小学四年级寒假奥数班讲义.docx
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小学四年级寒假奥数班讲义
小学四年级奥数
第一讲
图形的计数
（一）
第二讲
图形的计数
（二）
第三讲
速算与巧算
（一）
第四讲
速算与巧算
（二）
第五讲
和差倍问题
第六讲
还原问题
第七讲
年龄问题
第八讲
盈亏问题
第九讲
最佳方案
第十讲
平均数问题
第十讲
长方形、正方形的周长和面积
第十二讲
综合测试
第一讲图形的计数
（一）
•知识点回顾
1.弄清图形中所包含的基本图形，图形的特征和变化规律。
2.从各图中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们
的和。
3.被分成几个部分的图形，可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图形的个数，再求各部分的总和，做到不重复、不遗漏，正确地解答较复杂的图形个数问
题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯。
二•典型例题
例1.数出下面图中有多少条线段。
A~~BCD
思路导航：
要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。
从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：
ABACAD从B点出发的不同线段有2条：
BCBD从C点出发的不同线段有1条：
CD因此,图中共有3+2+1=6条线段。
数线段的规律：
线段上有n个点（包括两个端点），n个点把这条线段共分成线段总数为：
1+2+3+-+（n-1）。
解：
这条线段有4个点，所以线段的总和为1+2+3=6（条）
答：
图中的线段有6条。
练一练：
数出下列图中有多少条线段。
（1）AB~~E
Cl
G
思路导航：
在/AOB内有三条角分线OC1OC2OC3/AOB被这三条角分线分成4个基本
角，那么/AOB内总共有多少个角呢？
首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成
的角有3个（即/AOC2/C1OC3/C2OB,然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即
/AOC3/C1OB,最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即/AOB,所以/AOB内总
共有角：
4+3+2+1=10（个）
数角的规律：
数角的方法和数线段的方法类似，图中共有几条射线组成若干个角,
解：
图中有5条射线，所以角的个数为:
1+2+3+4=10（个）
例3.数一数图中共有多少个三角形?
思路导航：
要数有多少个三角形，先看在厶AGH中，在GH1有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在厶AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在厶ABC中三角形个数总共：
（4+3+2+1）X2=30（个）.
解：
在△ABC中共有三角形是：
（4+3+2+1）X3=10X3=30（个）
答：
在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个
练一练：
数出下列图中有多少个三角形。
三■巩固提高
（一）填空题。
1.下列图形各有几条线段
ab
（）条（）条（）条
2•—条直线上共有50个点,可以数出（）条线段.
3.
（1）数角。
（2）数三角形。
（2）数三角形
（二）简答题.
1.数一数下图中共有多少个角?
5.数一数共有多少个三角形?
四.选做题
数一数共有多少条线段？
共有多少个三角形?
第二讲图形的计数
（二）
例4.数一数下图中有多少个长方形？
AB思路导航：
图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长,AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6X3=18个长方形。
数长方形可以用下面的公式：
长边上的线段X短边上的线段=长方形的个数
解：
共有长方形：
（3+2+1）X（2+1）=6X3=18（个）
答：
共有长方形18个。
练一练：
数出下列图中有多少个长方形。
例5.数一数，下图中有多少个正方形？
（每个小方格是边长为1的正方形）
思路导航：
图中边长为1个长度单位的正方形有3X3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2X2=4个,边长为3个长度单位的正方形有1X1=1个。
所以图中的正方形总数为：
1+4+9=14个。
经进一步分析可以发现，由相同的nXn个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：
1X1+2X2+-+nXn。
解：
正方形总数为：
1X1+2X2+3X3=14（个）
答：
共有正方形14个。
练一练：
数出下列各图中有多少个正方形
例6.数一数下图中有多少个正方形？
（其中每个小方格都是边长为1个长度单
位的正方形）
思路导航：
边长是1个长度单位的正方形有3X2=6个，边长是2个长度单位的正方形有2X仁2个。
所以，图中正方形的总数为：
6+2=8个。
经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份,
宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：
mn+（mr1）（n—1）+（m—2）（n—2）+…+（m—n+1）n.
练一练：
数一数下列各图中分别有多少个正方形
四•巩固提高
（一）填空题。
1•数一数下图有（）个长方形.
C
B
D
A
2•下图共有（）个平行四边形.
（二）简答题（每小题10分）
1.图共有几个正方形？
2•数一数下列各图中分别有多少个正方形。
答
⑴
□
□
□
□
二
□
□
□
□
□
四.选做题
下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形?
的练习练习
第三讲速算与巧算
（一）
•知识点回顾
1.在加、减、乘、除四则运算中，要想算得快，算得准，其实有些“小窍门”，
首先要观察算式和数字的特点和规律，然后再选择合适的巧算方法，运用数的组
成与分解，运用定律以及和、差、积、商的变化规律，把按常规较复杂的运算转化为比较简便、迅速的计算。
2.力卩、减法的巧算方法有：
配对求和法、凑整法、分组法、借来法和加减法的运算性质、运算定律等；
3.常用的运算定律和运算性质用字母表示为：
力卩法交换律：
a+b=b+a
加法结合律：
a+b+c=a+（b+c）
减法的性质：
a-b-c=a-（b+c）
a-（b—c）=a-b+c
4.速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。
二.经典例题
例1.用巧算的方法计算下列各式。
129+299+2999+29999
230-29+28-27+26-25+…+4-3+2-1
3638-（456-62）
思路导航：
第①小题计算中运用凑整的方法计算比较简便；第②小题可以将相邻两个数看成一组，进行分组分解法来计算比较简便；第③小题根据减法的性质去括号，再移位凑整。
解：
①29+299+2999+29999
=30+300+3000+30000-4
=33326
②30-29+28-27+26-25+…+4-3+2-1
=（30-29）X（30-2）
=15
③638-（456-62）
=638-456+62
=（638+62）-456
=700-456
=244
练一练：
用巧算的方法计算下列各式
1
②543-（138-57）-362
④627-（185+127）
53+874+47-174+63
③2345+1256-3056-145
例2.计算199999+199998+19999+19998+1999+1998+199+198+19+18
思路导航：
通过观察我们可以运用分组凑整法，十个加数可以分成五组，每组第一个加数补1，第二个加数补2都可以凑整。
解：
199999+199998+19999+19998+1999+1998+199+198+19+18
=200000X2+20000X2+2000X2+200X2+20X2-3X5
=400000+40000+4000+400+40-15
=444440-15
=444425
练一练：
用巧算的方法计算下列各式。
①19+199+1999+19999②999998+99997+9996+995+94
三.巩固提高
1.347+362+453+338
2.2345+6789+7655+3211
3.9979+994+127
4.1371
—289-371
5.846—163+1154
6.1643+296+72+4357+128
7.48+326+52—17+274
8.1756
—（756+498）
9.368+（134—68）10.2663
—874—1126+337
四.选做题。
1.534+467—334—267+1112.1839
—（56—161）
3.15873—346—873—6544.2380
—（167+380）—333
5.218+573—136+182—64-73
6.127+125+126+123+129+122
7.112+111—110—109+108+107-106—105+104+103-102—101+100+99-98—97
第四讲速算与巧算
（二）
一•知识点回顾
乘、除法的巧算方法有：
凑整法、分组分解法、巧妙变形法、乘除法的运算定律和性质，以及商的变化规律，积的不变性质等。
常用的运算定律和运算性质用字母表示为：
除法的性质：
a*b*c=a宁（bxc）a*（b*c）=a*bxc
乘法交换律：
axb=bxa
乘法结合律：
（axb）xc=ax（bxc）
乘法分配律：
（a+b）xc=axc+bxc（a-b）xc=axc-bxc
积不变性质：
axb=（a*c）x（bxc）=（axc）x（b*c）
商不变性质：
a*b=（a*c）*（b*c）=（axc）*（bxc）
二.经典例题
例1.计算下列各式。
1375x480+6250x48
27200*25*36
316x125
42300-25
思路导航：
第①小题是根据积的不变规律进行转化，变成能应用乘法分配律，计算起来比较简便；第②小题根据在连除中交换除数的位置商不变的性质来解题；第③小题因为125乘8得1000,运用分解法将16按照16=2X8分解；第④小题，根据商的不变性质，将被除数和除数同时扩大4倍,把除数变成整百的数来计算。
解:
1375X480+6250X48
=375X480+625X480
=480X（375+625）
=480X1000
=480000
27200-25-36
=7200-36-25
=200-25
=8
316X125
=2X（8X125）
=2X1000
=2000
42300-25
=（2300X4）-（25X4）
=9200-100
=92
练一练：
用巧算的方法计算下列各式。
①369X123-123X9-360X123②125X32X250
③9800-25-49④1999+999X999
例2.计算1-（2-3）-（3-4）-（4-5）-（5-6）-（6-7）-（7-8）思路导航：
通过观察我们发现括号里的除法算式不能得到一个整数的商，所以我
们要根据a-（b-c）=a-bxc这一性质去掉括号进行计算，当一个数扩大若干倍，同时又缩小相同的倍数时结果不变。
解：
1-（2-3）-（3-4）-（4-5）-（5-6）-（6-7）-（7-8）
=1-2X3-3X4-4X5-5X6-6X7-7X8
=1-2X8
=4
练一练：
计算9-（9-8）-（8-7）-（7-6）-（6-5）-（5-4）-（4-3）
三•巩固提高
用巧算的方法计算下列各式。
③2008X125
1.①75X16②31X8X125
5.2008X2006+2007X2005-2007X2006-2008X2005
四•选做题
计算55555X666667+44445X666666-155555
第五讲和差倍问题
一•知识点回顾
1.“和差问题”是已知大小两个数的和与两个数的差，求这两个数
和差问题基本公式：
（和+差）十2=大数
（和-差）十2=小数
小数+差-大数（或者：
大数-差-小数）和-小数=大数（或者：
和-大数=小数）
2.“和倍问题”是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求这两个数。
和倍问题基本公式：
和*（倍数+1）二小数
大数=和-小数（或者：
大数=小数X倍数）
3.“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。
差倍问题基本公式：
差*（倍数-1）二小数
1•经典例题
例1.一个学校四年级共有学生400名，其中男生比女生多40名，四年级男
女生共有多少人？
分析：
女生:
男生:
从图中可以看出男生人数是较大的数，要比女生多40人，即男生与女生的人数
差是40,且男生女生一共有400名。
所以我们有较大的数（男生数）=（两数之和+两数之差）*2，较小的数（女生人数）=（两数和-两数之差）*2
解：
男生：
（400+40）*2=220（人）
女生：
（400-40）*2=180（人）
答：
男生有220人，女生有180人。
练一练:
希望小学四年级有学生42人，其中女生比男生少2人，那么这个班级男女生共有多少人？
例2.甲桶装有汽油是乙桶的三倍，甲桶又倒入20升，乙桶又倒入80升，这时
乙桶汽油比甲桶多20升，求原来甲、乙两桶汽油各多少升？
分析:
20升
甲桶:
多20升
A
乙桶:
80升
从图可以发现，如果乙桶只倒入40升，则甲、乙两桶汽油同样多，这
说明原来甲桶比乙桶多80-20-20=40（升）汽油，且甲桶汽油是乙桶的3倍,则甲桶比乙桶汽油多两倍，这样就找到了2倍数对应量是40升，可以求出乙桶汽油（1倍数）。
解：
乙桶原来汽油：
（80-20-20）-（3-1）=20（升）
甲桶原来汽油：
20X3=60（升）
答：
甲桶原来有汽油60升,
乙桶原来有汽油20升。
练一练：
A桶装油470千克，B桶装油190千克，从A桶倒多少千克油给B桶才能使A桶油是B桶的2倍？
甲、乙、丙三个数各是多少?
分析：
丙数:
乙数:
1倍数
少4
宀
L---J183
/
丙数:
V
3倍
我们发现甲、乙两个数都是以丙为标准的，所以丙就是1倍数，乙比
丙的2倍少4,即：
乙=1丙X2-4;甲是丙的3倍多7,即：
甲=1丙X3+7;
丙数为丙X1,且甲、乙、丙三数之和为183,所以丙X3+7+丙X2-4+丙
=183,从而丙的（3+2+1）倍对应为183+4-7。
解：
丙数=（183+4-7）-（3+2+1）=30
乙数=30X2-4=56
甲数=30X3+7=97
答：
甲数是97,乙数是56,丙数是30
例4.哥哥与弟弟没人都有一些铅笔，如果哥哥给弟弟1支，两人就一样多，
如果弟弟给哥哥1支，哥哥就是弟弟的5倍，哥哥和弟弟原来各有多少支铅笔？
分析：
此题是两次转化的差倍应用题，根据“哥哥给弟弟1支，两人同样多”，说明哥哥比弟弟多1+仁2（支）；根据“弟弟给哥哥一支，哥哥就是弟弟的5倍”，我们可先知弟弟给哥哥一支，那哥哥比弟弟一共要2+1+仁4（支），且此时哥哥是弟弟的五倍，即：
哥哥比弟弟多4倍。
解：
弟弟的支数：
（1+1+1+1）-（5-1）+仁2（支）
哥哥的支数：
2+2=4（支）
答：
哥哥有4支铅笔，弟弟有2支铅笔。
练一练：
两个书架原来共有图书300本，当第一个书架借走30本，第二个书架又购进40本后，第一个书架比第二个书架少20本，原来两个书架各有多少本？
四•巩固提高
1.长方形操场的长与宽相差80米，沿操场跑一周是400米，求这个操场的长与
宽是多少米？
2.丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是91分，数学比语文多2分，那
么丁丁的语文和数学各得了多少分？
3.师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？
4.实验小学共有学生956人，男生比女生2倍少4人•问：
实验小学男学生和女学生各有多少人？
5.甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
6.有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？
五.选做题
1.有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒8千克水到大桶，则大桶中水是
小桶的3倍，求原来大桶有水多少千克？
2.光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？
3•小勇家养的白兔和黑兔一共有22只，如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多•小勇家养的白兔和黑兔各多少只？
第六讲还原问题
1.知识点回顾
有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是,如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。
这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。
1.从最后得数出发，采用与原题相反的逆运算，向前一步一步倒推。
2.原题加的用减，原题减的用加，原题是乘的用除，原题是除的用乘。
3.根据原题的叙述顺序，在下面列出数量关系式，再用逆运算的方法得出原数。
2.经典例题
例1.有一个数，把它加上37,再乘以18,减去323,得到的结果用23去除，商是16，余数是11.这个数是多少？
分析：
我们把一个数经过的四步计算过程用下面的示意图来表示，看看能先算出
哪个数呢？
加上37乘以18减去323除以23
？
►-？
►？
►？
—►商16余11
解：
我们采用与原题相反的逆运算，向前一步一步倒推。
原题加的用减，
原题减的用加，原题是乘的用除，原题是除的用乘。
练一练：
从后面数第一个问号：
16X23+1仁368+11=379
从后面数第二个问号：
379+323=702
从后面数第三个问号：
702-18=39
从后面数第四个问号即所求的数：
39-37=2
答：
这个数是2.
一个数扩大3倍，再增加70，然后减少50，得80.这个数是多少?
例2.四年级的四个班共有学生168人，到了第二学期，学校把班级学生作如下调整：
把四班的3名学生调到三班，三班的6名学生调到二班，二班又调6名学生到一班，一班再调2名学生到四班，这时四个班的学生同样多，求四个班原来各有学生多少人？
分析：
知道四个班最后学生一样多，且四个班的总人数是168,则可求出四个班最后学生人数：
168-4=42
四班调到三班3名：
减少3名
42
四班从一班调来2名：
增加2
三班从四班调来3名：
增加3k
三班的人数名42名
三班调到二班6名：
减少6名
二班从三班调来6名：
增加6&
二班的人数名42名
二班调到一班6名：
减少6名
一班从二班调来6名：
增加6丄
一班的人数名42名
一班调到四班2名：
减少2名
所以：
168-4=42
四班：
42+3-2=43（人）
三班：
42-3+6=45（人）
二班：
42-6+6=42（人）
一班：
42-6+2=38（人）
答：
一班原有学生38人，二班原有学生42人，三班原有学生45人，四班原有学生
43人。
练一练：
三个小朋友共有贺年卡75张，如果甲给乙4张，乙又给丙3张，那么三个人的贺年卡刚好相等，求甲、乙、丙三个小朋友原来各有贺年卡多少张？
例3.一根铁丝，第一次用去它的一半少一米，第二次用去剩下的一半多1米,
最后剩5米，求这根铁丝原有多长？
分析：
第一次第二次5米
IA
1
T**"%
11
电«
米1米
1III
4
总数的一半剩下的一半
'
？
从上图分析可知：
剩下的一半：
5+1=6（米）
那第一次用完一共剩下：
6X2=12（米）
总数的一半：
12-仁11（米）
总长：
11X2=22（米）
即：
[（5+1）X2-1]X2=22（米）
答：
这根铁丝原来长22米。
练一练：
篮子里有鸡蛋，第一天拿走一半多两个，第二天拿走余下的一半多4个,这时刚好拿完，求篮子里原来有多少个鸡蛋？
四.巩固提高
1.某数加上11,减去12,乘以13,除以14,其结果等于26,这个数是多少?
2.某数加上6,乘以6,减去6,其结果等于36,求这个数
3.小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4,再减去6之后，乘以10,恰好是100问：
小乐爷爷今年多少岁？
4.粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多7吨，还剩4吨。
问：
粮库里原有面粉多少吨？
5.有一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一半又一个，丙再取余下的一半又一个，这时筐里只剩下一个梨。
这筐梨共值8.80元，那么每个梨值多少钱？
6.某人去银行取款，第1次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多
10元，这时存折上还剩125元。
问：
此人原有存款多少元？
五.选做题
1.甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。
问：
甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？
2.一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？
第七讲年龄问题
1.知识点回顾
1.两个人的年龄差总是不变的。
2.两个人的年龄随着时间、年份的变化而增加（减少）同一个自然数。
3.两个人年龄的倍数关系随着年龄的变化而变化，一般是随着年龄的增加倍数关系反而变小。
4.年龄问题一般可以转化为和倍、差倍、和差问题解答。
大年龄=（两人年龄和+两人年龄差）十2
小年龄=（两人年龄和-两人年龄差）十2
知道今年大小年龄各是多少
几年前，大年龄是小年龄的几倍
年数二小年龄-两人的年龄差十（倍数-1）
几年后，大年龄是小年龄的几倍
年数二两人年龄差十（倍数-1）-小年龄
2.经典例题
例1•儿子今年16岁，父亲今年48岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的9倍?
分析：
要抓住
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