初中数学勾股定理.docx

1、初中数学勾股定理聚智堂学科教师辅导讲义年 级： 课时数： 学科教师：学员姓名： 辅导科目： 数学 辅导时间：课 题 勾股定理2 2 21勾股定理：直角三角形两直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方。(即：a+b=c)2、 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长： a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是教学目的 直角三角形。2 2 23、 满足a +b =c的三个正整数，称为 勾股数。教学内容一、 日校回顾二、 知识回顾1.勾股定理如图所示，在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、 发现正方形面积之间存在这样的关系： 即C的面积=B的面积+

2、A的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题， 于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理。勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a, b，斜边为c,那么a2 b2 = c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。说明：(1)勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系了。(2) 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股， 斜边称为弦。在没有特殊说明的情况下，直角三角形中，a，b是直角边，c是斜边，但有时也要考虑特殊情况。(3) 除了利用a, b, c表示三边的关系外，还应会利用 AB BC, CA表示三边的关系，在 AB

3、C中，/ B= 90，利用勾股定理有 AB2 BC2二AC2。2.利用勾股定理的变式进行计算由a2 b2 =c2，可推出如下变形公式:(1)a2 二 c2 -b2 ；(2)b2 二c2 -a2(3)a *c2b2(4)b = c2 -a2(5)c = -. a2 b2 (平方根将在下一章学到)说明：上述几个公式用哪一个，取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。三、知识梳理1、 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：(1)已知直角三角形的两边求第三边(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可

4、以证明线段平方关系的问题2、 如何判定一个三角形是直角三角形(1)先确定最大边(如 c)(2)验证c2与a2 b2是否具有相等关系(3) 若c2=a2 b2，则 ABC是以/ C为直角的直角三角形；若 c2 *a2 b2则厶ABC不是直角三角形。四、例题讲解（一）基本知识勾股定理求边长1、如图所示，已知 Rt ABC中，/ ACB= 90, CD丄AB,若 AC= 4, BC= 3,求 CD的长。/ ACB=9Oo CD丄AB, D 为垂足，AC=6cm,BC=8cm.D求 ABC的面积； 斜边AB的长；斜边 AB上的高CD的长。练习1.若一直角三角形两边长分别为 12和5,则第三边长的平方为

5、（6直角三角形中两条直角边之比为3: 4，且斜边为20cm，求（1）两直角边的长（2）斜边上的高线长直角三角形的判定例1、满足下列条件的厶ABC不是直角三角形的是（ ）2 2 2A.b =c aB.a : b : c=3 : 4 : 5C./ C=Z A / BD./ A： / B :/ C=12： 13 : 15例2、三角形的三边长为（a - b）c2 2ab，则这个三角形是（ ）A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D. 锐角三角形例3、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的/ A和/ BDC都应为直角，将量得的这个零件的各边尺寸标注在图中，由此可知（ ）A./A符合要求B.

6、/ BDC符合要求C./ A和/ BDC都符合要求D./ A和/ BDC都不符合要求例4、如图己知AB _ BC, AB =3,BC =4,CD =12, AD =13求四边形ABCD的面积练习F列各组线段中，能构成直角三角形的是（A. 9分米例3.、一根旗杆在离地B. 15分米9米处断裂,米，那么梯子将平滑（例1如图，一只蚂蚁从点 A沿圆柱表面爬到点 B,如果圆柱的高为8cm,圆柱的底面半径为二沏，那么最短的路线长是（A. 6 cmB. 8 cmC. 10 cm D. 10 二 cm（一）类型题目例2、如图，已知长方体的三条棱 AB BC BD分别为4, 5, 2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表

7、面爬行到 M的最短路程的平方是练习1、一只蚂蚁从棱长为 1的正方体纸箱的 B 点沿纸箱爬到 D点，那么它所行的最短路线的长是 2、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，AD折叠，使其落在斜边 AB上，且与 AE重合, 为 。3、如图，在矩形ABCD中，AB =6,将矩形ABCD折叠，使点B与C落在C处，若AE: BE =1:2，则折痕AD的长为 4、如图，CD是RC ABC的斜边 AB上的高，若 AB = 17, AC = 15, 长（）120 120A、 B、厂 C、17 D、7（二）主要数学思想。1、方程思想例3、如图，已知长方形F,求CE的长.例4、已知：如图，在练习在C处，折

8、痕EFBD = 25.求 AC 的1、 如图，把矩形 ABCD纸片折叠，使点 B落在点D处，点C落 与BD交于点O,已知AB=16 , AD=12，求折痕 EF的长。2、 已知：如图， ABC中，/ C = 90o, AD是角平分线，CD = 15,长.2、分类讨论思想（易错题）例题5、在Rt ABC中，已知两边长为 3、4,则第三边的长为例题6、已知在 ABC中，AB=17 , AC=10, BC边上的高等于 8，则 ABC的周长为练习1、在Rt ABC中，已知两边长为 5、12，则第三边的长为（三）勾股定理的应用1.A. 25B. 14C. 7D. 7 或 25已知一个Rt的两边长分别为

9、3和4，则第三边长的平方是（2.若线段a, b, e组成Rt，则它们的比为（A. 2 : 3 : 4B3 : 4 : 6C. 5 :12 : 13D. 4 : 6 : 7Rt 的周长为（3.Rt 一直角边的长为11,另两边为自然数，则A. 121B. 120C. 132D.不能确定A. 2nB. n+1C. n 2 12 “D. n +15.已知Rt ABC中，/ C= 90，若 a+b = 14cm, c= 10cm,则Rt ABC的面积是（)A. 24cm 2B. 36cm 22 2C.48cm D.60cm6.三角形的三边长为（:a+b) 2=:c2+2ab,则这个三角形是（)A.等边三

10、角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形4.如果Rt 的两直角边长分别为 n2 1, 2n （n1）,那么它的斜边长是（)7.已知，如图长方形 ABCD中, AB= 3cm, AD= 9cm将此长方形折叠，使点 B与点D重合，折痕为 EF,则厶ABE的面积为（ ）2 2 2 2A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm8.已知，如图，一轮船以 16海里/时的速度从港口 A出发向东北方向航行，另一轮船以 12海里/时的速度同时从港口 A出发向东南方向航行，离开港口 2小时后，则两船相距（ ）A. 25 海里 B. 30海里 C. 35海里 D. 40海里二.填空题1.在 R

11、t ABC中，/ C= 90，若 a = 5, b = 12,贝U c = ;若 a= 15, c= 25，贝U b = ;若 c = 61, b= 60,贝V a = ;若 a : b = 3 : 4, c = 10,则 Sabc= 。2.直角三角形两直角边长分别为 5和12,则它斜边上的高为 。3.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是 mo4.在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶 D后直接 跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米。三解答题1.如图，铁路上 A, B两点相距25km, C, D为两村庄，DAIAB于A, CB丄AB于B,已知 DA= 15km, CB= 10km,现在要在铁路 AB上建一个土特产品收购站 E,使得C, D两村到E站的距离相等，则 E站应建在离A站多少km处？2小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1米，当他把绳子的下端拉开 5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。3.如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为 c的全等直角三角形，已知其直角边长为 a, b。利用这个图试说明勾股定理？