高考数学理科真题及答案全国卷I.docx

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高考数学理科真题及答案全国卷I

中国大方题库网2001年全国普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）

一．选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）若，则θ在

（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第一、四象限（D）第二、四象限

（2）过点A（1，-1），B（-1，1）且园心在直线x+y-2=0上的圆珠笔的方程是

（A）（x-3）2+（y+1）2=4（B）（x+3）2+（y-1）2=4

（C）（x-1）2+（y-1）2=4（B）（x+1）2+（y+1）2=4

（3）设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是

（A）1（B）2（C）4（D）6

（4）若定义在区间（-1，0）内的函数f（x）=log2a（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围是

（A）（0，）（B）（0，]（C）（，+∞）（D）（0，+∞）

（5）极坐标方程的图形是

（6）函数的反函数是

（A）（B）

（C）（D）

（7）若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为

（A）（B）（C）（D）

（8）若，则

（A）ab（A）ab<1（D）ab>2

（9）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB=BB1，则AB与C1B所成的角的大小为

（A）60°（B）90°（C）105°（D）75°

（10）设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题：

①若f（x）单调速增，g（x）单调速增，则f（x）-g（x））单调递增;

②若f（x）单调速增，g（x）单调速减，则f（x）-g（x））单调递增;

③若f（x）单调速减，g（x）单调速增，则f（x）-g（x））单调递减;

④若f（x）单调速减，g（x）单调速减，则f（x）-g（x））单调递减;

其中，正确的命题是

（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④

（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：

①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．

若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则

（A）P3>P2>P1（B）P3>P2=P1（C）P3=P2>P1（D）P3=P2=P1

（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为

（A）26

（B）24

（C）20

（D）19

二．填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

（13）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是_________．

（14）双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上．若PF⊥PF2，则点P到x轴的距离为_________。

（15）设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若{Sn}是等差数列，则q＝＿．

（16）园周上有几个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为________．

三．解答题：

本大题共6小题共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，

SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC=1，AD=．

（I）求四棱锥S-ABCD的体积；

（11）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

（18）（本小题满分12分）

已知复数z1=i（1-i）3

（I）求argz1及|z1|

（II）当复数z满足|z|＝l，求|z-z1|的最大值．

（19）（本小题满分12分）

设抛物线y2=2pc（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

（20）（本小题满分12分）

已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n

（I）证明nipim＜mipin；

门）证明（1+m）n>（1+n）m．

（21）（本小题满分12分）

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．

（I）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出an，bn的表达式；

（II）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

（22）（本小题满分14分）

设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意x1；，x2∈[0，]，都有

f（x1+x2）=f（x1）f（x2）．

（I）求f（）及f（）；

（II）证明f（x）是周期函数；

（III）记an=f（2n+），求．

数学试题（理工农医类）参考答案及评分标准

一．选择题：

本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

（1）B

（2）C（3）B（4）A（5）C

（6）A（7）C（8）A（9）B（10）C

（11）D（12）D

二．填空题：

本题考查基本知识和基本运算．每小题4分．满分16分．

（13）2π（14）（15）1（16）2n（n－1）

三．解答题．

（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．

解：

（I）直角梯形ABCD的面积是

M底面=（BC+AD）AB＝……2分

∴四棱推S-ABCD的体积是

……4分

（II）延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱……6分

∵AD∥BC，BC=2AD

∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB

∵SA⊥面ABCD，得面ASB⊥面ESC，EB是交线，

又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，

故SB是CS在面SEB上的射影，

∴CS⊥SE，

所以∠BSC是所求二面角的平面角．……10分

即所求二面角的正切值为。

……12分

（18）本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．

（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．

证明一：

因为抛物线y2=2pc（p>0）的焦点为F（），所以经过点F的直线AB的方程可设为

x=my+

代人抛物线方程得

y2-2pcmy-p2=0

若记A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，y2是该方程的两个根，所以

y1y2=-p2

因为BC∥x轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标

为（-，y2），故直线CO的斜率为

即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．

证明二：

如图，

记x轴与抛物线准线l的交点为E，

过A作AD⊥l，D是垂足．则

AD∥FE∥BC．……2分

连结AC，与EF相交手点N，则

……6分

根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|……8分

即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O．……12分

（20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．

（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．

解．（I）第1年投入为800万元．第2年投入为800×（1-）万元，……，第n年投入为

800×（1-）n-1万元.

所以，n年的总收入为

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1+）万元，……，第n年旅游

业收人为400×（1+）n-1万元．

所以，n年内的旅游业总收入为

（11）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此

答：

至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入…12分

（22）本小题主要考查函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力，满分14分．