【变式1】（2019·江苏南京师范大学附属中学高三模拟）某静电除尘设备集尘板的内壁带正电，设备中心位置有一个带负电的放电极，它们之间的电场线分布如图所示，虚线为某带电烟尘颗粒（重力不计）的运动轨迹，A、B是轨迹上的两点，C点与B点关于放电极对称，下列说法正确的是（ ）
A．A点电势低于B点电势B．A点电场强度小于C点电场强度
C．烟尘颗粒在A点的动能小于在B点的动能D．烟尘颗粒在A点的电势能小于在B点的电势能
【变式2】（多选）如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是
一个电子只在静电力作用下的运动轨迹．设电子在A、B两点的加速度大小分别为aA、aB，电势能分别为
EpA、EpB.下列说法正确的是（ ）
A．电子一定从A向B运动B．若aA＞aB，则Q靠近M端且为正电荷
C．无论Q为正电荷还是负电荷一定有EpA＜EpBD．B点电势可能高于A点电势
热点题型二 电势差与电场强度的关系
1．公式E＝
的三点注意
（1）只适用于匀强电场．
（2）d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离．
（3）电场强度的方向是电势降低最快的方向．
2.电场线、电势、电场强度的关系
（1）电场线与电场强度的关系：
电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向．
（2）电场线与等势面的关系：
电场线与等势面垂直，并从电势较高的等势面指向电势较低的等势面．
（3）电场强度大小与电势无直接关系：
零电势可人为选取，电场强度的大小由电场本身决定，故电场强度大的地方，电势不一定高．
3．E＝
在非匀强电场中的三点妙用
判断电势差大小及电势高低
距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低
判断场强变化
φ－x图象的斜率k＝
＝
＝Ex，斜率的大小表示场强的大小，正负表示场强的方向
判断场强大小
等差等势面越密，场强越大
4.解题思路
在匀强电场中由公式U＝Ed得出的“一式二结论”
（1）“一式”：
E＝
＝
，其中d是沿电场线方向上的距离．
（2）“二结论”
结论1：
匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝
，如图甲所示．
结论2：
匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD（或φA－φB＝φC－φD），如图乙所示．
【例2】（2019·山东潍坊模拟）如图所示，匀强电场的方向平行于xOy坐标系平面，其中坐标原点O处的电势为2V，a点的坐标为（0cm，4cm），电势为8V，b点的坐标为（3cm，0cm），电势为8V，则电场强度的大小为（ ）
A．250V/mB．200V/mC．150V/mD．120V/m
【变式1】（2017·高考全国卷Ⅲ）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，
三点的电势分别为10V、17V、26V．下列说法正确的是（ ）
A．电场强度的大小为2.5V/cmB．坐标原点处的电势为1V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7eVD．电子从b点运动到c点，电场力做功为9eV
【变式2】（2018·高考全国卷Ⅱ）如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面
平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点．一电荷量为q（q＞0）的粒子从a点移动到b点，其电
势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2.下列说法正确的是（ ）
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
U＝Ed在非匀强电场中的应用
【例3】．如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点．已知A点的电势为φA＝30V，B点的电势为φB＝－20V，则下列说法正确的是（ ）
A．C点的电势φC＝5VB．C点的电势φC>5V
C．C点的电势φC<5VD．负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能
热点题型三 电场线、等势线（面）及带电粒子的运动轨迹问题
1．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线，已知等势线也可以画出电场线．
2．几种典型电场的等势线（面）
电场
等势线（面）
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
连线的中垂线上电势处处为零
等量同种（正）点电荷的电场
连线上，中点的电势最低；中垂线上，中点的电势最高
3.带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
（1）从轨迹的弯曲方向判断受力方向（轨迹向合外力方向弯曲），从而分析电场方向或电荷的正负．
（2）结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等．
（3）根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况．
带电粒子运动轨迹的分析
（1）判断速度方向：
带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向．
（2）判断电场力（或场强）的方向：
仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹的凹侧，再根据粒子的正、负判断场强的方向．
（3）判断电场力做功的正、负及电势能的增减：
若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．
【例4】（2019·浙江名校协作体）阴极射线示波管的聚焦电场是由电极A1、A2形成的实线为电场线，虚线为
等势线，Z轴为该电场的中心轴线，P、Q、R为一个从左侧进入聚焦电场的电子运动轨迹上的三点，则（ ）
A．电极A1的电势低于电极A2的电势B．电场中Q点的电场强度小于R点的电场强度
C．电子在P点处的动能大于在Q点处的动能D．电子从P至R的运动过程中，电场力对它一直做正功
【变式】如图，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面（纸面）内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称．忽略空气阻力．由此可知（ ）
A．Q点的电势比P点高B．油滴在Q点的动能比它在P点的大
C．油滴在Q点的电势能比它在P点的大D．油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小
等势面的综合应用
【例5】．（多选）（2018·高考全国卷Ⅰ）图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2V．一电子经过a时的动能为10eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6eV.下列说法正确的是（ ）
A．平面c上的电势为零B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4eVD．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
【变式】（2019·湖南长沙模拟）如图所示，M、N、P三点位于直角三角形的三个顶点上，∠PMN＝30°，∠MNP＝60°，一负点电荷位于三角形的平面上，已知M点和N点的电势相等，P点的电势与MN中点F的电势相等，则下列说法正确的是（ ）
A．M点和P点的电场强度相等B．N点和P点的电场强度相等
C．同一正电荷在M点时的电势能大于在P点时的电势能
D．同一正电荷在N点时的电势能小于在P点时的电势能
热点题型四 静电场的图象问题
几种常见图象的特点及规律
vt图象
根据vt图象中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方向、电势高低及电势能变化
φx图象
（1）电场强度的大小等于φx图线的斜率大小，电场强度为零处，φx图线存在极值，其切线的斜率为零；
（2）在φx图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向；
（3）在φx图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断
Ex图象
（1）反映了电场强度随位移变化的规律；
（2）E＞0表示场强沿x轴正方向，E＜0表示场强沿x轴负方向；
（3）图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定
Epx图象
（1）反映了电势能随位移变化的规律；
（2）图线的切线斜率大小等于电场力大小；
（3）进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况
v－t图象
【例6】．（多选）（2019·安徽黄山模拟）光滑绝缘水平面上固定两个等量点电荷，它们连线的中垂线上有A、B、C三点，如图甲所示．一质量m＝1g的带正电小物块由A点静止释放，并以此时为计时起点，沿光滑水平面经过B、C两点（图中未画出），其运动过程的v－t图象如图乙所示，其中图线在B点位置时斜率最大，根据图线可以确定（ ）
A．中垂线上B点电场强度最大
B．A、B两点之间的位移大小
C．B点是连线中点，C与A点必在连线两侧
D．UBC>UAB
φ－x图象
【例7】（2019·福建泉州模拟）在坐标－x0到x0之间有一静电场，x轴上各点的电势φ随坐标x的变化关系如图所示，一电荷量为e的质子从－x0处以一定初动能仅在电场力作用下沿x轴正向穿过该电场区域．则该质子（ ）
A．在－x0～0区间一直做加速运动B．在0～x0区间受到的电场力一直减小
C．在－x0～0区间电势能一直减小D．在－x0～0区间电势能一直增加
【变式】在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示．下列说法正确的有（ ）
A．q1和q2带有异种电荷B．x1处的电场强度为零
C．负电荷从x1移到x2，电势能减小D．负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大
E－x图象
【例8】．（多选）（2019·山东潍坊实验中学模拟）某电场中沿x轴上各点的电场强度大小变化如图所示．场强方向与x轴平行，规定沿x轴正方向为正，一负点电荷从坐标原点O以一定的初速度沿x轴负方向运动，到达x1位置时速度第一次为零，到达x2位置时速度第二次为零，不计点电荷的重力．下列说法正确的是（ ）
A．点电荷从x1运动到x2的过程中，速度先保持不变，然后均匀增大再均匀减小
B．点电荷从O沿x轴正方向运动到x2的过程中，加速度先均匀增大再均匀减小
C．电势差UOx1＜UOx2
D．在整个运动过程中，点电荷在x1、x2位置时的电势能最大
【变式】（2019·石家庄模拟）如图所示，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q的均匀带电球体，以球心为坐标
原点，沿半径方向建立x轴．理论分析表明，x轴上各点的场强随x变化关系如图乙所示，则（ ）
A．x2处场强大小为
B．球内部的电场为匀强电场
C．x1、x2两点处的电势相同D．假设将试探电荷沿x轴移动，则从x1移到R处和从R移到x2处电场力做功相同
Ep－x图象
【例9】.（2019·河北张家口一模）一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是（ ）
A．x1处电场强度最小，但不为零
B．粒子在0～x2段做匀变速运动，x2～x3段做匀速直线运动
C．在0、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ3>φ2＝φ0>φ1
D．x2～x3段的电场强度大小、方向均不变
【变式】如图甲所示，在某电场中建立x坐标轴，A、B为x轴上的两点，xA、xB分别为A、B两点在x轴上的坐标值．一电子仅在电场力作用下沿x轴运动，该电子的电势能Ep随其坐标x变化的关系如图乙所示，EpA和EpB分别表示电子在A、B两点时的电势能．则下列说法中正确的是（ ）
A．该电场可能是孤立的点电荷形成的电场B．A点的电场强度小于B点的电场强度
C．电子由A点运动到B点的过程中电场力对其所做的功W＝EpA－EpB
D．电子在A点的动能大于在B点的动能
【题型演练】
1．（2019·黑龙江大庆模拟）关于静电场，下列说法正确的是（ ）
A．将负电荷由电势低的地方移到电势高的地方，电势能一定增加
B．无论是正电荷还是负电荷，从电场中某点移到无穷远处时，静电力做的正功越多，电荷在该点的电势能越大
C．在同一个等势面上的各点，场强的大小必然是相等的
D．电势降低的方向就是电场强度的方向
2.一个电子只在电场力作用下从a点运动到b点的轨迹如图中虚线所示，图中平行实线可能是电场线也可能是等势线，则以下说法正确的是（ ）
A．无论图中的实线是电场线还是等势线，a点的电场强度都比b点的电场强度小
B．无论图中的实线是电场线还是等势线，a点的电势都比b点的电势高
C．无论图中的实线是电场线还是等势线，电子在a点的电势能都比在b点的电势能小
D．如果图中的实线是等势线，电子在a点的速率一定大于在b点的速率
3．（2018·高考天津卷）如图所示，实线表示某电场的电场线（方向未标出），虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN.下列判断正确的是（ ）
A．vM＜vN，aM＜aN B．vM＜vN，φM＜φN
C．φM＜φN，EpM＜EpND．aM＜aN，EpM＜EpN
4.（2019·湖北省重点中学联考）如图所示，水平面内有A、B、C、D、E、F六个点，它们均匀分布在半径为
R＝2cm的同一圆周上，空间有一方向与圆平面平行的匀强电场．已知A、C、E三点的电势分别为φA＝（2－
）V、φC＝2V、φE＝（2＋
）V，下列判断正确的是（ ）
A．电场强度的方向由A指向DB．电场强度的大小为1V/m
C．该圆周上的点电势最高为4VD．将电子从D点沿DEF移到F点，静电力做正功
5.图中虚线是某电场的一组等势面．两个带电粒子从P点沿等势面的切线方向射入电场，粒子仅受电场力
作用，运动轨迹如实线所示，a、b是实线与虚线的交点．下列说法正确的是（ ）
A．两粒子的电性相同B．a点的场强小于b点的场强
C．a点的电势高于b点的电势D．与P点相比两个粒子的电势能均增大
6.如图所示，a、b、c、d是某匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点，ab＝cd＝L，ad＝bc＝2L，电场线与矩形所在的平面平行．已知a点电势为20V，b点电势为24V，d点电势为12V．一个质子从b点以速度v0射入此电场，入射方向与bc成45°角，一段时间后经过c点．不计质子的重力．下列判断正确的是（ ）
A．c点电势高于a点电势B．场强的方向由b指向d
C．质子从b运动到c，电场力做功为8eVD．质子从b运动到c，电场力做功为4eV
7.如图所示，一质量为m、电荷量为q（q>0）的液滴，在场强大小为
、方向水平向右的匀强电场中运动，
运动轨迹在竖直平面内．A、B为其运动轨迹上的两点，已知该液滴在A点的速度大小为v0，方向与电场方
向的夹角为60°；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°.求A、B两点间的电势差．
8．在光滑绝缘的水平面上，用长为2L的绝缘轻杆连接两个质量均为m的带电小球A和B.A球的带电荷量
为＋2q，B球的带电荷量为－3q，组成一带电系统，如图所示，虚线MP为A、B两球连线的垂直平分线，
虚线NQ与MP平行且相距5L.最初A和B分别静止于虚线MP的两侧，距MP的距离均为L，且A球距虚
线NQ的距离为4L.若视小球为质点，不计轻杆的质量，在虚线MP、NQ间加上水平向右、场强大小为E
的匀强电场后，试求：
（1）B球刚进入电场时，带电系统的速度大小；
（2）带电系统向右运动的最大距离；
（3）带电系统从开始运动到速度第一次为零时，B球电势能的变化量．
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