初中数学勾股定理.docx
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初中数学勾股定理
聚智堂学科教师辅导讲义
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数学辅导时间：
课题勾股定理
222
1勾股定理：
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：
a+b=c）
2、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长：
a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是
教学目的直角三角形。
222
3、满足a+b=c的三个正整数，称为勾股数。
教学内容
一、日校回顾
二、知识回顾
1.勾股定理
如图所示，在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、发现正方形
面积之间存在这样的关系：
即C的面积=B的面积+A的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题，于是得到直
角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理。
勾股定理：
如果直角三角形两直角边分别为a,b，斜边为c,那么
a2b2=c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
说明：
（1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系了。
（2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。
在没有特殊说明的情况下，
直角三角形中，a，b是直角边，c是斜边，但有时也要考虑特殊情况。
（3）除了利用a,b,c表示三边的关系外，还应会利用ABBC,CA表示三边的关系，在△ABC中，/B=90°，利
用勾股定理有AB2BC2二AC2。
2.利用勾股定理的变式进行计算
由a2b2=c2，可推出如下变形公式:
（1）a2二c2-b2；
（2）b2二c2-a2
（3）a*c2「b2
（4）b=c2-a2
（5）c=-.a2b2（平方根将在下一章学到）
说明：
上述几个公式用哪一个，取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。
三、知识梳理
1、勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：
（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2、如何判定一个三角形是直角三角形
（1）先确定最大边（如c）
（2）验证c2与a2b2是否具有相等关系
（3）若c2=a2b2，则△ABC是以/C为直角的直角三角形；若c2*a2b2
则厶ABC不是直角三角形。
四、例题讲解
（一）基本知识
勾股定理求边长
1、如图所示，已知Rt△ABC中，/ACB=90°,CD丄AB,若AC=4,BC=3,求CD的长。
/ACB=9OoCD丄AB,D为垂足，AC=6cm,BC=8cm.
D
求①△ABC的面积；②斜边AB的长；③斜边AB上的高CD的长。
练习
1.
若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长的平方为（
6•直角三角形中两条直角边之比为
3:
4，且斜边为20cm，求
（1）
两直角边的长
（2）斜边上的高线长
直角三角形的判定
例1、满足下列条件的厶ABC不是直角三角形的是（）
222
A.b=c—a
B.a:
b:
c=3:
4:
5
C./C=ZA—/B
D./A：
/B:
/C=12：
13:
15
例2、三角形的三边长为（a-b）^c22ab，则这个三角形是（）
A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形
例3、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的/A和/BDC都应为直角，将量得的这个零件的各边尺寸标注
在图中，
由此可知（）
A.
/A符合要求
B.
/BDC符合要求
C.
/A和/BDC都符合要求
D.
/A和/BDC都不符合要求
例4、如图己知AB_BC,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13求四边形ABCD的面积
练习
F列各组线段中，能构成直角三角形的是（
A.9分米
例3.、一根旗杆在离地
B.15分米
9米处断裂,
米，那么梯子将平滑（
例1如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B,如果圆
柱的高为8cm,
圆柱的底面半径为二沏，那么最短
的路线长是（
A.6cm
B.8cm
C.10cmD.10二cm
（一）类型题目
例2、如图，已知长方体的三条棱ABBCBD分别为4,5,2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程
的平方是
练习
1、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B'点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短路线的长是
2、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，
AD折叠，使其落在斜边AB上，且与AE重合,为。
3、如图，在矩形ABCD中，AB=6,将矩形ABCD折叠，使点B与
C落在C处，若AE:
BE=1:
2，则折痕AD的长为
4、如图，CD是RCABC的斜边AB上的高，若AB=17,AC=15,长（）
120120
A、「B、厂C、17D、7
（二）主要数学思想。
1、方程思想
例3、如图，已知长方形
F,求CE的长.
例4、已知：
如图，在△
练习
在C'处，折痕EF
BD=25.求AC的
1、如图，把矩形ABCD纸片折叠，使点B落在点D处，点C落与BD交于点O,已知AB=16,AD=12，求折痕EF的长。
2、已知：
如图，△ABC中，/C=90o,AD是角平分线，CD=15,
长.
2、分类讨论思想（易错题）
例题5、在Rt△ABC中，已知两边长为3、4,则第三边的长为
例题6、已知在△ABC中，AB=17,AC=10,BC边上的高等于8，则△ABC的周长为
练习
1、在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为
（三）勾股定理的应用
1.
A.25
B.14
C.7
D.7或25
已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（
2.若线段a,b,e组成Rt△，则它们的比为（
A.2:
3:
4
B3:
4:
6
C.5:
12:
13
D.4:
6:
7
Rt△的周长为（
3.Rt△一直角边的长为11,另两边为自然数，则
A.121
B.120
C.132
D.不能确定
A.2n
B.n+1
C.n2—1
2“
D.n+1
5.已知Rt△ABC中，
/C=90°
，若a+b=14cm,c=10cm,
则Rt△ABC的面积是（
）
A.24cm2
B.36cm2
22
C.48cmD.60cm
6.三角形的三边长为（
:
a+b）2=
:
c2+2ab,则这个三角形是（
）
A.等边三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形
4.如果Rt△的两直角边长分别为n2—1,2n（n>1）,那么它的斜边长是（
）
7.已知，如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则厶ABE的面
积为（）
2222
A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm
8.已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港
口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）
A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里
二.填空题
1.在Rt△ABC中，/C=90°，①若a=5,b=12,贝Uc=;②若a=15,c=25，贝Ub=;
③若c=61,b=60,贝Va=;④若a:
b=3:
4,c=10,则S^abc=。
2.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为。
3.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的
水平距离为2米，问这里水深是mo
4.在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。
另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米。
三•解答题
1.如图，铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄，DAIAB于A,CB丄AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现
在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
2•小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下
端刚好接触地面，求旗杆的高度。
3.如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a,b。
利用这个图试说
明勾股定理？
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