李雅普诺夫现代概率论 在现代分析基础上再生.docx

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李雅普诺夫现代概率论在现代分析基础上再生

2011-06-14

李雅普诺夫现代概率论：

在现代分析基础上再生李雅普诺夫现代概率论：

在现代分析基础上再生

苏联数学家柯尔莫哥洛夫（AndreyNikolaevichKolmogorov，1903.4.25-1987.10.20，1980年荣获Wolf数学奖）

1920年他高中毕业，进入莫斯科大学，先学习冶金，后来转学数学，并决心以数学为终身职业。

Kolmogorov大学三年级时就发表了论文构造了一个处处发散的傅立叶级数，表现出卓越的数学才能，载誉国际。

1924年他念大学四年级时就和当时的苏联数学家辛钦一起建立了关于独立随机变量的三级数定理。

1925年大学毕业后，当研究生。

1928年他得到了随机变量序列服从大数定理的充要条件。

1929年得到了独立同分布随机变量序列的重对数律。

1930年得到了强大数定律的非常一般的充分条件。

1931年发表了《概率论的解析方法》一文，奠定了马尔可夫过程论的基础，马尔可夫过程在物理、化学、生物、工程技术和经济管理等学科中有十分广泛的应用，仍然是当今世界数学研究的热点和重点之一。

[1906-1912年，安德烈?

马尔可夫（A.A.Markov，1856.6.14-1922.7.20）开始了马尔可夫链的研究。

]

1931年起他担任莫斯科大学教授。

1932年得到了含二阶矩的随机变量具有无穷可分分布律的充要条件。

1933年担任莫斯科大学数学力学研究所所长，创建了概率论、数理统计、数理逻辑、概率统计方法等教研室。

1934年出版了《概率论基本概念》一书，在世界上首次以测度论和积分论为基础建立了概率论公理结论，这是一部具有划时代意义的巨著，在科学史上写下原苏联数学最光辉的一页。

1935年提出了可逆对称马尔可夫过程概念及其特征所服从的充要条件，这种过程成为统计物理、排队网络、模拟退火、人工神经网络、蛋白质结构的重要模型。

1935年获得苏联首批博士学位，

1936-1937年给出了可数状态马尔可夫链状态分布。

20世纪30-40年代他和辛钦一起发展了马尔可夫过程和平稳随机过程论，并应用于大炮自动控制和工农业生产中，在卫国战争中立了功。

1939年定义并得到了经验分布与理论分布最大偏差的统计量及其分布函数。

1941年他得到了平稳随机过程的预测和内插公式。

1954年担任莫斯科大学数学力学系主任。

1955-1956年他和他的学生，苏联数学家Y.V.Prokhorov开创了取值于函数空间上概率测度的弱极限理论，这个理论和苏联数学家A.B.Skorohod引入的D空间理论是弱极限理论的划时代成果。

1966年当选为原苏联教育科学院院士。

他是一位伟大的教育家。

他热爱学生，对学生严格要求，指导有方，直接指导的学生有67人，他们大多数成为世界级的数学家，其中14人成为前苏联科学院院士。

他的研究范围广泛：

基础数学、数理逻辑、实变函数论、微分方程、概率论、数理统计、信息论、泛函分析力学、拓朴学…以及数学在物理、化学、生物、地质、冶金、结晶学、人工神经网络中的广泛应用。

他创建了一些新的数学分支--信息算法论、概率算法论和语言统计学等。

日本数学家伊藤清（Kiyosi.Ito，1915.9.7-2008.11.10，1987年荣获Wolf数学奖，2006年首届高斯奖得主）

生于三重县.伊藤清的工作集中于概率论,特别是随机分析领域.

1935年到1938年在东京大学数学系学习,

1939年到1943年在政府统计局工作.其间研读概率论并发表两篇论文.

1943年到1952年在名古屋大学任副教授,

1944年他率先对Brown运动引进随机积分,从而建立随机微积分或随机分析这个新分支.

1945年获理学博士学位.

1951年他引进计算随机微分的伊藤公式,后推广成一般的变元替换公式,这是随机分析的基础定理.同时他定义多重Wiener积分和复多重Wiener积分.

1952年起在京都大学任教授直到1979年退休.

其间他多次去国外访问：

普林斯顿大学（1954-1956）；斯坦福大学（1961-1964）；丹麦Aarhus大学（1966-1969）；美国Cornell大学（1969-1975）等.

1979年到1985年到学习院大学工作,其后在美国明尼苏达大学数学及其应用研究所工作一年.

伊藤还发展一般Markov过程的随机微分方程理论,他还是最早研究流形上扩散过程的学者之一.由此他得到随机微分的链式法则,以及随机平行移动的观念,这预示1970年随机微分几何学的建立.面对一般的Markov过程的鞅论方向、位势论方向以及其他各种推广,伊藤都进行了一些研究,例如1975年他导出伊藤积分和Stratonovich积分的关系,以及无穷维随机变元情形的推广.他证明对Banach空间值随机变元,独立随机变元和弱收敛与几乎确定收敛等价.他还以此为工具研究无穷维动力系统理论.

伊藤清是日本学士院会员（1991）,曾获日本学士院赏恩赐赏（1978）.因在概率论方面的奠基性工作而获1987年Wolf奖.

数学大国苏联是以卢津为首的莫斯科学派最为主要，20世纪20年代许多人到德国等地留学，出现了一批优秀的拓扑学家、代数学家、分析学家。

苏联的概率论尤其出色。

自从苏联数学家柯尔莫哥洛夫（AndreyNikolaevichKolmogorov，1903.4.25-1987.10.20，1980年荣获Wolf数学奖）在上世纪30年代把测度引入概率论以来，测度理论就成为现代概率论的基础。

在这里，概率定义为测度，随机变量定义为可测函数，条件随机变量定义为可测函数在某个函数空间的投影，均值则是可测函数对于概率测度的积分。

值得注意的是，很多的现代观点，开始以泛函分析的思路看待概率论的基础概念，随机变量构成了一个向量空间，而带符号概率测度则构成了它的对偶空间，其中一方施加于对方就形成均值。

角度虽然不一样，不过这两种方式殊途同归，形成的基础是等价的。

在现代概率论的基础上，许多传统的分支得到了极大丰富，最有代表性的包括鞅论（Martingale）--由研究赌博引发的理论，现在主要用于金融（这里可以看出赌博和金融的理论联系），布朗运动（BrownianMotion）--连续随机过程的基础，以及在此基础上建立的随机分析（StochasticCalculus），包括随机积分（对随机过程的路径进行积分，其中比较有代表性的叫伊藤积分（ItoIntegral）），和随机微分方程。

对于连续几何运用建立概率模型以及对分布的变换的研究离不开这些方面的知识。

概率论学科始于博弈游戏；

对于A、B两个事物"彼此独立"的语义，在概率语言中，是通过语形P（A）P（B）=P（A）P（A/B）来刻画；在向量语言中，是通过A、B向量"内积"为零来体现：

=（a1b1+a2b2）=0。

概率论虽然已有300年的历史，但到20世纪初，人们对概率只有一些模糊的认识，概率的计算也没有很严格的基础。

当时只有一些古典概率的基本概念以及大数律（lawsoflargenumber，1713-1837年）及中心极限定理（centrallimittheorem）的原始形式。

20世纪初（1920年）严格地证明了中心极限定理。

?

由强大数律或均方大数律可以推出弱大数律。

伯努利大数律（1713年）

波莱尔强大数律（1909年），波莱尔有意识地把概率论建立在测度论的基础上，建立了可数集的概率法，填补了古典概率以及几何概率之间的空白，概率论才算有了可靠的数学基础。

辛钦大数律（1929年）

柯尔莫哥洛夫强大数律，1933年，柯尔莫戈罗夫把概率论公理化，概率论才正式成为一门独立学科。

到20世纪20年代，建立了大数律与中心极限定理成立的充分必要条件，可以说是古典概率论的最终完成。

但是，这个时期对于概率的理解有着很大的不同，对于概率的数学基础，也有不同的看法。

20世纪20年代到40年代，是概率论的英雄时代，这个时期形成了以莱维为代表的法国学派，柯尔莫戈罗夫、辛钦等为代表的苏联学派以及稍后的美国学派，这个时期研究了独立随机变量和的极限定律以及相关的随机变量情形下大数律与中心极限定理的推广，而最重要的一个方面是随机过程。

随机过程的最典型的例子是布朗运动（Brownianmotion，1827年），在爱因斯坦1905年的物理解释的基础上，N.维纳首先从数学上建立了布朗运动的理论模型，其后莱维从马尔可夫过程观点研究布朗运动，提出假定未来与过去无关这种强马尔可夫性质。

后来发现马尔可夫过程的转移概率满足微分积分方程。

第二次世界大战后，概率论发展了随机过程和随机分析等重要分支，在理论和实践方面起着重大作用。

作为概率论的应用是数理统计，它来源于优生学。

20世纪初，皮尔逊构造相关性的理论，建立了生物计量学的基础。

他引进了分布，开辟了参数检验理论，后来戈塞特开辟小样本检验方法，这些都是建立在古典概率基础上的。

20世纪20年代，费希尔一系列的理论与实践活动促进了数理统计的极大发展，他的主要贡献是假设检验和实验设计，他还发展了方差分析方法的研究。

他的数学不够严格，后来在概率论公理化的基础上，内曼等人奠定了统计假设检验的基础。

实验设计是应用非常广泛的方法，它与组合理论密切相关，特别涉及正交拉丁方的存在问题以及区组设计理论，这些都已经成为组合理论的独立分支。

数理统计的另外一个发展是瓦尔德开创的统计判断函数理论，在第二次世界大战中，他发展了序贯分析法，有极大的实用价值。

高斯（JohannCarlFriedrichGauss，1777.4.30-1855.2.23）

18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。

通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。

高斯钟形曲线（正态分布曲线）。

其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。

高斯的肖像已经被印在从1989年至2001年流通的10德国马克的纸币上。

雅各布·伯努利（JakobBernoulli，1654.12.27-1705.8.16）伯努利家族代表人物之一，数学家。

被公认的概率论的先驱之一。

他是最早使用"积分"这个术语的人，也是较早使用极坐标系的数学家之一。

还较早阐明随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近。

罗比达法则L'Hospital是约翰·伯努利首先发现的，罗比达花钱请伯努利教他微积分，伯努利把他的成果告诉了罗比达，罗比达后来写了一本教科书抢走了他的功劳。

约翰·伯努利：

测地线的主法线垂直于曲面。

法国数学家泊松（Poisson,Simeon-Denis，1781.6.21-1840.4.25）建立了描述随机现象的一种概率分布--泊松分布。

他推广了"大数定律"，并导出了在概率论与数理方程中有重要应用的泊松积分。

他是从法庭审判问题出发研究概率论的，1837年出版了他的专著《关于刑事案件和民事案件审判概率的研究》。

拉普拉斯（Pierre-SimonLaplace,1749.3.23-1827.3.5）1812年发表了重要的《概率分析理论》一书，在该书中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举审判调查、气象等方面的应用，导入"拉普拉斯变换"等。

蒲丰（George-LouisLeclercdeBuffon,1707.9.7-1788.4.16）是几何概率的开创者，并以蒲丰投针问题闻名于世，发表在其1777年的论著《或然性算术试验》中.

棣莫弗（DeMoivre,Abraham，1667.5.26-1754.11.27）1711年，他写了《抽签的计量》，并在七年后修改扩充为《机会的学说》发表.这是早期概率论的专著之一，当中首次定义了独立事件的乘法定理，给出二项分布公式，更讨论了许多掷骰和其它赌博的问题。

贝叶斯（ThomasBayes，1701-1761）首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献.1763年发表了这方面的论著，对于现代概率论和数理统计都有很重要的作用。

贝叶斯的另一著作《机会的学说概论》发表于1758年。

贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今。

贝叶斯思想和方法对概率统计的发展产生了深远的影响。

今天，贝叶斯思想和方法在许多领域都获得了广泛的应用。

从二十世纪20-30年代开始,概率统计学出现了"频率学派"和"贝叶斯学派"的争论，至今，两派的恩恩怨怨仍在继续。

切比雪夫（1821.5.16-1894.12.8）是在概率论门庭冷落的年代从事这门学问的。

他一开始就抓住了古典概率论中具有基本意义的问题，即那些"几乎一定要发生的事件"的规律--大数定律。

历史上的第一个大数定律是由伯努利（Bernoulli，JacobI）提出来的，后来泊松（Poisson）又提出了一个条件更宽的陈述，除此之外在这方面没有什么进展。

1845年，切比雪夫在其硕士论文中借助十分初等的工具--ln（1+x）的麦克劳林展开式，对伯努利大数定律作了严格的证明。

1846年，他又发表了"概率论中基本定理的初步证明"一文，文中继而给出了泊松形式的大数定律的证明。

1887年，他发表了更为重要的"关于概率的两个定理"，开始对随机变量和收敛到正态分布的条件，即中心极限定理进行讨论。

切比雪夫引出的一系列概念和研究题材为俄国以及后来苏联的数学家继承和发展.

马尔科夫对"矩方法"作了补充，圆满地解决了随机变量的和按正态收敛的条件问题。

李雅普诺夫则发展了特征函数方法，从而引起中心极限定理研究向现代化方向上的转变。

20世纪30年代A.H.柯尔莫哥洛夫建立概率论的公理体系。

苏联在这一领域取得了无可争辩的领先地位。

近代极限理论--无穷可分分布律的研究也经C.H.伯恩斯坦、辛钦等人之手而臻于完善，成为切比雪夫所开拓的古典极限理论在20世纪抽枝发芽的繁茂大树.

关于切比雪夫在概率论中所引进的方法论变革的伟大意义，苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫在"俄罗斯概率科学的发展"（53-64）一文中写道：

"从方法论的观点来看，切比雪夫所带来的根本变革的主要意义不在于他是第一个在极限理论中坚持绝对精确的数学家（A.棣莫弗（deMoivre）、P-S.拉普拉斯（Laplace）和泊松的证明与形式逻辑的背景是不协调的，他们不同于雅格布·伯努利，后者用详尽的算术精确性证明了他的极限定理），切比雪夫的工作的主要意义在于他总是渴望从极限规律中精确地估计任何次试验中的可能偏差并以有效的不等式表达出来。

此外，切比雪夫是清楚地预见到诸如'随机变量'及其'期望（平均）值'等概念的价值，并将它们加以应用的第一个人.这些概念在他之前就有了，它们可以从'事件'和'概率'这样的基本概念导出，但是随机变量及其期望值是能够带来更合适与更灵活的算法的课题。

"

现代概率论的奠基者之一辛钦（1894.7.19-1959.11.18）

1916年毕业于莫斯科大学，先后在莫斯科大学和苏联科学院斯捷克洛夫数学研究所等处工作.

1927年成为教授.

1935年获得物理数学博士学位.

1939年被选为苏联科学院通讯院士。

辛钦在分析学、数论、概率论及对统计学力学的应用等方面有重要贡献。

辛钦是莫斯科概率论学派的创始人之一.他最早的概率成果是伯努利试验序列的重对数律，是莫斯科概率论学派的开端，直到现在重对数律仍然是概率论重要研究课题之一，关于独立随机变量序列，他首先与柯尔莫哥洛夫讨论了随机变量级数的收敛性，他证明了辛钦弱大数律；得到了无穷可分分布的莱维--辛钦公式。

他还研究了分布律的算术问题和大偏差极限问题。

他提出了平稳随机过程理论，他提出并证明了严格平稳过程的一般遍历定理；首次给出了宽平稳过程的概念并建立了它的谱理论基础；他还研究了概率极限理论与统计力学基础的关系，并将概率论方法广泛应用于统计物理学的研究。

李雅普诺夫（1857.6.6-1918.11.3）

19世纪以前，俄国的数学是相当落后的，直到切比雪夫创立了彼得堡数学学派以后，才使得俄罗斯数学摆脱了落后境地而开始走向世界前列.

李雅普诺夫与师兄马尔柯夫是切比雪夫的两个最著名最有才华的学生，他们都是彼得堡数学学派的重要成员.1876年,李雅普诺夫考入彼得堡大学数学系,

1890年取得博士学位，

1893年成为教授，

1901年被选为科学院院士.

李雅普诺夫在常微分方程定性理论和天体力学方面的工作使他赢得了国际声誉.在概率论方面，李雅普诺夫引入了特征函数这一有力工具，从一个全新的角度去考察中心极限定理，在相当宽的条件下证明了中心极限定理，特征函数的引入实现了数学方法上的革命。

安德烈?

马尔可夫（A.A.Markov，1856.6.14-1922.7.20）

1874年入圣彼得堡大学，受P.L.切比雪夫思想影响很深。

1878年毕业，并以《用连分数求微分方程的积分》一文获金质奖章。

1884年取得物理-数学博士学位，

1886年任该校教授。

1896年被选为圣彼得堡科学院院士。

1905年被授予功勋教授称号。

马尔可夫是彼得堡数学学派的代表人物。

以数论和概率论方面的工作著称。

他的主要著作有《概率演算》等。

在概率论中，他发展了矩法，扩大了大数律和中心极限定理的应用范围。

马尔可夫最重要的工作是在1906-1912年间，提出并研究了一种能用数学分析方法研究自然过程的一般图式--马尔可夫链。

同时开创了对一种无后效性的随机过程--马尔可夫过程的研究。

马尔可夫经多次观察试验发现，一个系统的状态转换过程中第n次转换获得的状态常决定于前一次（第（n-1）次）试验的结果。

马尔可夫进行深入研究后指出：

对于一个系统，由一个状态转至另一个状态的转换过程中，存在着转移概率，并且这种转移概率可以依据其紧接的前一种状态推算出来，与该系统的原始状态和此次转移前的马尔可夫过程无关。

目前，马尔可夫链理论与方法已经被广泛应用于自然科学、工程技术和公用事业中。

历史上的今天：

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