一元二次方程的概念及其解法.docx

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一元二次方程的概念及其解法

一元二次方程的概念及其解法

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一元二次方程的概念及解法和讲义

知识点一:

一元二次方程的概念

（１）定义：

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是２，这样的整式方程就是一元二次方程。

（２）一般表达式:

（３）四个特点:

（1）只含有一个未知数;

（２）且未知数次数最高次数是2；

（3）是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理．如果能整理为

的形式,则这个方程就为一元二次方程.

（4）将方程化为一般形式：

时,应满足（a≠0）

例1：

下列方程①ｘ2＋１=0；②2y（3y-5）=6y2+4;③aｘ2+bx+c＝0;④

其中是一元二次方程的有　　。

变式：

方程:

①

②

③

④

中一元二次程的是　。

例２:

一元二次方程

化为一般形式为：

　　　　　,二次项系数为:

　,一次项系数为：

　　　，常数项为:

　。

变式1：

一元二次方程3（ｘ—2）2＝5x-1的一般形式是　　　　,二次项系数是　　　，一次项系数是　　　,常数项是　　。

变式2:

有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1,一次项的系数为3,常数项为-6,请你写出它的一般形式＿____＿______＿_。

例3:

在关于x的方程（m-5）xm-7+（m＋3）x-３=0中:

当m=＿____时,它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式1：

已知关于ｘ的方程（ｍ+1）x2-mx+１=0,它是（　）

A.一元二次方程　　　　　　B．一元一次方程

C．一元一次方程或一元二次方程　D．以上答案都不对

变式2:

当m时，关于x的方程

是一元二次方程

知识点二：

一元二次方程的解

（1）概念:

使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

（2）应用：

利用根的概念求代数式的值；

【典型例题】

1.已知

是一元二次方程

的一个解,则

的值是（）

Ａ．

ﻩB．

C.0ﻩﻩD．０或

2.已知

的值为２,则

的值为　　。

3.若x=a是方程x2-x-2015＝0的根,则代数式2a2-２a-20１５值为　。

4.　关于x的一元二次方程

的一个根为0,则ａ的值为　。

5.已知关于

的一元二次方程

的系数满足

则此方程必有一根为　　　。

【举一反三】

1.已知关于

的方程

的一个根为

，则实数

的值为（　　）

Ａ.1ﻩﻩB．

ﻩＣ.2Ｄ.

2.若m2-5m＋２=0，则２m２-１0ｍ+２０16=　。

３.　若关于ｘ的方程（ａ+3）ｘ2-２x+a2－9=０有一个根为0，则a＝　　。

４.一元二次方程ax2+bx+ｃ=０，若４ａ-２b＋c=０，则它的一个根是　　。

5.若x=1是关于ｘ的一元二次方程

一个根，求代数式２０07（ａ+b＋ｃ）的值

知识点三：

解一元二次方程　

一元二次方程的解法:

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.

一:

直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如

的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，

是n的平方根，当

时,

当n<0时，方程没有实数根。

用直接开平方法解一元二次方程的理论根据是平方根的定义，达到降次转化之目的。

（1）形如

的方程的解是x＝

。

当p=0时,

０

（2）形如

的方程的解为x=

。

形如

的方程可先化成

的形式，再用直接开平方法解。

【例题讲解】

1、方程（x-２）2＝9的解是（　）

A.x１=5,x2=-1　B.ｘ1=-5，x2=1Ｃ．x１=11,x２=-7　D．ｘ1＝-１1，x2=7

２、若方程x2=m的解是有理数,则实数m不能取下列四个数中的（）

Ａ．1　　　　　B.4　　　Ｃ．

　D．

3、对于形如

的一元二次方程，能直接开平方的条件是__＿__＿＿_＿_＿＿＿＿＿____。

4、方程

的根是_＿___＿_＿________________。

5、用直接开平方法解下列方程：

（1）

（2）

　（3）

　　（4）

【同步训练】

1、用直接开平方法解方程（x-3）2=8，得方程的根为（）

A．x=３+2

　　　　　　　　　　B.ｘ1=3＋2

，x２=3-2

C.x=3-2

　　　D.x1=３+２

ｘ2=３－2

２、方程

（x－3）2=0的根是（）

A．x＝3　　B.x=0　　C.x１=x２=3　　D.x1＝3，x2=-3

3、方程

的根是____＿_____＿_＿＿＿＿___＿____。

4、方程

的根是___＿＿＿____＿_＿_＿＿_____。

5、用直接开平方法解下列方程:

（1）

　　　（２）

（3）

　　　　　（4）

二:

配方法

配方法：

将形如

的一类方程,化为

形式求解的方法叫做配方法。

一般步骤：

（1）把常数项移到方程右边; 

（２）方程两边同除以二次项系数,化二次项系数为1;

（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方;

（4）原方程变形为

的形式；

5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解.

【例题讲解】

1、用配方法解关于x的一元二次方程x2－2x－3=0，配方后的方程可以是（　　）

A．（x-1）2=4B.（ｘ+１）2=4　C.（ｘ-1）2=1６　D.（ｘ+１）２=16

2、若一元二次方程式x2-2ｘ－３599=0的两根为a、b，且a＞b，则2ａ－b之值为何?

（）

Ａ.－5７　　　B．6３　　C.179　　　D.１81

３、用适当的数填空：

①、ｘ２+６x+    =（x+   　）2②、x２－５x+   =（x-   ）2；

③、ｘ2+x+     =（x+   　）2　④、x2-9x+    =（x－   ）2

４、将二次三项式2x２-3x-5进行配方,其结果为___＿＿_＿_＿.

5、已知4x２-ax+1可变为（２x-b）2的形式，则ａb=_＿____＿．

6、将x2－2x-４=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_＿＿　__＿＿,所以方程的根为___＿_＿__＿.

7、若x2+6x+m2是一个完全平方式，则ｍ的值是　　

８、用配方法解下列方程：

（１）

　　　（２）

　　　（3）

（4）

　　　　　（5）

　　　　（6）

９、用配方法求解下列问题

（1）求2x2-7x+2的最小值；　　　

（2）求-３x２＋5ｘ+1的最大值。

【举一反三】

1．把方程x+3=４x配方,得（　　）

Ａ.（x－２）2＝7　　B．（ｘ+2）2=２1　C.（x-２）2=1　　Ｄ．（x＋2）2＝2

２.用配方法解方程x2＋４x=10的根为（）

A.２±

B.-2±

　C．-２+

D．2-

3.用配方法解下列一元二次方程

（１）

　　　　　　　　（２）

（３）

　　　　　　　　　　（4）

三：

公式法

（1）公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

由配方法得

，化简：

一元二次方程

的求根公式：

公式法的步骤：

就把一元二次方程的各系数分别代入,这里a为一次项系数，b为二次项系数,ｃ为常数项。

【典型例题】

例１：

一般地,对于一元二次方程aｘ２＋bｘ+c=０（ａ≠0），当b2－4ac≥0时,它的根是＿__＿＿，当ｂ－4ac＜0时,方程__＿__＿_＿_.

例2:

用公式法解方程x2=-8x－１５,其中b2－４ac＝___＿__＿，ｘ1=＿__＿_,x2=________．ﻫ例3：

一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解,则ｍ=（）.

A．0　B．1　　C．-1　　Ｄ．±1

例4:

不解方程,判断所给方程:

①ｘ２+3x+7=０；②x２+4=０；③x2＋x-1=0中,有实数根的方程有（　）

A.０个Ｂ．１个C．2个　D.３个

例5:

方程（x+1）（x-3）=5的解是（　）

A.x1=1,x２=－3B.ｘ1=4，ｘ2=-2Ｃ.x1＝-1，x2=3Ｄ．ｘ1=-4,x２=2

例6：

一元二次方程

的根是（　　）

A.

　　　Ｂ.　

Ｃ．

　　　　　Ｄ.

例７：

一元二次方程ｘ２-3x-１＝0的解是　　　。

例８:

用公式法解下列方

（1）

;　（２）

;　（3）

;

例9:

若x2－xy－3y２＝0（y>0）,求

的值.

【举一反三】

1.用公式法解方程x2＝-8x-15,其中b2-4ac=__＿____，x1=＿__＿_，x2＝__＿＿_＿＿_．

２.　用公式法解方程4y2=１2ｙ+3,得到（　　）

A．y＝

　Ｂ．y=

　　C．y=

　D.y=

3.不解方程,判断所给方程：

①x2+3x+7=0；②x2＋４=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（　）

Ａ．0个　　B.1个　　　　　C.2个　D.3个

４.　用公式法解方程

（1）x２+1５x＝-３x;  　

（2）x2＋x-６=0；  　（３）３ｘ2-6x-２=0;　（4）４x2-6ｘ=0

四：

因式分解法

因式分解法的步骤是：

（1）将方程右边化为0；

（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积:

（3）令每个因式等于0，得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.

例题讲解:

（1）x2+1２ｘ=０;ﻩ　　　（２）4x2-1=0;　　　（3）

;

练习巩固:

（2）x2-4x-2１=0;　　　（３）（ｘ-１）（ｘ＋3）＝1２；（3）3x2＋2x－1＝０；

（4）１０x2－ｘ-3=0；　　　　　　（5）（x-１）２－4（x－１）-21＝0.

练习巩固

用适当方法解下列方程

（1）ｘ2－4x+3=０；　　　　　（２）（x－２）2＝２5６；　（3）x2-３x+1=0；　　

（4）ｘ２-２x-３=０；　　　（5）　（２ｔ+3）2＝3（2ｔ＋３）；（6）（3-y）2＋y2=9;

（7）７-2x２=-15　（８）

　（9）２x２－8x＝7

（10）

x２－（5

+1）x＋

=0；　（１１）（x＋5）２-2（x+５）－8=０.

知识点四：

判定根的情况（韦达定理）

根的判别式及应用（Δ=

）

判定一元二次方程根的情况:

Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；

Δ＝０，方程有两个相等的实数根；

Δ<０,方程没有实数根.

确定字母的值或取值范围：

应用根的判别式,其前提为二次项系数不为0.

韦达定理:

实系数一元二次方程ax2＋ｂx+c=0（a≠0）存在实数解ｘ１,x2,那么x１＋x2=-

x1x2=

.这是在初中时韦达定理的定义,但在高