李雅普诺夫稳定性分析.docx
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李雅普诺夫稳定性分析
第六章李雅普诺夫稳定性分析
在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。
因为它关系到系统是否能正常工作。
经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz稳定判据、Nquist判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。
分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。
1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。
§6-1外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。
一、外部稳定性
1、定义（外部稳定性）：
若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。
（外部稳定性也称为BIBO（BoundedInputBoundedOutput）稳定性）说明：
（1）所谓有界是指如果一个函数h（t），在时间区间[0,]中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实
常数k，使得对于所有的t0，恒有h（t）k成立。
（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。
2、系统外部稳定性判据
线性定常连续系统（A,B,C）的传递函数矩阵为
xAxBu
yCx
sXAXBU
YCX
（sIA）XBU
X（sIA）1BU
G（s）C（sIA）1B
当且仅当G（s）极点都在s的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO稳定）的。
例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为
062
xxu
111
试分析系统的外部稳定性。
612s11
解：
系统为SISO系统，传递函数为
sG（s）C（sIA）1B011s2（s2）（s3）1
s3由于传递函数的极点位于s左平面，故系统是外部稳定的。
二、内部稳定性
对于线性定常系统
xAxBu，x（t0）x0
yCx
如果外部输入u（t）0，初始条件x0为任意，且由x0引起的零输入响应为
x（t）（t,t0）x0
满足
lim（t,t0）x00
t
则称系统是内部稳定的，或称为系统是渐近稳定的。
说明：
线性定常系统的渐近稳定与经典控制理论中的稳定性一致。
例6.1.２】已知受控系统状态空间表达式为
062
x1061x12u，
试分析系统的内部稳定性。
解：
该系统为线性定常系统，其特征方程为：
IA
（1）6
（2）（3）0
于是系统的特征值为12，23，故系统不是内部稳定（渐近稳定）的。
三、内部稳定性与外部稳定性的关系
１、若系统是内部稳定（渐近稳定）的，则一定是外部稳定（BIBO稳定）的。
2、若系统是外部稳定（BIBO稳定）的，且又是可控可观测的，则系统是内部稳定（渐近稳定）的。
此时内部稳定和外部稳定是等价的。
§6-2李雅普诺夫稳定性的基本概念
一、自治系统
没有外界输入作用的系统叫自治系统。
自治系统可用如下的显含时间t的状态方程来描述
xf（x,t），x（t0）x0，tt0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6-1）
其中x为n维状态向量。
f（x,t）为线性或非线性、定常或时变的n维向量函数。
假定方程的解为
x（t;x0,t0），式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻，那么初始条件x0必满足x（t0;x0,t0）x0。
如果系统为线性系统，则（6-1）方程中的f（x,t）为x的线性向量函数，或按习惯表示为：
xA（t）x，x（t0）x0，tt0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6-2）
二、平衡状态
设控制系统的齐次状态方程为：
xf（x,t），x（t0）x0，tt0
对于所有t，如果存在某个状态xe，满足：
xef（xe,t）0
则称xe为系统的一个平衡点或平衡状态。
平衡状态的各分量相对时间不再发生变化。
若已知系统状态方程，令x0所求得的解x，便是平衡状态。
在大多数情况下，xe0（状态空间原点）为系统的一个平衡状态。
当然，系统也可以有非零平衡状态。
如果系统的平衡状态在状态空间中表现为彼此分隔的孤立点，则称其为孤立平衡状态。
对于孤立平衡状态，总是可以通过移动坐标系而将其转换为状态空间的原点，所以在下面的讨论中，假定原点即xe0为平衡状态。
所谓系统运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，也即偏离平衡状态的受扰运动，能否只依靠系统内部的结构因素而返回到平衡状态，或者限制在平衡状态的附近。
线性定常系统xAx，其平衡状态满足Axe0，只要A非奇异，系统只有唯一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态；当A为奇异矩阵时，Axe0有无数解，也就是系统有无数个平衡状态。
对于非线性系统，f（xe,t）0的解可能有多个，由系统状态方程决定。
、李雅普诺夫意义下稳定
设系统初始状态x0位于以平衡状态xe为球心、半径为的闭球域S（）内，即
x0xe（,t0）tt0
若能使系统方程的解x（t;x0,t0）在t的过程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径为的闭球域S（）内，即
x（t;x0,t0）xett0
则称该xe是稳定的，通常称xe为李雅普诺夫意义下稳定的平衡状态。
以二维系统为例，上述定义的平面几何表示如图6-1所示。
之间的距离的尺度，其数学表达式为
在上述稳定性的定义中，如果只依赖于而和初始时刻t0的选取无关，则称平衡状态xe是一致稳定的。
对于定常系统，xe的稳定等价于一致稳定。
但对于时变系统，xe的稳定并不意味着其为一致
稳定。
要注意到，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出
一条封闭曲线，但只要不超过S（），则认为稳定，这同经典控制理论中线性定常系统稳定性的定义是有差异的。
四、渐近稳定
设xe是系统xf（x,t），x（t0）x0，tt0的一个孤立平衡状态，如果
1）xe是李雅普诺夫意义下稳定的；
则称此平衡状态是渐近稳定的。
与t0无
实际上，渐近稳定即为工程意义下的稳定，也就是经典控制理论中所讨论的稳定性。
当
xe是大范围渐近稳定的。
这是因为线性系统稳定性
，其总是有限的，故
致渐近稳定。
五、大范围（全局）渐近稳定
当初始条件扩展到整个状态空间，且具有渐近稳定性时，称此平衡状态
对于严格线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围渐近稳定性，
与初始条件的大小无关。
一般非线性系统的稳定性与初始条件的大小密切相关
通常只能在小范围内渐近稳定。
当与t0无关时，称平衡状态xe是大范围
六、不稳定
不管把域S（）取得多么小，也不管把域S（）取得如何的大，只要在S（）内存在一个非零初始状态x0，使得有x0出发的运动轨迹超出域S（）以外，则称平衡状态xe是不稳定的。
线性系统的平衡状态不稳定，表征系统不稳定。
非线性系统的平衡状态不稳定，只说明存在局部发散的轨迹，至于是否趋于无穷远，要看S（）域外是否存在其它平衡状态，若存在，如有极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下稳定的。
下面介绍李雅普诺夫理论中判断系统稳定性的方法。
§6-3李雅普诺夫稳定性判别方法
一、李雅普诺夫第一法（间接法）
这是利用状态方程解的特性来判别系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变以及非线性函数可线性化的情况。
由于本章主要研究线性定常系统，所以在此仅介绍线性定常系统的特征值判据。
线性定常系统的特征值判据：
对于线性定常系统xAx，x（0）x0，t0有
（1）系统的平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的充分必要条件是，A的所有特征值均具有非正
（负或零）实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。
（2）系统的惟一平衡状态xe0是渐近稳定的充分必要条件是，A的所有特征值均具有负实部。
二、李雅普诺夫第二法（直接法）根据古典力学中的振动现象，若系统能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早回到达平衡状态，但要找到实际系统的能量函数表达式并非易事。
李雅普诺夫提出，可虚构一个能量函数（后来被称为李雅普诺夫函数），一般它与x1,x2,,xn及t有关，记为V（x,t）。
若不显含t，则记为V（x）。
它是一个标量函数，考虑到能量函数总是大于零，故为正定函数。
能量衰减特性用V（x,t）或V（x）表示。
李雅普诺夫第二法利用V及V的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求出系统状态方程的解，故称直接法。
用此方法解决了一些用其它稳定性判据难以解决的非线性系统的稳定性问题，遗憾的是对一般非线性系统仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法。
对于线性系统，通常用二次型函数xTPx作为李雅普诺夫函数。
1、标量函数V（x）符号性质的几个定义
（1）正定性
标量函数V（x）在域s中对所有非零状态（x0）有V（x）0且V（0）0，则称V（x）在域s内
22
正定。
如V（x）x1x2是正定的。
（2）负定性
标量函数V（x）在域s中对所有非零状态（x0）有V（x）0且V（0）0，则称V（x）在域s内
负定。
如V（x）（x12x22）是正定的。
（3）正半定性
V（0）0，且标量函数V（x）在域s内某些非零状态处有V（x）0，而在其它非零状态处有
V（x）0且，则称V（x）在域s内正半定。
如V（x）（x12x2）2，当x12x2时有V（x）0；当
x12x2时有V（x）0，故V（x）为正半定。
（4）负半定性
V（0）0，且标量函数V（x）在域s内某些状态处有V（x）0，而在其它状态处有V（x）0且，
则称V（x）在域s内负半定。
如V（x）（x12x2）2是负半定的。
（5）不定性
标量函数V（x）在域s内可正可负，则称V（x）不定。
如V（x）x1x2是不定的。
2、标量函数V（x）取二次型时的符号
式中P为对称矩阵，有pijpji。
显然满足V（0）0。
当P阵的每一个元都为实数时，称作实二次型。
实二次型V（x）是正定的充要条件是矩阵
P的各顺序主子行列式均大于零（赛尔维斯特准则），即
p11
p12
0，⋯，
p11
p1n
p21
p22
pn1
pnn
0
p110，
则V（x）正定，且称P为正定矩阵。
当矩阵P的各顺序主子行列式负、正相间时，即
p11
p12
0，⋯
，
（1）n
p11
p1n
p21
p22
pn1
pnn
0
p110，
则V（x）负定，且称P为负定矩阵。
况的，V（x）为不定。
例6.3.1】证明下列的二次型是正定的
222
V（x）10x14x2x32x1x22x2x34x1x3
证明：
上式用矩阵形式表示为
1012x1
V（x）xTPxx1x2x3141x2
211x3
所以，V（x）是正定的。
3、李雅普诺夫第二法
2）V（x）是
所以该系统
如果存在一个标量函数V（x），它有连续的一阶偏导数，而且满足：
（1）V（x）是正定的；负定的，则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
例6.3.2】设系统的状态方程是
x1x2x1（x12x22）x2x1x2（x12x22）
试分析系统在原点处的平衡状态是否为渐近稳定的。
解：
令x10及x20，解得x10，x20，故原点为平衡状态，且只有一个平衡状态。
222设V（x）x12x22，则V（x）2x1x12x2x22（x1x2）
显然，对于x0存在V（x）0以及V（0）0，故V（x）是负定的。
又由于V（x）是正定的，
在原点处的平衡状态是渐进稳定的。
因为只有一个平衡状态，故该系统是渐进稳定的。
例6.3.4】设系统的状态方程是
x101x1
11
x211x2
试分析系统在原点处的平衡状态是否为渐近稳定的。
解：
这个系统的平衡点是x1x20。
（1）先猜想一个能代表系统能量的正定函数
V（x）2x12x22
则：
V（x）4x1x12x2x2由原状态方程知：
x1x2，x2x1x2，代入上式得
V（x）2x1x22x22它是不定的，因而无法判断系统的稳定性。
（2）重新构造正定函数V（x）：
22V（x）x12x22
2
因此：
V（x）2x1x12x2x22x22
它是负半定的。
但是因为V（x）不恒为零，所以可知该系统是渐近稳定的。
V（x）是李亚普诺夫
函数。
（3）再取函数
V（x）1（x1x2）22x12x222因此：
V（x）（x12x22）是负定的。
且：
x，V（x），故是大范围渐近稳定。
从上述例子可以看出，找到一个系统的李亚普诺夫函数证明系统是稳定时，则系统必定是稳定的；反
之，如果用李亚普诺夫第二法不能判断系统是稳定时，并不能得出系统是不稳定的。
4.3线性定常系统的稳定性分析
线性定常系统可以应用各种方法，诸如劳斯—霍尔维茨，奈奎斯特法来判断系统的稳定性。
李亚普诺夫直接法也提供了一种稳定性判据的方法。
在上一节的例4-3中，我们用猜想和试探、验证的方法来找李亚普诺夫函数，这是很费时的，对于高阶的系统尤其费时，有时甚至是困难的。
在本节中，采用二次型函数来判定系统稳定性，这种方法较为简捷，并且还可以利用这种方法作为基础来解参数最优问题以及某些控制系统的设计问题。
设线性定常系统为
式中x是n维状态向量。
如果采用二次型函数作为李亚普诺夫函数，即
4-19）
（4-20）
（4-21）
（4-22）
（4-23）
VxxTPx
式中P是正定的实对称矩阵。
那么对上式求导得
VxxTPxxTPx
将式（4-18）代入（4-20）式得
VxxTPAxxTATPxxTPAATPx令QPAATP代入式（4-21）得
VxxTQx
从上式可以看出，为了判定V（x）是否负定，只需要判定Q是否正定。
因此，判定线性定常系统的稳定性可如下进行：
选定一个正定实对称矩阵P，按式（4-22）计算Q，如果Q是正定的，则式（4-19）所表达的李亚普诺夫函数证明系统是稳定的。
实际应用这个方法时，常不是先假定P，而是先假设一个正定矩阵Q,例如取Q=I,再按式（4-22）计算P，应用赛尔维斯特法则检查P是否正定。
如果P是正定的，则系统是渐进稳定的。
这样做法，有
时要方便得多。
如果，VxxTQx沿任意一条轨迹不恒等于零，那么Q可取正半定的，
[例4-4]设系统的状态方程为
x1010x1
x2021x2
x3k01x3
求使系统稳定的K值。
[解]假设
000
Q000
001
由式（4-23）得
000x1
Vxx1,x2,x3000x2x23
001x3
上式中Vx不恒为零，所以这样选取Q是合适的。
按（4-22）式计算P:
p11p12p130
p21p22p230
p31p32p33K
1
0
0
1K
2
1
1
2
0
0
1
0
1
1
p11p12p13000
p21p22p23000
p31p32p33001
解出上式得
根据赛尔维斯法则，如果P是正定的，需使
12-2K0K0
所以0K6
作业：
p82:
4-2课堂练习：
4-1判定下列二次型函数的正定性
（1）
Q
2
x1
3x22
2
11x32x1x24x2x32x1x3
Q（x1
x2
x3）x1
（x13x22x3）x2（x12x2
1
1
1
P
1
3
2
1
2
11
11x3）x3，
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