高等数学案例集.docx
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高等数学案例集
高等数学案例集
《高等数学》案例集
第一章 函数与极限
（一）建立函数关系的的案例
1、零件自动设计要求，需确定零件轮廓线与扫过的面积的函数关系。
已知零件轮廓下部分为长
，宽
的矩形ABCD，上部分为CD圆弧，其圆心在AB中点O。
如下图所示。
M点在BC、CD、DA上移动，设BM＝x，OM所扫过的面积OBM（或OBCM或OBCDM）为y，试求y=f（x）函数表达式，并画出它的图象。
解：
（二）极限
1、一男孩和一女孩分别在离家2公理和1公理且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4公理/小时和2公理/小时的速度步行回家,一小狗以6公理/小时的速度由男孩处奔向女孩,又从女孩奔向男孩,如此往返直至回家中,问小狗奔波了多少路程若男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间,问当他们到达学校时小狗在何处
解：
（1）男孩和女孩到校所需时间是半小时，也即小狗奔波了半小时，故小狗共跑了3公里。
（2）设x（t），y（t），z（t）分别表示t时刻男孩、女孩、小狗距家的距离，
2、
一块海绵，不小心掉进蓝墨水缸。
连忙捡拾捡起，把吸入的蓝墨水挤出来。
但无论怎样挤，海绵中总要存留一些蓝墨水。
假定我们这块海绵对于密度在1 左右的溶液（比方说蓝墨水、清水、红墨水溶液）的存留量为10克。
现打算用100克的清水对这块海绵吸有10克蓝墨水的海绵进行清洗。
问怎样进行清洗，才能使海绵中蓝墨水尽量少？
（二）连续函数性质
1、某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山,下午5时到达山顶并留宿。
次日早8时沿同一路径下山,下午5时回到山下旅店。
某乙说,甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么
第三章 中值定理与导数应用
1、陈酒出售的最佳时机问题
某个酒厂有一批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入R0＝50万元。
如果窖藏起来待来年（第n年）按陈酒价格出售，第n年末可得总收入为R＝R0
万元，而银行利率为r＝0.05，试在各种条件下讨论这批好酒的出售方案。
若银行利率开始为r＝0.05，第5年后降为0.04，请给出最佳出售方案。
2、航空公司因业务需要，需要增加一架波音客机，如果购买需要一次支付6000万美元现金，客机的使用寿命为15年，如果租用一架客机，每年要支付600万美元的租金，租金每年年末支付，若银行年利率为8％，请问购买客机与租用客机那种方案较佳？
如果银行的年利率为5％呢？
2.梯子长度问题
一楼房的后面是一个很大的花园。
在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台.清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上.因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.现清洁工只有一架7m长的梯子,你认为它能达到要求吗能满足要求的梯子的最小长度为多少
解：
functionf=fun（x）
f=x+2*x/sqrt（x*x-3*3）
%设温室以上的梯子长度为a，温室的长为x，高为y，则梯子的长为a+y*a/sqrt（a*a-x*x）.
%minb=a+y*a/sqrt（a*a-x*x）
[x,fval]=fminbnd（'hui2',3,12）;
xmin=x
fmin=fval
运行结果：
f=Inf f=14.0656 xmin=3.9835 fmin=7.0235
3、普勒与酒桶问题
德国的开普勒是一位出色的天文学家，同时也是一位卓越的数学家。
他于1965年出版了《葡萄酒桶的立体几何》一书。
为什么取这样一个书名据说开普勒把自己求许多图形的面积方法，与成一本书，可苦于找不到一个好的书名。
有一天，他到酒店去喝酒，发现奥地利的葡萄酒桶，和他家乡莱茵的葡萄酒桶不一样，他想奥地利的葡萄酒桶为什么要做成这样呢高一点好不好扁一点行不行
第五章、定积分
1、天然气产量的预测
工程师们已经开始从墨西哥的一个新井开采天然气，根据初步的试验和以往的经验，他们预计天然气开采后的第t个月的月产量的函数给出：
（百万立方米）,试估计前24个月的总产量。
提示：
前24个月的总产量为
，因为计算这个和式比较难，应用定积分来估计它。
令
则
，且
，从而
为递增函数。
答案：
（百万立方米）
2、终身供应润滑油所需的数量
某制造公司在生产了一批超音速运输机之后停产了。
但该公司承诺将为客户终身供应一种适于改机型的特殊润滑油。
一年后该批飞机的用油率（单位升/年）又下式给出：
其中
表示飞机服役的年数，该公司要一次性生产该批飞机一年后所需的润滑油并在需要时分发出去，请问需要生产该润滑油多少升？
提示:
是该批分级一年后的用油率，所以
等于第一年到第n年间该批飞机所需的润滑油的数量，那么
就等于该批飞机终身所需的润滑油的数量。
答案：
600（L）
3、地球环带的面积
地球上平行于赤道的线称为纬线，两条纬线之间的区域叫环带。
假定地球是球形的，试证任何一个环带的面积都是
这里k是构成环带的两条纬线间的距离，d是地球直径（约13000公里）。
如果地球是旋转椭球，则地球的任一环带面积又是怎样？
4、高尔夫球座的体积
一个木制高尔夫球座大体上具有以
与
的图象为边界的区域绕OX轴旋转一周形成的立体。
这里
，
问这个高尔夫球座的体积是多少？
答案：
5、转售机器的最佳时间
由于折旧等原因，某机器转售价格
是时间t（周）的减函数
，其中A是机器的最初价格。
在任何时间t，机器开动就能产生
的利润。
问机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大这利润是多少机器卖了多少钱
提示：
假设机器使用了x周后出售，此时的售价是
，在这段时间内机器创造的利润是
。
于是，问题就成了求总收入
+
，
的最大值。
答案：
总利润P=11.01A,机器卖了
元。
6、人口统计模型
人口统计模型
（1）：
某城市1990年的人口密度近似为
，
表示距市中心r公里区域内的人口数，单位为每平方公里10万人。
试求距市中心2km区域内的人口数。
人口统计模型
（2）：
若人口密度近似为
单位不变，试求距市中心2km区域内的人口数。
答案：
（1）
（十万）,
（2）
（十万）
7、心脏输出量的测定
小王想成为一名长距离游泳的运动员，为此，需要测定他的心脏每分钟输出的血量。
使用的方法为“染色稀释法”：
程序是先向离心脏最近的静脉注入一定量的染色，于是染色将随血液进入右心房、肺内血管、左心房、动脉，然后在动脉中定期取血样，并测量血样中染色的浓度，由于的血液的稀释，染色的浓度随时间t变化，从而可测得一个关于t的函数C（t）（mg/L）.设注射的染色的量为D，试求小王的心脏输出量R（L/min）.
提示：
理解“染色稀释法”的原理，必须知道在小时间区间[t,t+dt]内通过取样点的染色量等于浓度C（t）*R*dt。
因为所有染色量最终要经过取样点，则染色总量应等于各小的时间区间内通过取样点的染色量的和，由积分的定义知：
其中T0是全部染色通过取样点的时间，则心脏输出量为：
8、呼出或吸入空气的速率
当你呼吸时，你呼出或吸入的气流的速率V（t）（升/秒）可用一个正弦曲线来描述：
其中时间t（单位为秒）从某次吸气开始计算起，A是最大的气流速率，T为一次呼吸所需得的时间。
当正弦曲线的函数值为正值是，你正在吸气：
反之，你正在呼气。
在你呼气的某时间段[t1，,t2]上，曲线y=V（t）与t=t1,t=t2及t轴所围成的面积就是你在这个时间段吸入空气的总量。
提示：
每次吸气所有时间为
由V（t）的周期性，只需考虑[0,
]时间段上吸入的空气总量即可。
每次吸气时吸入的总量为
升
答案：
每小时吸入空气的总量＝每次吸气时吸入的空气总量与1小时内的呼吸次数之积
9、估计某医院在某时间内的就医人数
一家新的乡村精神医病诊所刚开张。
对同类门诊的统计表明，总有一部分人第一次来过之后还要来此治疗。
如果现在有A个病人第一次来此就诊，则t个月后，这些病人中
个病人还在此治疗，这里
，现设这个诊所最开始时接受了300个人的治疗，并且计划从现在开始每月接受10名新病人。
试估算从现在开始15个月后，在此诊所接受治疗的病人有多少？
提示：
为了计算从现在开始的15个月后内接受的病人在15个月后还在此治疗的人数，将15个月的区间
分为n个等距为
的小区间，令
表示第j个区间的左端点（
）。
既然每月要接受10名新病人，于是在第j个小区间内接受的新病人人数为
，于是
病人将从
开始，
个月后还要来此治疗。
所以从现在开始15个月后新接受的病人还要在此治疗的人数总和为：
答案：
P＝247024
10、尿素的清除率答案：
肾的一个重要功能是清除血液中的尿素。
临床上在尿量少时，为减少尿量变动对所测尿素清除率的影响，通常采用尿素标准清除率计算法，即
其中U表示尿中的尿素浓度，V表示美分析出的尿量，P表示血液中的尿素浓度，正常人尿素标准清除率为54。
某病人的实验室测量值为U=500,V=1.44,P=20,则C=30。
若某一测量值的误差最大不超过1%，估计C的最大绝对值误差和相对误差。
提示：
利用全微分方程
答案:
C的最大绝对值误差为0.75，最大相对误差为2.5%。
第八章 多元函数微分法及其应用
1、最大利润问题
某公司在生产使用a,b两种原料，已知a,b两种原料分别使用x单位和y单位可生产U单位的产品，这里并且第一种原料每单位的价格为10美元，第二种的价格为4美元，产品每单元的售价为40美元，求该公司的最大利润。
提示：
多项式的极值，求驻点。
答案：
28189美元。
2、如何购物最满意
日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问题。
由于钱数固定，则如果购买其中一种物品较多，那么势必要少买（甚至不在购买）另一种物品，这样就不可能很令人满意。
如何划分给定量的钱，才会得到最满意的效果呢？
经济学家试图借助效用函数来解决这一问题。
所谓效用函数，就是描述人们同时购买两种产品各x单位y单位时满意程度的量。
常见的形式有：
U＝U（x,y）=x+y或 U＝U（x,y）=lnx+lny等。
而当效用函数达到最大值时，人们购买分配的方案最佳。
例如：
小孙由200元钱，他决点该购买二种急需品：
计算机磁盘和录音磁带。
且设他购买x张磁盘y张录音磁盘的效用函数为U＝U（x,y）=lnx+lny，设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配他的200元钱，才能达到最满意的效果。
提示：
拉格朗日乘数法。
答案：
买12张磁盘和10盒磁带。
3、怎样设计海报的版面既美观又经济
现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积128平方分米，上下空白各2分米,两边空白各1分米，如何确定海报尺寸可使四周空白面积最少
提示：
函数极值
答案：
（海报印刷部分为从上到下长16分米，从左到右宽8分米）。
4、接受能力与讲授时间的关系
通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现接受能力（即学生掌握一个概念的能力）依赖于在概念引入之前老师提出和描述问题所用的时间。
讲座开始时，学生的兴趣激增，但随着时间的延长，学生的注意力开始分散。
分析结果表明，学生掌握概念的能力由下式给出：
其中G（x）是接受能力的一种度量,x是提出概念的时间（单位：
min）。
（a）x为何值时，学生接受能力增强或降低？
（b）第10分钟时，学生的兴趣是增长还是降低？
（c）最难的概念应该在何时讲授？
（d）一个概念需要55的接受能力，它适于对这组学生讲授吗？
提示:
函数单调性与极值
答案：
（a）、x<13时G单调上升；,x>13时G单调下降。
（b）、学生的兴趣在增长。
（c）、最难的概念应该在提出问题后的第13分钟提出。
（d）、这个概念学要55的接受能力，小于最大的接受能力G（13）=59.9，所以可以对这组学生讲授该概念。
5、在确定的预算下，劳动力与资本的最佳配置
在经济学中有个Cobb-Douglas生产函数的模型
，式中x代表劳动力的数量，y为资本数量，C与a是常数，由各工厂的具体情形而定，函数值表示生产量。
现在已知某制造商的Cobb-Douglas生产函数是
，每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元。
该制造商的总预算是50000元。
问他该如何分配这笔钱于雇用劳力与资本，以使生产量最高。
答案：
该制造商应该雇用250个劳力而把剩余的部分作为资本投入。
这时可获得最大产量f（250,50）=16719。
5、多元函数微分学的应用：
设ΔABC锐角三角形，P（x,y）为其内一点，令
，证明；在f（x,y）取极值的点P0处，向量
、
、
夹的角相等。
13、预测某个月加利福尼亚酒店的销售量
一酒点有两种便宜的白葡萄酒，一种来源于加利福尼亚，一种来源于纽约，销售图表显示两种酒的定价对它们的销售情况有影响，如果加利福尼亚酒每瓶x元，同时纽约酒每y元，则加利福尼亚酒的销售量将为Q（x,y）=300-2x2+30y瓶，预计从现在起的t个月后，加利福尼亚的价格将为x=2+0.05t元/瓶,同时纽约酒的价格将为y=2+0.1
元/瓶
问:
从现在起的四个月后的一个月里，加利福尼亚酒的销售量将增加（减少）多少瓶？
提示：
利用微分方程
答案：
将减少3.65瓶
14、当商店卖两种牌子的冻果汁时，如何取得最大利润
一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的果冻汁，当地牌子的进价每听30美分，外地的40美分，店主估计，如果当地牌子的每听x美分,外地的y美分,，则每天可卖70-5x+4y听当地牌子的果汁，80+6x-7y听外地牌子的果汁。
问：
店主每天以什么价格买出两种牌子的果汁可取的最大收益。
提示：
多元函数的极，答案：
x=53且y=55时小店可取的最大利润
15、飞机的速度
假设空气以每小时32公里的速度沿平行X轴正向的方向流动。
一架飞机在xoy平面沿与X轴正向成30度的方向飞行。
若飞机相对于空气的速度时每小时840公里。
问飞机相对于地面的速度是多少？
提示：
图示法,答案：
856.45
16、超音速飞机与“马赫锥”
当一架超音速飞机在高空飞行时，由于飞机的速度比音速快。
所以人们常常是先看到飞机从天空中掠过，片刻之后才能听到震耳的隆隆声。
那么请问，在同一时刻，天空中的什么区域内可以听到飞机的声音呢？
这个问题的答案十分有趣：
能够听到飞机声音的区域恰好是一个以飞机为顶点的圆锥体——这就是著名的“马赫锥”。
在马赫锥之外，无论据飞机多么近都不会听到飞机的轰鸣声。
设声音在空气中的传播速度为k，并假设飞机正沿水平方向作匀速直线飞行，飞机速度V时。
请推导出马赫锥所满足的锥面方程。
提示：
声波是球面波，声波速度V0，飞机速度V，t=0时取位置为原点，t=a时飞机位置为（aV,0,0）,
答案：
17、定积分求面积：
设，求曲线与轴所围成的封闭图形的面积。
提示:
利用函数的奇偶性和函数的单调性可以求得，
答案：
1/2
第九章积分的案例
1、下图是瑞士国的地图。
为了计算出它的国的面积，首选对地图作如下测量：
以由西向东方向为x轴，由南向北为y轴，选择方便的原点，并将从最西边界到最东边界在x轴上的区间适当地若干段，在每个分点的y轴方向测出南边界和北边界的y坐标y1和y2，这样得到了表1中的数据（单位mm）
地图比例为18：
40000000。
试由测量数据计算瑞士国土面的近似值。
瑞士地图：
瑞士地图测量数据：
X
7.010.513.017.534.040.544.548.056.061.068.576.580.591.0
Y1
4445475050383030343634414546
Y2
4459707293100110110110117118116118118
X
96101104106.5111.5118123.5136.5142.0146.0150.0157.0158.0
Y1
43373328326555545250666668
Y2
121124121121121122116838182868568
3、在研究山脉的形成过程中，地质学家要估计把山脉从水平面提升到现在的高度地壳力所作的功。
某座山的形状为一正圆锥体，测得它的高为2535m，底的直径为2648m（如图9所示），假定山内任一点M（x,y,z）的密度：
ρ（x,y,z）＝3563.67[1－
]kg/m3,
试计算在这座山漫长的形成过程中地壳力所作的功。
4、湖泊体积及平均水深的估算
椭球正弦曲面是许多湖泊的湖床形状的很好的近似，假定湖面的边界为椭圆
。
若湖的最大水深为
，则椭球正弦曲面由
，
其中
给出。
现要求湖水的总体积V及平均水深
。
提示：
湖水体积
，D为
，
。
答案：
，
5、如何求物料干燥所需的时间
干燥是化工常见的单元操作，干燥过程就是把含有较多水份的物料经过处理变成含有较少水分的物料的物理过程。
现在讨论下面的干燥动力学问题。
将固体物料放在一直径为1.5米，长为15米的转筒干燥器中用空气来干燥，沿转筒全部长度方向都装有物料，且物料装至转筒横截面的三分之一。
物料以恒定的速度进入器内，在原始的物料中，干物质与水之比等于2，而干燥的后的物料中，干物质与水之比等于10。
假定被干燥物料的体积和其中所含水量之间存在线性关系。
进入干燥器内的物料重度等于500[kg/m3]，而最后成品的重度等于330[kg/m3]。
设干燥器每小时能出产品220[kg]，并假定干燥速度和含水量成正比。
试求干燥所需的时间。
提示：
根据被干燥物料的体积与其中所含水分的重量的线性函数求解。
答案：
11h
第十章 曲线积分与曲面积分的案例
1、造地球卫星轨道可视为平面上的椭球。
我国第一颗人造地球卫星近地点距地球表面439公里，远地点距地球表面2384公里，地球半径为6371公里，求该卫星的轨道长度。
2、拟建某一隧通道，内设双向四车道的公路，其截面由一长方形和一抛物线或一圆弧或一椭圆弧构成，为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要求0.5米，若行车道总宽度为8米，两边留有1米宽的维修通道，欲使截面的造价最低，隧道顶部就采用何种曲线？
第十四章 微分方程的案例
1、如何预报人口的增长
2、交通十字路口红绿灯中的黄灯亮的时间如何确定？
3、静脉输液问题
静脉输入葡萄糖是一种重要的医疗技术，为了研究这一过程，设G（t）为t时刻血液中的葡萄糖含量，且设葡萄糖以每分钟k克的固定速率输入到血液中，与此同时，血液中的葡萄糖还会转化为其他物质或转移到其他地方，其速率与血液中的葡萄糖含量成正比。
试列出描述这一情况的微分方程，并解之。
提示：
答案：
4、他是嫌疑贩吗
受害者的尸体于晚上7：
30被发现。
法医于晚上8：
20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6度，一小时后，当尸体既将被抬走时，测得尸体温度为31.4度，室温在几小时内始终为21.1度。
此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：
“下午张某一直在办公室上班，5：
00时打了一个电话，打完电话后就离开了办公室。
”从张某的办公室到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题是：
张某不在现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外。
提示：
尸体温度的变化率正比于尸体温度与室温的差.
答案：
不能排除。
5、动物数量能够预测吗
动物繁殖是一个非常复杂的问题，但是如果把影响繁殖的许多次要因素忽略掉或简单化，我们仍然可以用微分方程来描述动物繁殖的近似规律，从而预测动物的未来数量。
现考虑一种与外界完全隔绝的某种动物，这里所说的与外界完全隔绝是指它们中间除了本族的出生和死亡外，既无迁出也无迁入，设在t时间内这一种动物的数目为N，并社它们的出生率和死亡率分别为n与m，假定它们出生数与死亡数都和t时的动物数及时间成正比。
现在讨论动物数N与时间t之间的函数关系。
提示：
微分方程
6、如何建立固体物质的溶解速度常数的方程式
设有一球形的均匀固体溶解于化学活性的溶液中，并且溶液一克分子的固体物质要消耗一克分子的溶剂。
要求列出决定固体物质的溶解速度常数的方程式。
提示：
根据瞬间t时的溶解速度与t时的球形面积S和到瞬间t时余留的溶剂量成正比
（即
）求解。
答案：
可求出溶解速度常数k
7、赤道上需要多少颗通讯卫星
计划将一颗通讯卫星送入地球赤道上空的静止轨道。
为了保持卫星对地球的相对静止，该通讯卫星的运动速率，轨道的高度应为多少欲使赤道上的所有点至少与一颗通讯卫星保持联系，在赤道上需要有多少颗通讯卫星
提示：
根据牛顿第二定律和万有引力定律，可得出卫星的运动方程。
答案：
至少要有3颗。
8、游船上的传染病人数
一只游船上有800人，一名游客患了某种传染病，12小时后有3人发病，由于这种传染病没有早期症状，故感染者不能被及时隔离。
直升机将在60至72小时间将疫苗送到，试估算疫苗送到时患此病的人数。
提示：
答案：
y（t）表示发病人数，
9、逻辑斯蒂（logistic）方程
在一个动物群体中，个体的生长率是平均出生率与平均死亡率之差。
设某群体的平均出生率为正的常数b，由于拥挤以及对食物的竞争加剧等原因，个体的平均死亡率与群体的规模大小成正比，其比例常数为k（k＞0）。
若以P（t）记t时刻的群体总量，则
就是该群体的生长率。
单个个体的生长率为
。
设P（0）=P0,试写出描述群体总量P（t）的微分方程，并解之。
答案：
10、他的胰脏正常吗
有一种医疗手段，是把某种特殊的染色剂注射到胰脏里去以检查其功能。
正常胰脏每分钟吸收掉染色的40%，现内科医生给某人注射了0.3克染色，30分钟后还剩下0.1克，试问此人的胰脏是否正常。
答案：
不正常。
11、油井收入有多少
一个月产300桶原油的油井，在3年后将要枯竭。
预计从现在开始t个月后，原油价格将是每桶
（美元）,如果假定油一生产出就被售出，则问：
从这口井可得到多少美元的收入？
令
为从现在开始t个月收入，则
。
答案：
207360美元。
12陨石的下落
地球的质量是5.983×1034千克,今有一块质量为10000千克的陨石正在朝着地球的方向运动。
A、距100公里时,求他们之间的引力（以牛顿为单位）；
B、如果陨石继续朝地球的方向运动,则在相距100km时,引力的递增速度是多少
提示：
微分方程 答案：
（（a）、f=39.925×107N;（b）、-7985N/m。
18、微分方程在几何上应用1：
求曲线，其上任何一点的切线自切点与x轴交点的切线段长为常数a。
提示：
利用图解和微分方程可以求得
答案：
19、微分方程在几何上应用2：
设y=f（x）
连续，可导，且f（0）=1,现已知曲线y=f（x），x轴，y轴及过点（x,0）且垂直于x轴的直线所围成的图形的面积与曲线y=f（x）在[0,x]上的一段弧长值相等，求f（x）。
提示：
由题设所围成面积为
，而题设弧长为
可以解得.
答案:
20、微分方程在力学上应用3：
一质量为m的船以速度V0行驶，在t=0时，动力关闭，假设水的阻力正比于
，其中n为一常数，v为瞬时速度，求速度v与滑行距离的函数关系。
提示：
船所受的净力=向前推力-水的阻力=
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