中考数学几何综合压轴题汇编解析卷.docx

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中考数学几何综合压轴题汇编解析卷

中考数学几何综合压轴题汇编

一．解答题（共18小题）

1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD的长．

2．如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证：

（1）∠BOD=∠C；

（2）四边形OBCD是菱形．

3．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．

（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．

4．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．

（1）求证：

四边形ACDF是平行四边形；

（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

5．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．

（1）求证：

△AFG∽△DFC；

（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．

6．如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．

（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；

（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若=﹣1，求的值．

7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．

（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．

8．如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．

（1）求证：

四边形AEBD是菱形；

（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．

9．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与

OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．

（1）求证：

PC是⊙O的切线；

（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．

10．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=　15　°；

（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？

若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．

11．如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．

（1）试说明点D在⊙O上；

（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC•AE．求证：

BE为⊙O的切线；

（3）在

（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长．

12．如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）若点F是A的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；

（3）在

（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．

13．结果如此巧合!

下面是小颖对一道题目的解答．

题目：

如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，

求△ABC的面积．

解：

设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．

根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．

根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．

整理，得x2+7x=12．

所以S△ABC=AC•BC

=（x+3）（x+4）

=（x2+7x+12）

=×（12+12）

=12．

小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？

请你帮她完成下面的探索．

已知：

△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．

可以一般化吗？

（1）若∠C=90°，求证：

△ABC的面积等于mn．

倒过来思考呢？

（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．

改变一下条件……

（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．

14．【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．

（1）若AB=6，AE=4，BD=2，则CF=　4　；

（2）求证：

△EBD∽△DCF．

【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：

点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON=∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B=α，则△AEF与△ABC的周长之比为　1﹣cosα　（用含α的表达式表示）．

15．问题呈现

如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．

问题解决

（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为　2　；

（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；

思维拓展

（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．

16．对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：

先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）

（1）根据以上操作和发现，求的值；

（2）将该矩形纸片展开．

①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：

∠HPC=90°；

②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）

17．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x．

（1）当AM=时，求x的值；

（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？

如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；

（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．

18．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．

（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．

（2）当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求AE的长．

（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系．并说明理由．

（4）如图2，当△ECD的面积S1=时，求AE的长．

中考数学几何综合压轴题汇编

参考答案与试题解析

一．解答题（共18小题）

1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD的长．

解：

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=90°，

∴∠C=180°﹣∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°．

作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10．

在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC=，

∴BE=AB•cos∠ABE=，

∴AE==，

∴AF=AE﹣EF=﹣10=．

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°，

∴∠ABC+∠ADF=90°，

∵cos∠ABC=，

∴sin∠ADF=cos∠ABC=．

在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°，sin∠ADF=，

∴AD===6．

2．如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证：

（1）∠BOD=∠C；

（2）四边形OBCD是菱形．

证明：

（1）

延长OA到E，

∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO，

又∠BOE=∠ABO+∠BAO，

∴∠BOE=2∠BAO，

同理∠DOE=2∠DAO，

∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2（∠BAO+∠DAO）

即∠BOD=2∠BAD，

又∠C=2∠BAD，

∴∠BOD=∠C；

（2）连接OC，

∵OB=OD，CB=CD，OC=OC，

∴△OBC≌△ODC，

∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，

∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠BCD=∠BCO+∠DCO，

∴∠BOC=∠BOD，∠BCO=∠BCD，

又∠BOD=∠BCD，

∴∠BOC=∠BCO，

∴BO=BC，

又OB=OD，BC=CD，

∴OB=BC=CD=DO，

∴四边形OBCD是菱形．

3．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．

（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．

解：

（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：

连接OE、OD，如图，

∵AC是⊙O的切线，

∴AB⊥AC，

∴∠OAC=90°，

∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，

∴OE∥BC，

∴∠1=∠B，∠2=∠3，

∵OB=OD，

∴∠B=∠3，

∴∠1=∠2，

在△AOE和△DOE中

，

∴△AOE≌△DOE，

∴∠ODE=∠OAE=90°，

∴OA⊥AE，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵点E是AC的中点，

∴AE=AC=2.4，

∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，

∴图中阴影部分的面积=2•×2×2.4﹣=4.8﹣π．

4．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．

（1）求证：

四边形ACDF是平行四边形；