类型一二次函数与线段问题解析版.docx

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类型一二次函数与线段问题解析版

类型一二次函数与线段问题

例1、如图1-1，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P

解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A与点B对称，连结BC，那么在

△PBC中，PB＋PC总是大于BC的．如图1-3，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因

此PA＋PC最小，△PAC的周长也最小．

点A′，作点B关于x轴对称的点B′，连结A′B′与x轴交于点M，与抛物线的对称轴交于点N．在Rt△AA′B′中，AA′＝8，AB′＝6，所以A′B′＝10，即点G走过的最短路程为10．根据

出相应的点P的坐标．

解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PA－PB|的最小值与最大值．

由抛物线的解析式可以得到A（0,2），B（3,6）．设P（x,0）．

绝对值|PA－PB|的最小值当然是0了，此时PA＝PB，点P在AB的垂直平分线上（如图3-2）．解方程x2＋22＝（x－3）2＋62，得x41．此时P（41,0）．

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在△PAB中，根据两边之差小于第三边，那么|PA－PB|总是小于AB了．如图3-3，当

点P在BA的延长线上时，|PA－PB|取得最大值，最大值AB＝5．此时P（3,0）．2

例4、如图4-1，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、

BD上的任意一点，求PK＋QK的最小值．

图4-1

【解析】如图4-2，点Q关于直线BD的对称点为Q′，在△KPQ′中，PK＋QK总是大于PQ′的．如图4-3，当点K落在PQ′上时，PK＋QK的最小值为PQ′．如图4-4，PQ′的最小值为Q′H，Q′H就是菱形ABCD的高，Q′H＝3．

这道题目应用了两个典型的最值结论：

两点之间，线段最短；垂线段最短．

图4-2图4-3图4-4

例5、如图5-1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，

P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．

图5-1

【解析】E、F、P三个点都不确定，怎么办？

BE＝1，AF＝2是确定的，那么我们可以

求PB＋PA－3的最小值，先求PB＋PA的最小值（如图5-2）．

如图5-3，PB＋PA的最小值为AB′，AB′＝6．所以PE＋PF的最小值等于3．

例6、如图6-1，已知A（0,2）、B（6,4）、E（a,0）、F（a＋1,0），求a为何值时，四边形ABEF

周长最小？

请说明理由．

ME．

x轴的交点E，满足AE＋ME最小．

解析】在四边形ABEF中，AB、EF为定值，求AE＋BF的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点．

如图6-2，将线段BF向左平移两个单位，得到线段

如图6-3，作点A关于x轴的对称点A′，MA′与

C分别在x轴和y

例7、如图7-1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1．点A、

轴的正半轴上，当点A在x轴上运动时，点C也随之在y轴上运动．在整个运动过程中，

求点B到原点的最大距离．

【解析】如果把OB放在某一个三角形中，这个三角形的另外两条边的大小是确定的，那么根据两边之和大于第三边，可知第三边OB的最大值就是另两边的和．

显然△OBC是不符合条件的，因为OC边的大小不确定．

如图7-2，如果选AC的中点D，那么BD、OD都是定值，OD＝1，BD＝2．

在△OBD中，总是有OB

如图7-3，当点D落在OB上时，OB最大，最大值为21．

例8、如图8-1，已知A（－2,0）、B（4,0）、D（5,33）．设F为线段BD上一点（不含端点），连结AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

图8-1

解析】点B（4,0）、D（5,33）的坐标隐含了∠DBA＝30°，不由得让我们联想到30

角所对的直角边等于斜边的一半．

如果把动点M在两条线段上的速度统一起来，问题就转化了．

如图8-2，在Rt△DEF中，FD＝2FE．如果点M沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D时，那么点M沿线段FE以每秒1个单位的速度正好运动到点E．因此当AF＋FE最小时，点M用时最少．

如图8-3，当AE⊥DE时，AF＋FE最小，此时F（2,23）．

连结AE，过点E作AE的垂线交AB边于点F，求AF的最小值．

图9-1

解析】如图9-2，设AF的中点为D，那么DA＝DE＝DF．所以AF的最小值取决于

DE的最小值．

如图9-3，当DE⊥BC时，DE最小．设DA＝DE＝m，此时DB＝5m．

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51515由AB＝DA＋DB，得mm10．解得m．此时AF＝2m．

【解析】点P不在一条笔直的河流上，没有办法套用“牛喝水”的模型．设P（x,1x2），那么PD2＝x2（1x21）2（1x21）2．所以PD＝1x21．

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如图10-2，1x21的几何意义可以理解为抛物线上的动点P到直线y＝－1的距离

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在中考数学

PH．所以PD＝PH．因此PD＋PE就转化为PH＋PE．如图10-3，当P、E、H三点共线，即PH⊥x轴时，PH＋PE的最小值为3．高中数学会学到，抛物线是到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合，

压轴题里,如果要用到这个性质，最好铺垫一个小题，求证PD＝PH.

图10-2