追击问题.docx

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追击问题

运动图像追击和相遇问题

【知识概述】

一．直线运动的x-t图象

1．图象的物理意义：

反映了物体做直线运动位移随时间变化的规律.

2．图线斜率的意义：

①图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小②图线上某点切线的斜率正负表示物体速度的方向。

二．直线运动的v-t图象

1．图象的物理意义：

反映了做直线运动的物体变化的规律。

2．图线斜率的意义：

①图线上某点切线的斜率大小表示物体；②图线上某点切线的斜率正负表示。

3．两种特殊的v-t图象：

①若v-t图象是与横轴平行的直线,说明物体做；②若v-t图象是一条倾斜的直线,说明物体做。

4．图象与坐标轴围成的“面积”的意义：

①图象与坐标轴围成的面积表示。

②若此面积在时间轴的上方,表示这段时间内的位移方向为；若此面积在时间轴的下方,表示这段时间内的位移方向为。

三．追及和相遇问题

1．两物体在同一时刻到达相同的，即两物体追及或相遇。

2．追和被追两者的速度相等常是能追上、追不上、二者之间的距离有极值的_________条件。

⑴在两个物体的追及过程中，当追者的速度小于被追者的速度时，两者的距离在；

⑵当追者的速度大于被追者的速度时，两者的距离在；

⑶当两者的相等时，两者的间距有极值，最大值还是最小值，视实际情况而定。

〖特别提醒〗

⑴在追及、相遇问题中,速度相等往往是临界条件，也往往会成为解题的突破口.

⑵在追及、相遇问题中常有三类物理方程：

①位移关系方程；②时间关系方程；③临界关系方程。

【方法提示】

1．运用运动学图象解题：

运动学图象主要有x–t图象和v–t图象，运用运动学图象解题总结为“六看”，即一看“轴”、二看“线”、三看“斜率”、四看“面积”、五看“截距”、六看“特殊点”。

⑴“轴”：

先要看清坐标系中横轴、纵轴所代表的__________，即图象是描述哪两个物理量间的关系，是位移和时间关系、还是速度和时间关系？

同时还要注意单位和标度。

⑵“线”：

“线”上的一个点一般反映两个量的________对应关系，如x–t图象上一个点对应某一时刻的位移，v–t图象上一个点对应某一时刻的瞬时速度；“线”上的一段一般对应一个物理__________，如x–t图象中图线若为倾斜的直线，表示质点做匀速直线运动；v–t图象中图线若为倾斜直线，则表示物体做匀变速直线运动。

⑶“斜率”：

表示横、纵坐标轴上两物理量的________，常有一个重要的物理量与之对应，用于求解定量计算中对应物理量的大小和定性分析中对应物理量变化快慢的问题，如x–t图象的斜率表示____________；v–t图象的斜率表示______________。

⑷“面积”：

图线和坐标轴所围成的面积也往往表示一个物理量，这要看两轴所代表的物理量的乘积有无实际意义。

这可以通过物理公式来分析，也可以从单位的角度分析。

如x和t乘积无实际意义，我们在分析x–t图象时就不用考虑“面积”；而v和t的乘积vt=x，所以v–t图象中的“面积”就表示___________。

⑸“截距”：

表示横、纵坐标轴上两物理量在“初始”（或“边界”）条件下的物理量的大小，由此往往能得到一个很有意义的物理量“特殊点”，如交点、拐点（转折点）等。

如x–t图象的交点表示两质点_________，而v–t图象的交点表示两质点_______相等。

2．追及、相遇问题分析

⑴讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题：

①两个关系：

即_________关系和________关系，这两个关系可通过画草图得到；②一个条件：

即两者__________相等，它往往是物体间能否追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

⑵追及问题：

追和被追的两物体的_________相等（同向运动）是能追上、追不上、两者距离有极值的临界条件。

①速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）：

两者速度相等，追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时二者间有最小距离；若速度相等时，有相同位移，,则刚好追上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件；若位移相同时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还能有一次追上追者，二者速度相等时，二者间距离有一个较大值。

②速度小者加速（如初速为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）：

当两者速度相等时二者间有最大距离；当两者位移相等时,即后者追上前者。

⑶相遇问题：

①同向运动的两物体追及即相遇；②相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

⑷分析追及和相遇问题的方法与技巧：

①在解决追及相遇类问题时，要紧抓“一图三式”，即：

过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析。

②分析追及、相遇类问题时,要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件。

【典型问题分析】

〖例1〗甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t=0时刻同时经过公路旁的同一个路标。

在描述两车运动的v-t图象中（如图）直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20s的运动情况。

关于两车之间的位移关系，下列说法正确的是（）

A．在0～10s内两车逐渐靠近B．在10～20s内两车逐渐远离

C．在5～15s内两车的位移相等D．在t=10s时两车在公路上相遇

〖变式1〗一遥控玩具小车在平直路上运动的位移-时间图象如图所示，则下列判断中正确的是（）

A．15s末汽车的位移为300mB．20s末汽车的速度为-1m/s

C．前10s内汽车的速度为3m/sD．前25s内汽车做单方向直线运动

〖例2〗汽车以25m/s的速度匀速直线行驶，在它后面有一辆摩托车，当两车相距1000m时，摩托车从静止起动做匀加速运动追赶汽车，摩托车的最大速度可达30m/s。

若使摩托车在4min时刚好追上汽车。

摩托车追上汽车后，关闭油门，速度达到12m/s时，冲上光滑斜面，上滑最大高度为H。

求：

（g取10m/s2）

⑴摩托车做匀加速运动的加速度a；

⑵摩托车追上汽车前两车相距最大距离x；

⑶摩托车上滑最大高度H。

〖变式2〗某些城市交通部门规定汽车在市区某些街道行驶速度不得超过vm=30km/h。

一辆汽车在该水平路段紧急刹车时车轮抱死，沿直线滑行一段距离后停止。

交警测得车轮在地面上滑行的痕迹长xm=10m，从手册中查出该车轮与地面间的动摩擦因数μ=0.72，取g=10m/s2。

⑴请你判断汽车是否违反规定超速行驶。

⑵目前，有一种先进的汽车制动装置，可保证车轮在制动时不被抱死，使车轮仍有一定的滚动，安装了这种防抱死装置的汽车，在紧急刹车时不但可以使汽车便于操控，而且可获得比车轮抱死更大的制动力，从而使刹车距离大大减小。

假设汽车安装防抱死装置后刹车制动力恒为F，驾驶员的反应时间为t，汽车的质量为m，汽车正常行驶的速度为v，试推出刹车距离x的表达式。

〖例3〗如图所示为汽车刹车痕迹长度x（即刹车距离）与刹车前车速v（汽车刹车前匀速行驶）的关系图象。

例如，当刹车痕迹长度为40m时，刹车前车速为80km/h。

⑴假设刹车时，车轮立即停止转动，尝试用你学过的知识定量推导并说明刹车痕迹与刹车前车速的关系式。

⑵在处理一次交通事故时，交警根据汽车损坏程度估计出碰撞时的车速为40km/h，并且已测出刹车痕迹长度为20m，请你根据图象帮助交警确定出该汽车刹车前的车速，并在图象中的纵轴上用字母A标出这一速度，由图象知，汽车刹车前的速度为多少？

〖变式3〗某运动员在100m预赛中成绩刚好为10.0s。

⑴假设运动员从起跑开始全程一直保持匀加速运动，求运动员的加速度a及冲刺终点时速度v的大小。

⑵实际上，运动员起跑时会尽力使加速度达到最大，但只能维持一小段时间，受到体能的限制和空气阻力等因素的影响，加速度将逐渐减小，到达终点之前速度已达到最大。

.图中记录的是该运动员在比赛中的v-t图象，其中时间t1（0～2s）和时间t3（7～10s）内对应的图线均可视为直线，时间t2（2～7s）内对应的图线为曲线。

试求运动员在时间t2（2～7s）内的平均速度的大小。

【效能训练】

1．t=0时，甲、乙两汽车从相距70km的两地开始相向行驶，它们的v-t图象如图所示。

忽略汽车掉头所需时间。

下列对汽车运动状况的描述正确的是（）

A．在第1小时末，乙车改变运动方向

B．在第2小时末，甲、乙两车相距10km

C．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大

D．在第4小时末，甲、乙两车相遇

2．某物体的位移图象如图所示，则下列叙述正确的是（）

A．物体运行的轨迹是抛物线

B．物体运动的时间为8s

C．物体运动所能达到的最大位移为80m

D．在t=4s时刻，物体的瞬时速度为零

3．利用速度传感器与计算机结合，可以自动作出物体运动的图象。

某同学在一次实验中得到的运动小车的速度-时间图象如图所示，以下说法错误的是（）

A．小车先做加速运动,后做减速运动B．小车运动的最大速度约为0.8m/s

C．小车的位移一定大于8mD．小车做曲线运动

4．汽车沿着平直的公路以速度v0做匀速直线运动，当它路过某处的同时，该处有一辆汽车乙开始做初速度为零的匀加速直线运动去追赶甲车。

根据述已知条件（）

A．可求出乙车追上甲车时乙车的速度B．可求出乙车追上甲车时乙车走的路程

C．可求出乙车从开始起到追上甲车所用的时间D．不能求出上述三个中的任何一个

5．物体A、B在同一直线上做匀变速直线运动，它们的v–t图象如图所示，则（）

A．物体A、B运动方向一定相反

B．物体A、B在0～4s内的位移相同

C．物体A、B在t=4s时的速度相同

D．物体A的加速度比物体B的加速度大

6．如图给出的是物体的运动图象，纵坐标v表示速度，横坐标t表示时间，其中哪一个在现实生活中是不可能存在的（）

7．某物体做直线运动的v-t图象如图所示，据此判断下列（F表示物体所受合力，x表示物体的位移）四个选项中正确的是（）

8．某物体运动的速度图像如图根据图像可知（）

A．0～2s内的加速度为1m/s2

B．0～5s内的位移为10m

C．第1s末与第3s末的速度方向相同

D．第1s末与第5s末加速度方向相同

9．某人骑自行车在平直道路上行进，图中的实线记录了自行车开始一段时间内的v–t图象。

某同学为了简化计算，用虚线作近似处理，下列说法正确的是（）

A．在t1时刻，虚线反映的加速度比实际的大

B．在0～t1时间内，由虚线计算出的平均速度比实际的大

C．在t1～t2时间内，由虚线计算出的位移比实际的大

D．在t3～t4时间内，虚线反映的是匀速直线运动

10．甲、乙两车某时刻由同一地点沿同一方向开始做直线运动，若以该时刻作为计时起点，得到两车的位移-时间（x–t）图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A．t1时刻乙车从后面追上甲车

B．t1时刻两车相距最远

C．t1时刻两车的速度刚好相等

D．0到t1时间内，乙车的平均速度小于甲车的平均速度

11．某跳伞运动训练研究所，让一名跳伞运动员从悬停在高空的直升机中跳下，研究人员利用运动员随身携带的仪器记录下了他的运动情况，通过分析数据，定性画出了运动员从跳离飞机到落地的过程中在空中沿竖直方向运动的v-t图象如图所示，则对运动员的运动，下列说法正确的是

（）

A．0～15s末都做加速度逐渐减小的加速运动

B．0～10s末做自由落体运动，15s末开始做匀速直线运动

C．10s末打开降落伞，以后做匀减速运动至15s末

D．10s末～15s末加速度方向竖直向上，加速度的大小在逐渐减小

12．两辆汽车a、b在两条平行的直车道上行驶。

t=0时两车都在同一地点，此时开始运动。

它们在的v-t图象如图所示。

关于两车的运动情况，下列说法正确的是（）

A．两辆车在前10s内，b车在前，a车在后，距离越来越大

B．a车先追上b车后，b车又追上a车

C．a车与b车间的距离先增大后减小再增大，但a车始终没有追上b车

D．a车先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，再做匀速直线运动，b车做匀速直线运动

13．甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速运动，速度均为16m/s。

在前面的甲车紧急刹车，加速度为a1=3m/s2，乙车由于司机的反应时间为0.5s而晚刹车，已知乙的加速度为a2=4m/s2，为了确保乙车不与甲车相撞，原来至少应保持多大的车距?

14．如图所示，质量m=2.0kg的物体静止在水平面上，物体跟水平面间的动摩擦因数μ=0.20.从t=0时刻起，物体受到一个水平力F的作用而开始运动，前8s内F随时间t变化的规律如图所示（g取10m/s2）求：

⑴在图丙的坐标系中画出物体在前8s内的v–t图象；

⑵前8s内水平力F所做的功。

15．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以v=10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h以内。

问：

⑴警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？

⑵判定警车在加速阶级能否追上货车（要求通过计算说明）

⑶警车发动后要多长时间才能追上货车？

16．宇宙飞船返回舱运动的v–t图象如图中的AD曲线所示，图中AB是曲线在A点的切线，切线交于横轴一点B，其坐标为（5，0），CD是曲线AD的渐近线，假如返回舱总质量为M=3000kg，g=10m/s2。

求：

⑴返回舱在这一阶段是怎样运动的?

⑵在初始时刻v=150m/s，此时它受到的阻力是多大?

⑶试估算返回舱从打开降落伞到着地的总时间（可不考虑反冲发动机点火后至地面的时间）。

17．A、B两位同学在某游览区的同一个站点分乘甲、乙两辆车去不同的景点游玩。

A乘坐的甲车先出发，当后出发的乙车已经以速度v0匀速行驶时，乙车上的B同学发现自己和A同学互相错拿了双方外型相同的旅行包，在B正欲与A联系时，看到了因途中停车的甲车恰在同一条路上的前方离乙车x处向前启动，于是打算与A相遇时交换旅行包。

若甲车启动后先以加速度a作匀加速直线运动，待速度达到v0后做匀速直线运动，且假定出发站点和两景点站都在同一条平直公路上，出发站点离两景点都足够远，两车只要相遇两位同学就可以交换旅行包。

已知x

（车身长度不考虑）

某同学是这样分析的：

设甲车启动后经时间t两车相距Δx，则：

Δx=

at2+x–v0t=

a（t-

）2+x-

只有当x-

=0，且t-

=0时，Δx=0此时两车才可能相遇。

但x

你觉得他的分析是否正确？

如认为是正确的，求出两车相距的最近距离；若认为是不正确的，则说明理由，并求出从甲车开始启动到两同学交换旅行包的时间。

18．汽车从静止开始以a=1m/s2的加速度前进，相距汽车x0=25m处，与车运动方向相同的某人同时开始以v=6m/s的速度匀速追赶汽车，问人能否追上？

若追不上，求人与汽车间的最小距离．

19．汽车正以v1=12m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，突然发现正前方相距x处有一辆自行车以v2=4m/s的速度同方向匀速行驶，汽车立即以加速度大小a=2m/s2做匀减速直线运动，结果汽车恰好未追上自行车，求x的大小．

参考答案：

【知识概述】

一．1．位移随时间2．速度的大小、速度的方向

二．1．速度随时间2．加速度的大小、加速度的方向3．匀速直线运动、匀变速直线运动

4．相应时间内的位移、正方向、负方向

三．1．位置2．临界；增大、减小、速度

【方法提示】

1．物理量、瞬时、过程、比值、速度大小、加速度大小、位移、相遇、速度、

2．时间、位移、速度、速度

【典型问题分析】

〖例1〗C〖变式1〗BC

〖例2〗⑴设汽车位移为x1、摩托车位移为x2，摩托车的加速度为a，摩托车达到最大速度所用时间为t，则：

30=at、x1=25×240m=6000m、x2=302/2a+30（240–30/a）

追上条件为x2=x1+1000m；a=2.25m/s2

⑵摩托车与汽车速度相等时相距最远；设此时刻为T，最大距离为xM，即25=aT，T=100/9s

xM=1000+25T–aT2/2=10250/9m=1138m

⑶Mv2/2=MgH，H=7.2m。

〖变式2〗⑴因为汽车刹车且车轮抱死后，汽车受滑动摩擦力作用做匀减速运动，所以滑动摩擦力小f=μmg，汽车的加速度a=μg，由v12-v02=2ax；

且v1=0，得v0=

=12m/s=43.2km/h>30km/h即这辆车是超速的。

⑵刹车距离由两部分组成，一是司机在反应时间内汽车行驶的距离x1，二是刹车后匀减速行驶的距离x2，x=x1+x2=vt+at2/2；加速度大小a=F/m，则x=vt+mv2/2F。

〖例3〗

（1）设汽车的质量为m，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，根据牛顿第二定律，汽车刹车时有μmg=ma；对汽车的刹车过程由运动学公式得：

-2ax=-v2

由以上两式得x=v2/2μg，即刹车痕迹与刹车前车速的平方成正比。

⑵汽车相撞时的速度为40km/h，根据图象可知从这个速度减到零，汽车还要向前滑行10m，撞前汽车已经滑行20m，所以，如果汽车不相撞滑行30m后停下。

滑行30m对应的初速度如图中的A点对应速度，故汽车刹车前的速度为68km/h。

〖变式3〗⑴由匀变速直线运动规律：

x=at2/2、v=at（或v=

）解得a=2m/s2；v=20m/s

⑵由图象可知时间t1（0～2s）内运动员做初速度为零的匀加速直线运动位移大小x1=v1t1/2=8m；时间t3（7～10s）内运动员以速度vm=12m/s做匀速直线运动位移大小x3=vmt3=36m，在2～7s内位移大小x2=x-x1-x3=56m，在2～7s内的平均速度v平均=x2/t2=11.2m/s。

【效能训练】

1．BC2．BCD3．D4．A5．C6．B7．B8．AC9．BD10．A

11．D12．CD

13．由题意v0=16m/s、t0=0.5s，不相撞的临界条件是乙追上甲时，二者的速度刚好相等，设为v，作出二者运动的过程示意图如图。

则v=v0–a1t，v=v0–a2（t–t0）；由两式得t=2s,v=10m/s

因此甲、乙应保持的车距：

x=v0·t0+（v+v0）（t-t0）/2-（v+v0）t/2

代入数据得x=1.5m

14．⑴0～4s内,由牛顿第二定律得：

F-μmg=ma1，a1=3m/s2；4s末物体的速度为v4=a1t4=12m/s，4～5s由牛顿第二定律得-F-μmg=ma2，a2=-7m/s2；5s末物体的速度为v5=5m/s，5s后物体的加速度为a3=-μg=-2m/s2；再经时间t停止，则t=（0–v5）/a3=2.5s，8s内的v-t图象如图所示。

⑵0～4s内的位移为：

x1=a1t42/2=24m；4～5s内位移为x2=（v52–v42）/2a2=8.5m；5s后水平力消失，所以前8s内力F做的功为：

W=F1x1-F2x2=155J。

或由动能定理解：

W-μmg（x1+x2）=mv52/2，解得W=155J。

15．⑴警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1，时间两车的速度相等。

则t1=v/a=10/2.5s=4s，x货=（5.5+4）×10m=95m，x警=at12/2=20m；所以两车间的最大距离Δx=x货-x警=75m.

⑵vm=90km/h=25m/s，当警车刚达到最大速度时，运动时间t2=25/2.5s=10s

x货′=（5.5+10）×10m=155m；x警′=at22/2=125m

因为x货′>x警′，故此时警车尚未赶上货车。

⑶警车刚达到最大速度时两车距离Δx′=x货′-x警′=30m，警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追赶上货车。

则：

Δt=Δx′/（vm-v）=2s，所以警车发动后要经过t=t2+Δt=12s才能追上货车。

16．⑴从v-t图象可知返回舱在这一阶段做的是加速度越来越小（AD曲线各点切线的斜率绝对值越来越小）的减速运动。

⑵因为AB是曲线AD在A点的切线,所以其斜率绝对值大小就是A点在这一时刻加速度的大小，即a=30m/s2；设降落伞打开初始时刻返回舱所受的阻力为f，根据牛顿第二定律，有：

f–Mg=Ma，得f=M（g+a）=1.2×105N。

⑶从图中估算得50s内返回舱下落了h=30×10×5m=1500m，返回舱最后做匀速运动的时间为t′=（H-h）/v=1850s，返回舱从打开降落伞到着地需要的总时间约为：

t总=t+t′=（50+1850）s=1900s。

17．对于Δx=

at2+x–v0t并不需要x-

=0，t-

=0同时成立时才有Δx=0。

令Δx=0，则有at2-2v0t+2x=0，解得

t=

，因为x<

，即4v02–8ax>0，故t有解，所以两位同学在途中能交换旅行包。

又因为只有当甲车达到速度v0前两车才可能相遇，故t

t=

。

18．作汽车与人的运动草图如下图甲和v-t图象如下图乙所示．因v-t图象不能看出物体运动的初位置，故在图乙中标上两物体的前、后．由图乙可知：

在0～6s时间内后面的人速度大，运动得快；前面的汽车运动得慢．即0～6s内两者间距越来越近．因而速度相等时两者的位置关系，是判断人能否追上汽车的条件．

由v=at，得t=v/a=6s．故人能否追上汽车取决于t=6s时人与车分别运动的位移之差是否大于或等于二者开始运动时的最大距离．因为Δx=vt-at2/2=18m，看出Δx

19．作汽车与自行车的运动草图如下图甲和v-t图象如下图乙所示．因为图中不知运动物体初位置．故在图乙上标出前、后，由此可直观看出，在两者速度相等的时刻即4s之前是后面的“追”得快，前