向分力T=Wsin
。
法向分力产生摩擦阻力，阻止土体下滑，称为抗滑力，其值为R=N·tg
＝Ｗcos
·tg
。
切向分力T是促使小土体下滑的滑动力。
则土体的稳定安全系数Fs为：
Fs
（7-1）
式中：
——土的内摩擦角（°）；
——土坡坡角（°）。
图7-2 无粘性土坡
图7-3渗透水流逸出的土坡
由上式可见，当
＝
时，Fs＝１，即其抗滑力等于滑动力，土坡处于极限平衡状态，此时的
就称为天然休止角。
当
＜φ时，土坡就是稳定的。
为了使土坡具有足够的安全储备，一般取Fs＝1.1～1.5。
二、有渗透水流的均质土坡
当边坡的内、外出现水位差时，例如基坑排水、坡外水位下降时，在挡水土堤内形成渗流场，如果浸润线在下游坡面逸出（图7-3），这时，在浸润线以下，下游坡内的土体除了受到重力作用外，还受到由于水的渗流而产生的渗透力作用，因而使下游边坡的稳定性降低。
渗流力可用绘流网的方法求得。
作法是先绘制流网，求滑弧范围内每一流网网格的平均水力梯度i，从而求得作用在网格上的渗透（流）力：
（7-2）
式中：
——水的重度；
Ai——网格的面积。
求出每一个网格上的渗透力Ji后，便可求得滑弧范围内渗透力的合力TJ。
将此力作为滑弧范围内的外力（滑动力）进行计算，在滑动力矩中增加一项：
（7-3）
式中：
lJ——TJ距圆心的距离。
如果水流方向与水平面呈夹角θ，则沿水流方向的渗透力j=
。
在坡面上取土体V中的土骨架为隔离体，其有效的重量为
。
分析这块土骨架的稳定性，作用在土骨架上的渗透力为
。
因此，沿坡面的全部滑动力，包括重力和渗透力为
（7-4）
坡面的正压力为
（7-5）
则土体沿坡面滑动的稳定安全系数：
（7-6）
式中：
i——渗透坡降；
——土的浮重度；
——水的重度；
——土的内摩擦角。
若水流在逸出段顺着坡面流动，即θ＝
。
这时，流经路途ｄs的水头损失为dh，所以，有
（7-7）
将其代入式（7－6），得：
（7-8）
图7-4渗透水流未逸出的土坡
由此可见，当逸出段为顺坡渗流时，土坡稳定安全系数降低
。
因此，要保持同样的安全度，有渗流逸出时的坡角比没有渗流逸出时要平缓得多。
为了使土坡的设计既经济又合理，在实际工程中，一般要在下游坝址处设置排水棱体，使渗透水流不直接从下游坡面逸出（图7-4）。
这时的下游坡面虽然没有浸润线逸出，但是，在下游坡内，浸润线以下的土体仍然受到渗透力的作用。
这种渗透力是一种滑动力，它将降低从浸润线以下通过的滑动面的稳定性。
这时深层滑动面（如图7-4中虚线表示）的稳定性可能比下游坡面的稳定性差，即危险的滑动面向深层发展。
这种情况下，除了要按前述方法验算坡面的稳定性外，还应该用圆弧滑动法验算深层滑动的可能性。
第三节粘性土坡的稳定性分析
图7-5粘性土坡的滑动面
一般而言，粘性土坡由于剪切而破坏的滑动
面大多数为一曲面，一般在破坏前坡顶先有张裂缝发生，继而沿某一曲线产生整体滑动。
图7-5中的实线表示一粘性土坡滑动面的曲面，在理论分析时可以近似地将其假设为圆弧，如图中虚线表示。
为了简化计算，在粘性土坡的稳定性分析中，常假设滑动面为圆弧面。
建立在这一假定上的稳定性分析方法称为圆弧滑动法。
这是极限平衡方法的一种常用分析方法。
一、整体圆弧滑动法
图7-6整体圆弧滑动受力示意图
瑞典的彼得森（，该法在世界各国的土木工程界得到了广泛的应用。
所以，整体圆弧滑动法也被称为瑞典圆弧法。
如图7-6，表示一个均质的粘性土坡，它可能沿圆弧面AC滑动。
土坡失去稳定就是滑动土体绕圆心O发生转动。
这里把滑动土体当成一个刚体，滑动土体的重量W为滑动力，将使土体绕圆心O旋转，滑动力矩Ms＝Ｗd（d为通过滑动土体重心的竖直线与圆心O的水平距离）。
抗滑力矩MR由两部分组成：
①滑动面AC上粘聚力产生的抗滑力矩，值为c·
·R；②滑动土体的重量W在滑动面上的反力所产生的抗滑力矩。
反力的大小和方向与土的内摩擦角
值有关。
当
＝０时，滑动面是一个光滑曲面，反力的方向必定垂直于滑动面，即通过圆心O，它不产生力矩，所以，抗滑力矩只有前一项c·
·R。
这时，可定义粘性土坡的稳定安全系数为：
（7-9）
此式即为整体圆弧滑动法计算边坡稳定安全系数的公式。
注意，它只适用于
＝０的情况。
若
≠0，则抗滑力与滑动面上的法向力有关，其求解可参阅下面的条分法。
二、瑞典条分法
所谓瑞典条分法，就是将滑动土体竖直分成若干个土条，把土条看成是刚体，分别求出作用于各个土条上的力对圆心的滑动力矩和抗滑力矩，然后按公式（7-9）求土坡的稳定安全系数。
把滑动土体分成若干个土条后，土条的两个侧面分别存在着条块间的作用力（图7-7）。
作用在条块i上的力，除了重力Wi外，条块侧面ac和bd上作用有法向力Ｐi、Ｐi＋１，切向力Ｈi、Ｈi＋１，法向力的作用点至滑动弧面的距离为hi、ｈi＋１。
滑弧段cd的长度li，其上作用着法向力Ni和切向力Ti，Ti包括粘聚阻力ci·li和摩擦阻力Ni·tg
i。
考虑到条块的宽度不大，Wi和Ni可以看成是作用于cd弧段的中点。
在所有的作用力中，Pi、Ｈi在分析前一土条时已经出现，可视为已知量，因此，待定的未知量有Pi＋１、Ｈi＋１、hi＋１、Ｎi和Ｔi5个。
每个土条可以建立三个静力平衡方程，即ΣＦxi＝０，ΣＦzi＝０和ΣＭi＝０和一个极限平衡方程Ti＝（Ni·ｔｇ
i＋ｃi·ｌi）/Fs。
如果把滑动土体分成n个条块，则n个条块之间的分界面就有（n-1）个。
分界面上的未知量为3（n-1），滑动面上的未知量为2n个，还有待求的安全系数Fs，未知量总个数为（5n-2），可以建立的静力平衡方程和极限平衡方程为4n个。
待求未知量与方程数之差为（n-2）。
而一般条分法中的n在10以上。
因此，这是一个高次的超静定问题。
为使问题求解，必须进行简化计算。
瑞典条分法假定滑动面是一个圆弧面，并认为条块间的作用力对土坡的整体稳定性影响不大，故而忽略不计。
或者说，假定条块两侧的作用力大小相等，方向相反且作用于同一直线上。
图7-8中取条块i进行分析，由于不考虑条块间的作用力，根据径向力的静力平衡条件，有：
Ni=Wicos
（7-10）
根据滑动弧面上的极限平衡条件，有：
Ti＝Tfi/Fs=（ci·li＋Ni·tg
i）/Fs（7-11）
式中：
Tfi——条块i在滑动面上的抗剪强度；
Fs——滑动圆弧的稳定安全系数。
另外，按照滑动土体的整体力矩平衡条件，外力对圆心力矩之和为零。
在条块的三个作用力中，法向力Ni通过圆心不产生力矩。
重力Wi产生的滑动力矩为：
∑Ｗi·di＝∑Ｗi·Ｒ·sinθi（7-12）滑动面上抗滑力产生的抗滑力矩为：
（7-13）
滑动土体的整体力矩平衡，即∑Ｍ＝０，故有：
∑Wi·di＝∑Ti·R（7-14）
将式（7-12）和式（7-13）代入式（7-14），并进行简化，得：
（7-15）
式（7-15）是最简单的条分法计算公式，因为它是由瑞典人费伦纽斯（W.Fellenius）等首先提出的，所以称为瑞典条分法，又称为费伦纽斯条分法。
从分析过程可以看出，瑞典条分法是忽略了土条块之间力的相互影响的一种简化计算方法，它只满足于滑动土体整体的力矩平衡条件，却不满足土条块之间的静力平衡条件。
这是它区别于后面将要讲述的其它条分法的主要特点。
由于该方法应用的时间很长，积累了丰富的工程经验，一般得到的安全系数偏低，即误差偏于安全，所以目前仍然是工程上常用的方法。
三、毕肖甫条分法
毕肖甫（，称为毕肖甫条分法。
此法仍然是圆弧滑动条分法。
在图7-9中，从圆弧滑动体内取出土条i进行分析。
作用在条块i上的力，除了重力
Wi外，滑动面上有切向力Ti和法向力Ni，条块的侧面分别有法向力Pi、Pi+1和切向力Hi、Hi+1。
假设土条处于静力平衡状态，根据竖向力的平衡条件，应有：
（7-16）
根据满足土坡稳定安全系数Fs的极限平衡条件，有：
Ti＝（ci·li＋Ｎi·tg
）/Fs （7-11）
图7-9毕肖甫法条块作用力分析
将式（7-11）代入式（7-16），整理后得：
（7-17）
式中：
（7-18）
考虑整个滑动土体的整体力矩平衡条件，各个土条的作用力对圆心的力矩之和为零。
这时条块之间的力Pi和Hi成对出现，大小相等，方向相反，相互抵消，对圆心不产生力矩。
滑动面上的正压力Ni通过圆心，也不产生力矩。
因此，只有重力Wi和滑动面上的切向力Ti对圆心产生力矩。
按式（7-14）
将式（7-11）代入上式，得
将式（7-17）的Ni值代入上式，简化后得
（7-19）
这就是毕肖甫条分法计算土坡稳定安全系数Fs的一般公式。
式中的ΔHi＝Hi+1-Hi，仍然是未知量。
如果不引进其它的简化假定，式（7-19）仍然不能求解。
毕肖甫进一步假定ΔHi＝０，实际上也就是认为条块间只有水平作用力Pi，而不存在切向作用力Hi。
于是式（7-19）进一步简化为：
（7－20）
此式称为简化的毕肖甫公式。
式中的参数
包含有稳定安全系数Fs。
因此，不能直接求出土坡的稳定安全系数Fs，而需要采用试算的办法，迭代求算Fs值。
为了便于迭代计算，已编制成mθ－θ关系曲线，如图7-10。
图7-10 mθ值曲线图
试算时，可以先假定Fs＝1.0，由图7-10查出各个
所相应的
值，并将其代入式（7-20）中，求得边坡的稳定安全系数
。
若
与Fs之差大于规定的误差，用
查
，再次计算出稳定安全系数
，此如这样反复迭代计算，直至前后两次计算的稳定安全系数非常接近，满足规定精度的要求为止。
通常迭代总是收敛的，一般只要试算3～4次，就可以满足迭代精度的要求。
与瑞典条分法相比，简化的毕肖甫法是在不考虑条块间切向力的前提下，满足力的多边形闭合条件，也就是说，隐含着条块间有水平力的作用，虽然在公式中水平作用力并未出现。
所以它的特点是：
（1）满足整体力矩平衡条件；
（2）满足各个条块力的多边形闭合条件，但不满足条块的力矩平衡条件；（3）假设条块间作用力只有法向力没有切向力；（4）满足极限平衡条件。
由于考虑了条块间水平力的作用，得到的稳定安全系数较瑞典条分法略高一些。
很多工程计算表明，毕肖甫法与严格的极限平衡分析法，即满足全部静力平衡条件的方法（如下述的简布法）相比，结果甚为接近。
由于计算过程不很复杂，精度也比较高，所以，该方法是目前工程中很常用的一种方法。
四、普遍条分法（简布法，N.Janbu）
普遍条分法的特点是假定条块间水平作用力的位置。
在这一假定前提下，每个土条块都满足全部的静力平衡条件和极限平衡条件，滑动土体的整体力矩平衡条件也自然得到满足。
而且，它适用于任何滑动面，而不必规定滑动面是一个圆弧面，所以称为普遍条分法。
它是由简布提出的，又常称为简布法。
图7-11 简布法条块作用力分析
从图7-11（ａ）滑动土体ABC中取任意条块i进行静力分析。
作用在条块上的力及其作用点见图7-11（b）所示。
按照静力平衡条件
，得：
（7-16）
，得：
（7-21）
将式（7-16）代入式（7-21）整理后得：
（7-22）
根据极限平衡条件，考虑土坡稳定安全系数Fs
（7-11）
由式（7-16）得：
（7-23）
代入式（7-11），整理后得；
（7-24）
将式（7-24）代入式（7-22），得：
图7-12 条块侧面法向力
（7-25）
图7-12表示作用在土条条块侧面的法向力P，显然有P1＝ΔP1，P2＝P1+ΔP2＝ΔP1+ΔP2，依此类推，有：
（7-26）
若全部土条条块的总数为n，则有：
（7-27）
将式（7-25）代入式（7-27），得：
整理后得：
（7-28）
比较毕肖甫公式（7-19）和简布公式（7-28），可以看出两者很相似，但分母有差别，毕肖甫公式是根据滑动面为圆弧面，滑动土体满足整体力矩平衡条件推导出的。
简布公式则是利用力的多边形闭合和极限平衡条件，最后从
得出。
显然这些条件适用于任何形式的滑动面而不仅仅局限于圆弧面，在式（7-28）中，ΔHi仍然是待定的未知量。
毕肖甫没有解出ΔHi，而让ΔHi＝０，从而成为简化的毕肖甫公式。
而简布法则是利用条块的力矩平衡条件，因而整个滑动土体的整体力矩平衡也自然得到满足。
将作用在条块上的力对条块滑弧段中点Oi取矩（图7-11（ｂ）），并让∑ＭOi＝０。
重力Wi和滑弧段上的力Ni和Ti均通过Oi，不产生力矩。
条块间力的作用点位置已确定，故有：
否
是
图7-13简布法计算程序流程
略去高阶微量整理后得：
（7-29）
（7-30）
式（7-29）表示土条间切向力与法向力之间的关系。
式中符号见图7-11。
由公式（7-25）、（7-26）、（7-27）、（7-28）、（7-29）和（7-30），利用迭代法可以求得普遍条分法的边坡稳定安全系数Fs。
其步骤如下：
（1）假定
，利用式（7-28），迭代求第一次近似的边坡稳定安全系数Fs1。
（2）将Fs1和
代入式（7-25），求相应的
（对每一条块，从1到n）。
（3）用式（7-26）
求条块间的法向力（对每一条块，从1到n）。
（4）将Pi和ΔPi代入式（7-29）和（7-30），求条块间的切
向作用力Ｈi（对每一条块，从1到n）和ΔHi。
（5）将ΔHi重新代入式（7-28），迭代求新的稳定安全系数Fs2。
如果Fs2-Fs1>Δ（Δ为规定的计算精度），重新按上述步骤
（2）—（5）进行第二轮计算。
如此反复进行，直至Fs（k）-Fs（k-1）≤Δ为止。
Fs（k）就是该假定滑动面的稳定安全系数。
边坡真正的稳定安全系数还要计算很多滑动面，进行比较，找出最危险的滑动面，其边坡稳定安全系数才是真正的安全系数。
这种计算工作量相当浩繁，一般要在计算机上计算。
用普遍条分法计算一个滑动面稳定安全系数的流程如图7-13。
【例题7-1】一简单的粘性土坡，高25m，坡比1∶2，辗压土的重度
=20kN/m3，内摩擦角
＝26.6°（相当于tg
＝0.5），粘结力c=10kN/m2，滑动圆心O点如图7-14所示，试分别用瑞典条分法和简化毕肖甫法求该滑动圆弧的稳定安全系数，并对结果进行比较。
图7-14例题7-1图
解：
为了使例题计算简单，只将滑动土体分成6个土条，分别计算各条块的重量Wi，滑动面长度li，滑动面中心与过圆心铅垂线的圆心角θi，然后，按照瑞典条分法和简化毕肖甫法进行稳定分析计算。
1．瑞典条分法
瑞典条分法分项计算结果见例表7-1。
kN
边坡稳定安全系数
2．简化毕肖甫法
根据瑞典条分法得到计算结果Fs＝1.36，由于毕肖甫法的稳定安全系数稍高于瑞典条分法。
设Fs1=1.55，按简化的毕肖甫条分法列表分项计算，结果如例表7-2。
kN
例表7-1 例题7－1瑞典条分法计算成果
条块
编号
θi
（°）
Wi
（kN）
（kN）
（kN）
（kN）
li
（m）
cili
（kN）
-1
-9.93
412.5
-0.172
0.985
-71.0
406.3
203
8.0
80
0
0
1600
0
1.0
0
1600
800
10.0
100
1
13.29
2375
0.230
0.973
546
2311
1156
10.5
105
2
27.37
2625
0.460
0.888
1207
2331
1166
11.5
115
3
43.60
2150
0.690
0.724
1484
1557
779
14.0
140
4
59.55
487.5
0.862
0.507
420
247
124
11.0
110
例表7-2例题7－1毕肖普法分项计算成果
编号
Mθi
cibi
-1
0.985
-0.172
-0.086
-0.055
0.93
-71
80
206.3
307.8
0
1.00
0
0
0
1.00
0
100
800
900
1
0.973
0.230
0.115
0.074
1.047
546
100
1188
1230
2
0.888
0.460
0.230
0.148
1.036
1207
100
1313
1364
3
0.724
0.690
0.345
0.223
0.947
1484
100
1075
1241
4
0.507
0.862
0.431
0.278
0.785
420
50
243.8
374.3
安全系数
毕肖甫法稳定安全系数公式中的滑动力∑Wisin
与瑞典条分法相同。
Fs1-Fs2=0.04，误差较大。
按Fs2=1.51，进行第二次迭代计算，结果列于例表7-3中。
稳定安全系数
，十分接近，因此，可以认为Fs=1.51。
例表7-3例题7－1毕肖普法第二次迭代计算成果
编号
Mθi
cibi
-1
0.985
-0.172
-0.086
-0.057
0.928
-71
80
206.3
308.5
0
1.00
0.0
0
0
1.00
0
100
800
900
1
0.973
0.230
0.115
0.076
1.045
546
100
1188
1232.5
2
0.888
0.460
0.230
0.152
1.040
1207
100
1313
1358.6
3
0.724
0.690
0.345
0.228
0.952
1484
100
1075
1234.2
4
0.507
0.862
0.431
0.285
0.792
420
50
243.8
371
计算结果表明，简化毕肖甫条分法的稳定安全系数较瑞典条分法高，约大0.15，与一般结论相同。
五、有限元法
从瑞典条分法到普遍条分法的基本思路都是把滑动土体分成有限宽度的土条，把土条当成刚体，根据滑动土体的静力平衡条件和极限平衡条件，求得滑动面上力的分布，从而可以计算出边坡稳定安全系数Fs。
但是，因为土体是变形体，而并非是刚体，所以，引用分析刚体的办法来分析变形体，并不满足变形协调条件，因而计算出的滑动面上的应力状态不可能是真实的。
有限元法就是把土坡当成变形体，按照土的变形特性，计算出土坡内的应力分布，然后，再把圆弧滑动面的概念引入其中，验算滑动土体的整体抗滑稳定性。
将土坡划分成许多单元体如图7-15所示。
用有限元法可以计算出每个土单元的应力、应变和每个结点的结点力和位移。
这种计算目前已经成为土石坝应力变形分析的常用方法，有各种现成的程序可供应用。
图7-16表示的是一座土坝采用有限元法分析得到的竣工时坝体的剪应变分布图，可以清楚看出坝坡在重力的作用下剪切变形的轨迹类似于滑弧面。
图7-15土坝的有限元网格和滑弧面
图7-16某坝竣工后的剪应变分布（有限元法分析）
土坡的应力计算出来以后，再引入圆弧滑动面的概念。
图7-16中表示一个可能的圆弧滑动面。
把可能的圆弧滑动面划分成若干个小弧段Δli，小弧段Δli上的应力用弧段中点的应力代表，其值可以按照有限元法应力分析的结果，根据弧段中点所在的单元的应力确定，表示为
，
，
。
如果小弧段Δli与水平线的倾角为
，则作用在弧段上的法向应力和剪应力分别为
（7-31）
（7-32）
根据莫尔—库伦强度理论，该点土的抗剪强度为
将滑动面上所有小弧段的剪应力和抗剪强度分别求出来以后，再累加求得沿着滑动面总的剪切力∑
和抗剪力∑
。
因此，边坡稳定安全系数为
（7-
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