长方体和正方体知识点汇总重点讲义资料.docx
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长方体和正方体知识点汇总重点讲义资料
第二讲长方体和正方体
、长方体和正方体的认识
知识点1】
要素
立体图形
棱
面
顶点
数量
特征
数量
特征
数量
特征
长方体
12
互相平行的棱长度相等
6
相对的面完全相同
8
同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高
特殊长方体
12
垂直于正方形面的棱长度相等
6
两个面是正方形，其余四个面是完全相同的长方形
8
正方体
12
所有的棱长度都相等
6
所有面都是正方
形且完全相同
8
一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6各面是正方形，但不会存在3个、4
个、5个面是正方形！
练习：
（1）判断并改正：
1、长方体的六个面一定是长方形；（）
2、正方体的六个面面积一定相等；（）
3、一个长方体（非正方体）最多有四个面面积相等；（）
4、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。
（）
7、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。
（）
8、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。
（）
9、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。
（）
11、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。
（）
12、长方体和正方体最多可以看到3个面。
（）
14、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。
（）
15、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。
（）
16、一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。
（）
（2）填空：
1、一个长方体最多有（）个面是正方形，最多有（）条棱长度相等。
2、一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（）形。
3、正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（），它的六个面都是相等的（）形。
4、把长方体放在桌面上，最多可以看到（）个面。
最少可以看到（）
个面。
【知识点2】
棱长和公式：
长方体棱长和=（长+宽+高）×4长+宽+高=棱长和÷4
长方体棱长和=下面周长×2+高×4
长方体棱长和=右面周长×2+长×4
长方体棱长和=前面周长×2+宽×4
正方体棱长和=棱长×12棱长=棱长和÷12
棱长和的变形：
（8）一只鱼缸，棱长和为280cm，其中，底面周长为50cm，右面周长为40cm，前面周长为50cm，鱼缸的长、宽、高各是多少？
【知识点3】
确定长方体中每个面的形状以及长、宽、高分别是多少。
长方体一共有（）个面，（）面完全相同，如：
前面和（）完全相同，（）和（）完全相同，（）和（）完全相同。
根据习惯我们一般认为在一个平面中水平方向的为长，垂直方向的为高。
根据这一习惯我们
上下，左右、前后各个面的长和宽分别是原长方体的什么？
经过折叠可以组合成长方体：
练习：
下列三个图形中，能拼成正方体的是（）
【知识点5】长方体或正方体的切割组合对棱长的影响
（1）切割
将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条长和4条宽；（棱长增加的最长）将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条宽和4条高；（棱长增加的最短）
将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加4条棱。
二、组合
4条长和4条宽；
4条长和4条高；
4条宽和4条高；
8条棱；
将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少
（棱长减少的最多）
将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少（棱长减少的最少）
将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少
一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少16条棱，
四个组合减少24条棱，五个组合减少32条⋯⋯（公式：
8×（N—1））例如：
将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为140厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？
分析：
五个正方体棱长共有12×5=60条；
将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32条，还剩60-32=28条；即这28条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：
140÷
28=5cm；所以一个正方体的棱长和为：
5×12=60cm。
【知识点6】
小正方体拼大正方体的规律由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要2×2×2=23=8个（也就是说每条棱上放2个小正方体），接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放3个小正方体即3×3×3=33=27个，依次类推接下来是4×4×4=43=64个；5×5×5=53=125个⋯⋯从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。
这就要求我们能够熟记一些数的立方：
33333
23=833=2743=6453=12563=216
3333
73=34383=51293=729103=1000
小正方体拼大长方体的规律规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a倍，宽是小正方体棱长的b倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由a×b×c个小正方体组成的。
练习：
（1）用棱长为3厘米的小正方体拼棱长为9厘米的大正方体需要（）个小正方体。
A、8个B、27个C、26个D、64个
（2）一个长方体的长宽高分别是18、12、9，如果用棱长为3的小正方拼一个这样的长方体，一共需要（）块这样的小正方体。
（3）一个长方体的盒子里面长5分米，宽4分米，深3分米，放棱长为5厘米的正方体小木块共可以放（）块。
二、长方体和正方体的表面积【知识点1】长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=（a×b+a×c+b×c）×2
=（前面面积+上面面积+右面面积）×2
2正方体表面积=棱长×棱长×6=a×a×6=6a2
=任意一个面的面积×6前面面积=后面面积；左面面积=右面面积；上面面积=下面面积两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！
表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！
练习：
1、一个长方体长6厘米，宽4厘米，高3厘米。
这个长方体上下两个面的面积各是（）
平方厘米，前后两个面的面积各是（）平方厘米，左右两个面的面积各是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米。
2、判断题：
长方体的表面积一定比正方体的表面积大。
（）如果一个长方体能锯成四个完全一样的正方体，那么长方体前面的面积是底面积的4倍．（）
3、把一个棱长为6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（）㎡。
4、长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是（）厘米，六个面中最大的面积是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米。
5、用字母表示正方体（或长方体）的表面积＝（）；用字母表示长方体的体积公式
是（）。
6、下面哪些问题跟长方体表面积有关。
（）
A：
在一个长方体木箱外面刷油漆，刷油漆的面积一共有多少平方分米？
B：
做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃？
C：
求一个长方形足球场需多少平方米的草皮？
7、一个长方体的长是5分米，宽和高都是4分米，在这个长方体中，长度为4分米的棱有（）
条，面积是20平方分米的面有（）个。
8、一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（）。
9、一个长方体侧面积是360平方厘米，高是9厘米，长是宽的1.5倍，求它的表面积。
【知识点2】长方体表面求法的变形：
1
8,4,5，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸
贴商标类型：
只求四周面积。
例如：
一个长方体包装盒，长宽高分别为的面积是多少？
2游泳池类型：
只求四周和底面。
例如：
一座游泳池，长宽高分别为10m，4m，1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？
3抽纸盒类型：
六个面面积减去缺口面积。
例如：
一款抽纸盒，长宽高分别是20cm，12cm，5cm，上面有长14cm，宽3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？
4占地面积问题：
只求底面面积。
例如：
一个长方体蓄水池，长12m，宽8m，深3m，这个水池占地面积多少平方米？
练习：
（1）一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是4厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？
（2）一种长方体硬纸盒，长10厘米，宽6厘米，高5厘米，有2平方米的硬纸板210张，可以做这样的硬纸盒多少个？
（不计接口）（3）一个通风管的横截面是边长是0.5米的正方形,长2.5米.如果用铁皮做这样的通风管50只,需要多少平方米的铁皮?
（4）一个房间的长6米，宽3.5米，高3米，门窗面积是8平方米。
现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？
如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？
（5）在一节长120厘米，宽和高都是10厘米的通风管，至少需要铁皮多少平方厘米？
做12节这样的通风管呢？
（6）做一个正方体无盖纸盒，棱长是21厘米，至少需要多少平方厘米的纸板？
（7）一个抽屉，长50厘米，宽30厘米，高10厘米，做这样的2个抽屉，至少需要木板多少平方厘米？
（8）长方体的长为12厘米，高为8厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
3.一只鱼缸，棱长和为280cm，其中，底面周长为50cm，右面周长为40cm，前面周长为50cm，这只鱼缸的占地面积是多少平方厘米？
【知识点3】棱长变化对表面积的影响：
（1）正方体
正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。
二、长方体
长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；
长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；长方体的长宽高同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。
长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律，体积扩大a×b×c倍。
长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×b倍。
长方体的宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大b×c倍。
长方体的长扩大a倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×c
倍。
练习：
（1）大正方体的棱长是小正方体的棱长的2倍，那么大正方体的表面积是小正方体表面积的
（）倍。
（2）正方体的棱长缩小5倍，它的体积就缩小（）倍．
（3）一个长方体的长、宽、高都扩大4倍，它的表面积就（）。
（4）正方体的棱长扩大6倍，表面积扩大（）倍。
（5）一个正方体的棱长为4厘米扩大为2倍后，其棱长和为（）厘米，表面积为（）
平方厘米比原来扩大了（）。
（6）一个长方体长扩大2倍，高扩大4倍，体积扩大（
）倍。
（7）大正方体的表面积是小正方体的
4倍，
那么大正方体的棱长是小正方体的（
）；大
正方体棱长之和是小正方体的（
）
A.2倍B.4倍C.6倍
D.8
倍
（8）把一个正方体切成大小相等的8个小正方体，8个小正方体的表面积之和（）。
A.等于大正方体的表面积B.等于大正方体表面积的2倍C.等于大正方体
表面积的3倍
（9）判断：
一个长方体的长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，这个长方体的表面积扩大24倍。
（）
正方体的棱长扩大1.2倍，它的棱长也扩大1.2倍，它的表面积就扩大14.4倍。
（）有棱长为1厘米的正方体拼成较大的正方体，其表面积比原来一个正方体时扩大了4倍。
（）
棱长为16厘米的正方体，将棱长缩小2倍后，其棱长为4厘米，其表面积也缩小了4倍（）【知识点4】
5、立体图形的切割：
（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题）
长方体沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。
沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。
而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。
正方体
无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。
例如：
两盒磁带有三种不同的包装方式，你说哪一种最省包装纸？
要求最省包装纸，即表面积最小，也就是表面积比原来单独包装时减少的表面积最多，根据规律应该选择第一种包装方式。
练习：
（1）把一个棱长为6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是
（）㎡。
（2）用两个长4厘米、宽4厘米、高1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是（）平方厘米，最小是（）平方厘米。
（3）把一根长80厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木料锯成长都是40厘米的两段，表面积比原来增加了（）平方厘米。
（4）用两个长、宽、高分别是3厘米，2厘米，1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（）平方厘米。
（5）棱长是a的两个立方体拼成长方体，长方体的表面积比正方体的表面积和减少
（）。
（6）一根长方体木料，长1.5米，宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积最少增加（）
平方分米．
（7）一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体，截成两个形状，大小完全一样的长方体，表面积最多能增加多少平方厘米？
（8）把一根长2米的方木（底面是正方形）锯成三段，表面积增加5.76平方分米，原来这根方木的底面积是多少平方分米？
9）一根1.8m长的木材，锯成三个完全相同的正方体后，表面积比原来增加多少平方厘米？
（10）一个长方体长为1.5分米，宽为0.5分米，高位1分米，锯三刀之后之后可以锯成6个完全相同的正方体，每个正方体的表面积是多少？
这时表面积之和比原来增加多少？
从一个长方体中切出一个最大的正方体问题应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。
例如：
在一个长是4厘米，宽为3厘米，高为2厘米的长方体中切出一个最大的正方体，该正方体的棱长和是多少？
剩余部分的表面积是多少？
立体图形的组合（组合只会使表面积减少，因此存在减少最多或最少的问题）
长方体将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。
将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。
而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。
正方体
无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面，减少的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。
练习：
（1）把三个棱长是1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（），比原来
3个正方体表面积之和减少了（）。
（2）把三个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体，表面积是（），体积是（）。
（3）用27个体积是1立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体，粘合后的大正方体的表面积是（）
（4）把三个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方米。
这个正方形的表面积是多少平方米？
（5）一个长方体的长8厘米，宽6厘米，高5.5厘米。
将两个这样的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多少？
体积是多少？
（6）一种长方体积木，长3厘米，宽2.5厘米，高2厘米。
将两块这样的长方体拼成一个新的长方体，表面积最小是多少？
（7）用3个棱长5分米的正方体粘合成一个长方体，表面积减少多少平方分米？
表面积是多少平方厘米？
（8）有三个大小相等的正方体，将他们拼成长方体，表面积减少32平方厘米。
求所拼长方
体的表面积。
（9）用两个同样的长、宽、高分别为4厘米、3厘米和2厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？
（10）用两个长6厘米，宽3厘米，高1厘米的长方体一起包装，至少需要包装纸多少？
（11）用3个棱长4分米的正方体粘合成一个长方体，长方体的表面积比3个正方体的表面积少多少平方分米？
表面积是多少平方厘米？
（12）用两个同样的长、宽、高分别为4厘米、3厘米和2厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？
【知识点5】
小正方体拼成的大正方体表面涂漆问题
大正方体长、宽、高上有几个小正方体，则将长、宽、高上的正方体数相乘就是大正方体所含小正方体的总数；
在顶点位置的小正方体露在外面的面有3个；
在棱上（不包含顶点位置）的小正方体露在外面的面有2个；在面上（不包含棱上）的小正方体露在外面得面有1个；
用总数—3个面的—2个面的—1个面得=没有露在外面的小正方体的个数。
例如：
低级单位的数÷进率
例如：
手指尖约占了1立方厘米的空间，即它的体积约为1立方厘米一个粉笔盒的体积约为1dm3。
建一游泳池，约要挖土6000方。
1.36dm3=1360cm34.573m3=4573dm3一个烧杯约能装水500ml。
520ml=0.52L5.67L=5.67dm3=5670cm3
练习：
（1）3.2立方分米=
（）立方厘米
500
立方分米=（
）立方米
9立方米500立方分米=（）立方米
=（
）立方分米
3.6升=（
）毫升=（）
立方厘米
1700平方厘米=（
）平方分米=
（
）平方米
3升=（）
毫升2700
毫升=（
）升
2.57升=（
）毫升640
毫升=（
）升
2.8立方分米=（
）立方厘米0.8升=（
）毫升
720立方分米=（
）立方米51000毫升=（）升
32立方厘米=（
）立方分米
4.25
立方米=（）立方分米=（
升
2.7立方米=（
）升1200
毫升=（
）立方厘米
1.24立方米=（
）升=（）毫升
3.06
升=（）升（
）毫升
40立方米＝（
）立方分米
4立方分米5立方厘米＝
（
立方分米
30立方分米＝（
）立方米
0.85
升＝（
）毫升
2100毫升＝（
）立方厘米＝
（
）立方分米
0.3升＝
）
）
（）毫升＝（）立方厘米
（2）一个水池能装水400立方米，这是指（），占地2公顷指的是（）一块橡皮擦的体积约是8（）。
一本书的封面约是2（）。
运货集装箱的体积约是40（）。
一支钢笔长18（）。
一台录音机的体积约是20（）。
三、长方体和正方体的体积
【知识点1】
容积与体积基本概念
体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小。
当容器壁厚度忽略不计时体积=容积；否则体积＜容积。
比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积。
（容器壁忽略不计）体积计算方法：
长方体的体积=长×宽×高
正方体的体积=棱长×棱长×棱长长方体和正方体的体积=底面积×高
=右面面积×长
=前面面积×宽
体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等，棱长和也不一定相等。
体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等。
体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情况下正方体的体积比长
方体的体积大。
练习：
5.判断：
体积单位比面积单位大，面积单位比长度单位大．（）正方体和长方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算．（）表面积相等的两个长方体，它们的体积一定相等．（）长方体的体积就是长方体的容积．（）
（2）一个正方体的棱长和是12分米，它的体积是（）立方分米．
（3）一个长方体的体积是30立方厘米，长是5厘米，高是3厘米，宽是（）厘米．
（4）表面积是54平方厘米的正方体，它的体积是（）立方厘米．
（5）一个长方体框架长8厘米，宽6厘米，高4厘米，做这个框架共要（）厘米铁丝，是求长方体（），在表面贴上塑料板，共要（）
塑料板是求（），在里面能盛（）升水是求（），
这个盒子有（）立方米是求（）．
（6）长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是（）厘米，六个面中最大的面积是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米．
（7）一个正方体棱长2厘米，体积是（）立方厘米，如果这个正方体的棱长扩大2
倍，它的体积是（）立方厘米。
（8）一个菜窖能容纳6立方米白菜，这个菜窖的（）是6立方米．
（9）表面积相等的长方体和正方体的体积相比，（）．
①正方体体积大②长方体体积大③相等
（10）将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体（）．
①体积相等，表面积不相等②体积和表面积都不相等．③表面积相等，体积不相等．
1、要制作140个棱长5厘米的正方体木块，至少需要木料多少立方分米？
（12）某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40厘米，它的体积是多少立方厘米？
合多少立方分米？
2、长方体的长为12厘米，高为8
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