直线与抛物线的综合练习高考理科数学微型专题训练.docx

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直线与抛物线的综合练习高考理科数学微型专题训练

20　直线与抛物线的综合

1.过抛物线C:

y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点,且x1+x2=,则弦AB的长为（　　）.

A.4B.C.D.

解析▶　抛物线的焦点弦公式为|AB|=x1+x2+p,由抛物线方程可得p=2,则弦AB的长为x1+x2+p=+2=,故选C.

答案▶　C

2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,若直线AF的斜率k=-,则线段PF的长为（　　）.

A.4B.5C.6D.7

解析▶　因为抛物线的方程为y2=6x,

所以焦点为F,准线方程为x=-.

因为直线AF的斜率k=-,

所以直线AF的方程为y=-.

当x=-时,y=3,即A.

因为PA⊥l,A为垂足,所以点P的纵坐标为3,代入抛物线方程,得点P的坐标为,所以|PF|=|PA|=-=6,故选C.

答案▶　C

3.已知抛物线C:

y2=x,过点P（a,0）的直线与C相交于A,B两点,O为坐标原点,若·<0,则实数a的取值范围是（　　）.

A.（-∞,0）B.（0,1）

C.（1,+∞）D.{1}

解析▶　设直线方程为x=my+a,A（x1,y1）,B（x2,y2）,将x=my+a代入抛物线方程得y2-my-a=0,所以y1y2=-a,x1x2=（y1y2）2=a2.由·=x1x2+y1y2=a2-a<0,解得a∈（0,1）,故选B.

答案▶　B

4.已知点P（-1,4）,过点P恰好存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点,则抛物线C的标准方程为（　　）.

A.x2=y

B.x2=4y或y2=-16x

C.y2=-16x

D.x2=y或y2=-16x

解析▶　∵过点P（-1,4）恰好存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点,

∴点P一定在抛物线C上,两条直线分别为一条切线,一条与抛物线的对称轴平行的直线.

若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线方程为y2=2px,

将P（-1,4）代入方程可得2p=-16,

则抛物线C的标准方程为y2=-16x;

若抛物线焦点在y轴上,设抛物线方程为x2=2py,

将P（-1,4）代入方程可得2p=,

则抛物线C的标准方程为x2=y.故选D.

答案▶　D

能力1

▶　会用“设而不解”的思想求直线与抛物线中的弦长、面积

【例1】　直线y=k（x-1）与抛物线y2=4x交于A,B两点,若|AB|=,则k=　　　　. 

解析▶　设A（x1,y1）,B（x2,y2）,因为直线经过抛物线y2=4x的焦点,所以|AB|=x1+x2+2=,所以x1+x2=.联立得k2x2-（2k2+4）x+k2=0,所以x1+x2==,所以k=±.

答案▶　±

凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时,一般运用定义转化为到准线的距离处理.若P（x0,y0）为抛物线y2=2px（p>0）上一点,由定义易得|PF|=x0+;若过焦点的弦AB的端点坐标分别为A（x1,y1）,B（x2,y2）,则弦长|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.

已知过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=16,且|AF|<|BF|,则|AF|=　　　　. 

解析▶　由题意可设过抛物线y2=8x的焦点F的直线方程为y=k（x-2）.

联立得k2x2-（4k2+8）x+4k2=0.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1+x2=.

∵|AB|=16,∴x1+2+x2+2=16,即=12.

∴k2=1,则x2-12x+4=0,∴x=6±4.

∵|AF|<|BF|,∴x2=6+4,x1=6-4,

∴|AF|=6-4+2=8-4.

答案▶　8-4

能力2

▶　会用方程的思想求直线与抛物线中的有关几何量

【例2】　已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P（4,y0）到焦点的距离为5.

（1）求抛物线C的方程;

（2）已知抛物线上一点M（n,4）,过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MD⊥ME,判断直线DE是否过定点,并说明理由.

解析▶　

（1）由题意设抛物线的方程为y2=2px,

其准线方程为x=-,

∵P（4,y0）到焦点的距离等于其到准线的距离,

∴4+=5,∴p=2.

∴抛物线C的方程为y2=4x.

（2）由

（1）可得点M（4,4）,直线DE的斜率不为0,

设直线DE的方程为x=my+t,

联立得y2-4my-4t=0,

则Δ=16m2+16t>0.　①

设D（x1,y1）,E（x2,y2）,

则y1+y2=4m,y1y2=-4t.

∵·=（x1-4,y1-4）·（x2-4,y2-4）

=（x1-4）（x2-4）+（y1-4）（y2-4）

=x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2-4（y1+y2）+16

=-4+16+y1y2-4（y1+y2）+16

=t2-16m2-12t+32-16m=0,

即t2-12t+32=16m2+16m,

得（t-6）2=4（2m+1）2,

∴t-6=±2（2m+1）,即t=4m+8或t=-4m+4.

把t=4m+8代入①式检验,满足Δ>0,把t=-4m+4代入①式检验,得m≠2（不合题意）.

∴直线DE的方程为x=my+4m+8=m（y+4）+8.

∴直线DE过定点（8,-4）.

根据直线与圆锥曲线的位置关系中弦的中点、平面向量、线段的平行与垂直、距离等概念,可建立关于变量的方程来求解.

过点（2,1）的直线交抛物线y2=x于A,B两点（异于坐标原点O）,若|+|=|-|,则该直线的方程为（　　）.

A.x+y-3=0B.2x+y-5=0

C.2x-y+5=0D.x-2y=0

解析▶　设直线AB的方程为x-2=m（y-1）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,

联立得2y2-5my+5m-10=0.

则Δ=5（5m2-8m+16）>0.　（*）

又y1+y2=,y1y2=,

∴x1x2=（my1-m+2）（my2-m+2）

=m2y1y2+m（2-m）（y1+y2）+（2-m）2

=m2·+m（2-m）·+（2-m）2

=（2-m）2.

∵|+|=|-|,∴⊥,

∴·=x1x2+y1y2=0,

∴（2-m）2+=0,

∴m=2或m=-,满足（*）,

但是当m=2,直线方程为x-2y=0时,与抛物线的一个交点为原点,不满足OA⊥OB,应该舍去.

∴该直线的方程为x-2=-（y-1）,即2x+y-5=0.故选B.

答案▶　B

能力3

▶　会用方程恒成立的思想解曲线过定点问题

【例3】　已知椭圆C:

+y2=1（a>1）的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:

（x-3）2+（y-1）2=3相切.

（1）求椭圆C的方程;

（2）若不过点A的动直线l与椭圆C交于P,Q两点,且·=0,求证:

直线l过定点,并求该定点的坐标.

解析▶　

（1）由题意知,圆M的圆心为（3,1）,半径r=,A（0,1）,F（c,0）,

直线AF的方程为+y=1,即x+cy-c=0.

由直线AF与圆M相切,得=,

解得c2=2,a2=c2+1=3,

故椭圆C的方程为+y2=1.

（2）由·=0知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,故可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-x+1.

联立方程组

整理得（1+3k2）x2+6kx=0,

解得x=0或x=,

故点P的坐标为,

同理可得,点Q的坐标为.

所以直线l的斜率为=,

所以直线l的方程为y=+,

即y=x-.

所以直线l过定点.

证明直线过定点,一般有两种方法:

（1）特殊探求,一般证明,即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况,找出定点的位置,然后证明该定点在该直线或该曲线上（将定点的坐标代入直线或曲线的方程后等式恒成立）.

（2）分离参数法,一般可以根据需要选定参数λ∈R,结合已知条件求出直线或曲线的方程,分离参数得到等式f1（x,y）λ2+f2（x,y）λ+f3（x,y）=0（一般地,fi（x,y）（i=1,2,3）为关于x,y的二元一次关系式）,由上述原理可得方程组从而求得该定点.

已知抛物线C:

x2=2py（p>0）过点（2,1）,直线l过点P（0,-1）与抛物线C交于A,B两点.点A关于y轴的对称点为A',连接A'B.

（1）求抛物线C的标准方程.

（2）直线A'B是否过定点?

若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

解析▶　

（1）将点（2,1）代入抛物线的方程x2=2py中,得p=2.

所以抛物线C的标准方程为x2=4y.

（2）设直线l的方程为y=kx-1,A（x1,y1）,B（x2,y2）,则A'（-x1,y1）.

由得x2-4kx+4=0.

则Δ=16k2-16>0,x1+x2=4k,x1x2=4,

所以kA'B===.

所以直线A'B的方程为y-=（x-x2）,

所以y=（x-x2）+=x+1,

当x=0时,y=1,

所以直线A'B过定点（0,1）.

能力4

▶　会建立目标函数,并转化为函数的值域或最值等问题求解

【例4】　已知△ABC的直角顶点A在y轴上,点B（1,0）,D为斜边BC的中点,且AD平行于x轴.

（1）求点C的轨迹方程.

（2）设点C的轨迹为曲线Γ,直线BC与Γ的另一个交点为E.以CE为直径的圆交y轴于M,N两点,记此圆的圆心为P,∠MPN=α,求α的最大值.

解析▶　

（1）设点C的坐标为（x,y）,则BC的中点D的坐标为,点A的坐标为.

所以=,=.

由AB⊥AC,得·=x-=0,即y2=4x,

经检验,当C点运动至原点时,A与C重合,不合题意,舍去.

所以点C的轨迹方程为y2=4x（x≠0）.

（2）依题意,可知直线CE不与x轴重合,设直线CE的方程为x=my+1,点C,E的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,圆心P的坐标为（x0,y0）.

由可得y2-4my-4=0,

所以y1+y2=4m,y1y2=-4.

所以x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2,x0==2m2+1,

所以圆P的半径r=|CE|=（x1+x2+2）=（4m2+4）=2m2+2.

过圆心P作PQ⊥MN于点Q,则∠MPQ=.

在Rt△PQM中,cos====1-,

当m2=0,即CE垂直于x轴时,cos取得最小值,取得最大值,

所以α的最大值为.

1.抛物线中的最值问题解决方法一般分两种:

一是代数法,从代数的角度考虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法求解;二是数形结合法,利用抛物线的图象和几何性质来进行求解.

2.抛物线中取值范围问题的五种常用解法

（1）利用抛物线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.

（2）利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.

（3）利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.

（4）利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.

（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数并求该函数的值域,从而确定参数的取值范围.

已知抛物线M:

y2=4x,圆N:

（x-1）2+y2=r2（r>0）.过点（1,0）的直线l交圆N于C,D两点,交抛物线M于A,B两点,且满足|AC|=|BD|的直线l恰好有三条,则r的取值范围为（　　）.

A.B.（1,2]

C.（2,+∞）D.

解析▶　由题意可知,当直线斜率不存在时,|AC|=|BD|成立;

当直线斜率存在时,此时存在两条直线满足|AC|=|BD|.

设直线l:

x=my+1（m≠0）,

由可得y2-4my-4=0.

由可得y2=.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）,D（x4,y4）,

由|AC|=|BD|,得y1-y3=y2-y4,

则y1-y2=y3-y4,

所以4=,

故r=2（m2+1）>2,故选C.

答案▶　C

一、选择题

1.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦AB的两端点坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,则的值一定等于（　　）.

A.-4B.4C.p2D.-p2

解析▶　若焦点弦AB⊥x轴,则x1=x2=,不妨设y1>0,y2<0,∴y1=p,y2=-p.

∴x1x2=,y1y2=-p2,故=-4.

若焦点弦AB不垂直于x轴,

可设直线AB的方程为y=k,

联立

得k2x2-（k2p+2p）x+=0,

则x1x2=.又=2px1,=2px2,

∴=4p2x1x2=p4,

又y1y2<0,∴y1y2=-p2.

故=-4,故选A.

答案▶　A

2.已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则抛物线的方程为（　　）.

A.x2=yB.x2=6y

C.x2=-3yD.x2=3y

解析▶　设点M（x1,y1）,N（x2,y2）,由消去y,得x2-2ax+2a=0,所以==3,即a=3,因此所求的抛物线方程为x2=3y,故选D.

答案▶　D

3.设抛物线C:

y2=2px（p>0）的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于点M,N,与y轴交于点（0,）,与准线l交于点P,点M在线段PF上,若|PM|=2|MF|,则|MN|=（　　）.

A.B.C.D.

解析▶　由题意可得M,则2p·=,所以p=2,所以直线MN的方程为y=-（x-1）.由得M,N（3,-2）,故|MN|=,故选D.

答案▶　D

4.设抛物线y2=4x的焦点为F,过点M（,0）的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=3,则=（　　）.

A.B.C.D.

解析▶　画出抛物线y2=4x的图象如图所示.

由抛物线方程y2=4x,得焦点F的坐标为（1,0）,准线方程为x=-1.过点A,B作准线的垂线,垂足分别为E,N.

设直线AC的方程为y=k（x-）,

由消去y,

得k2x2-（2k2+4）x+5k2=0.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1x2=5.

由条件知|BF|=|BN|=1+x2=3,

∴x2=2,∴x1=,∴|AE|=x1+1=.

∵在△CBN中,BN∥AE,

∴===.故选D.

答案▶　D

5.斜率为k的直线过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F,交抛物线于A,B两点,点P（x0,y0）为AB的中点,作OQ⊥AB,垂足为Q,则下列结论中不正确的是（　　）.

A.ky0为定值

B.·为定值

C.点P的轨迹为圆的一部分

D.点Q的轨迹为圆的一部分

解析▶　由题意知,抛物线的焦点为F,

所以直线l的方程为y=k（k≠0）.

由消去y,整理得k2x2-（k2p+2p）x+=0.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,

则x1+x2=,x1x2=,

所以y1+y2=,y1y2=-p2,y0==.

选项A中,ky0=p,为定值.故A正确.

选项B中,·=x1x2+y1y2=-p2=-,为定值,故B正确.

选项C中,由消去k,得x0=+,所以点的轨迹不是圆的一部分,故C不正确.

选项D中,由于OQ⊥AB,直线AB过定点F,所以点Q在以OF为直径的圆上,故D正确.故选C.

答案▶　C

6.已知抛物线C:

y2=4x,过焦点F且斜率为的直线与C相交于P,Q两点,且P,Q两点在准线上的投影分别为M,N,则S△MFN=（　　）.

A.B.C.D.

解析▶　由题意可得直线PQ的方程为y=（x-1）,与抛物线y2=4x联立可得3x2-10x+3=0.设点P在第一象限,所以P（3,2）,Q,则MN=2+=.

在△MFN中,MN边上的高h=2,

则S△MNF=×2×=,故选B.

答案▶　B

7.过抛物线C:

y2=8x的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,且|AB|=10,则原点到直线l的距离为（　　）.

A.B.C.D.

解析▶　由题意知,抛物线y2=8x的焦点为F（2,0）,当直线l的斜率不存在时,|AB|=2p=8,不合题意;

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k（x-2）,

由得k2x2-（4k2+8）x+4k2=0,

所以x1+x2=.

根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p=+4=10,解得k=±2,

当k=2时,直线l的方程为2x-y-4=0,所以原点到直线l的距离d==,

当k=-2时,直线l的方程为2x+y-4=0,所以原点到直线l的距离d==,

综上所述,原点到直线l的距离为,故选C.

答案▶　C

8.若过抛物线x2=4y焦点的直线与抛物线交于A,B两点（不重合）,则·（O为坐标原点）的值是（　　）.

A.B.-C.3D.-3

解析▶　由题意知,抛物线的焦点为F（0,1）.

设直线AB的方程为y=kx+1,A（x1,y1）,B（x2,y2）,由得x2-4kx-4=0,所以x1x2=-4,y1y2==1,故·=x1x2+y1y2=-4+1=-3,故选D.

答案▶　D

9.如图,过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为α的直线l,l与抛物线及其准线从上到下依次交于A,B,C点,令=λ1,=λ2,则当α=时,λ1+λ2的值为（　　）.

A.3B.4C.5D.6

解析▶　设A（x1,y1）,B（x2,y2）,

则|AB|=x1+x2+2==.

∵x1+x2=,又x1x2==1,

∴x1=3,x2=,∴=λ1==3,

同理可得=λ2==2,

∴λ1+λ2=5,故选C.

答案▶　C

10.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为A1,B1两点,以A1,B1为直径的圆C过点M（-2,3）,则圆C的方程为（　　）.

A.（x+1）2+（y-2）2=2

B.（x+1）2+（y+1）2=17

C.（x+1）2+（y-1）2=5

D.（x+1）2+（y+2）2=26

解析▶　抛物线的准线方程为x=-1,焦点为F（1,0）.

当直线AB的斜率不存在时,易得圆C的方程为（x+1）2+y2=4,不过点M,不合题意.

当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=k（x-1）,联立方程组

∴y2-y-4=0.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则y1+y2=,y1y2=-4.

∴|y1-y2|==4.

∴以A'B'为直径的圆C的圆心为,半径为2.

∴圆C的方程为（x+1）2+=4.

把（-2,3）代入圆的方程得1+=4,解得k=2.

∴圆C的方程为（x+1）2+（y-1）2=5.故选C.

答案▶　C

二、填空题

11.已知抛物线y=ax2（a>0）的焦点到准线的距离为2,则直线y=x+1截抛物线所得的弦长等于　　　. 

解析▶　由题意知p==2,∴a=,∴抛物线的方程为y=x2,焦点为F（0,1）,准线为y=-1.联立消去x,整理得y2-6y+1=0.

设直线y=x+1与抛物线交于A,B两点,A（x1,y1）,B（x2,y2）,

∴y1+y2=6.

∵直线y=x+1过焦点F,

∴所求弦长|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=8.

答案▶　8

12.过抛物线C:

y2=4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P,Q两点,与其准线交于点M,且=3,则||=　　　　. 

解析▶　由题意可得交点P在点M,F之间,|PM|=2|PF|,由抛物线的定义和平面几何知识可得,直线l的倾斜角为60°或120°.设直线l的方程为y=±（x-1）,联立解得xP=,所以||=.

答案▶　

三、解答题

13.已知抛物线C:

y2=2px（1>p>0）上的点P（m,1）到其焦点F的距离为.

（1）求抛物线C的方程;

（2）已知直线l不过点P且与C相交于A,B两点,且直线PA与直线PB的斜率之积为1,证明:

直线l过定点.

解析▶　

（1）由题意得1=2pm,即m=.

由抛物线的定义,得|PF|=m-=+.

由题意知,+=,解得p=或p=2（舍去）.

所以抛物线C的方程为y2=x.

（2）设直线PA的斜率为k（显然k≠0）,则直线PA的方程为y-1=k（x-1）,即y=k（x-1）+1.

由消去y,并整理得k2x2+[2k（1-k）-1]x+（1-k）2=0.

设A（x1,y1）,由韦达定理,得1·x1=,

所以x1=,

y1=k（x1-1）+1=k+1=-1+,所以A.

由题意知,直线PB的斜率为.

同理可得B,

即B（（k-1）2,-1+k）.

若直线l的斜率不存在,则=（k-1）2,解得k=1或k=-1.

当k=1时,直线PA与直线PB的斜率均为1,A,B两点重合,与题意不符;

当k=-1时,直线PA与直线PB的斜率均为-1,A,B两点重合,与题意不符.

所以直线l的斜率必存在.

所以直线l的方程为y-（-1+k）=[x-（k-1）2],即y=x-1.

所以直线l过定点（0,-1）.