十二章思考题.docx
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十二章思考题
12-1如图，金属棒AB在光滑的导轨上以速度v向右运动，从而形成了闭合导体回路ABCDA。
楞次定律告诉我们，AB棒中出现的感应电流是自B点流向A点，有人说：
电荷总是从高电势流向低电势。
因此B点的电势应高于A点，这种说法对吗？
为什么?
答：
这种说法不对。
回路ABCD中AB棒相当于一个电源，A点是电源的正极，B点是电源的负极。
这是因为电源电动势的形成是非静电力做功的结果，非静电力在将正电荷从低电势的负极B移向高电势的正极A的过程中，克服了静电力而做功。
所以正确的说法是：
在作为电源的AB导线内部，正电荷从低电势移至高电势。
是非静电力做正功；在AB导线外部的回路上，正电荷从高电势流至低电势，是静电力做正功。
因此，B点的电势低，A点的电势高。
12-2一根细铜棒在均匀磁场中作下列各种运动（如图），在哪种运动中铜棒内产生感应电动势？
其方向怎样?
（1）铜棒向右平移（图a）。
（2）铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B的平面内转动（图b）。
（3）铜棒绕通过中心的轴在平行于B的平面内转动（图c）。
答：
（1）无；
（2）由中心指向两端；（3）无。
12-3如图所示，一矩形金属线框,以速度v从无场空间进入一均匀磁场中，然后又从磁场中出来，到无场空间中，不计线圈的自感，下面哪一条图线正确地表示了线圈中的感应电流对时间的函数关系？
（从线圈刚进入磁场时刻开始计时，I以顺时针方向为正）
答：
（C）
12-4在一通有电流I的无限长直导线所在平面内，有一半径为r、电阻为R的导线环，环中心距直导线为a，如图所示，且a>>r，当直导线的电流被切断后，沿着导线环流过的电量约为
（A）
;
（B）
;
（C）
;
（D）
。
答：
（C）
12-5在如图所示的装置中，当不太长的条形磁铁在闭合线圈内作振动时（忽略空气阻力），
（A）振幅会逐渐加大;
（B）振幅会逐渐减小;
（C）振幅不变;
（D）振幅先减小后增大。
答：
（B）
12-6圆铜盘水平放置在均匀磁场中，B的方向垂直盘面向上。
当铜盘绕通过中心垂直于盘面的轴沿图示方向转动时，
（A）铜盘上有感应电流产生,沿着铜盘转动的相反方向流动;
（B）铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的方向流动;
（C）铜盘上产生涡流;
（D）铜盘上有感应电动势产生，铜盘边缘处电势最高;
（E）铜盘上有感应电动势产生，铜盘中心处电势最高。
答：
（D）
12-7如图，导体棒AB在均匀磁场B中绕通过C点的垂直于棒长且沿磁场方向的轴oo′转动（角速度ω与B同方向），BC的长度为棒长的1/3,则
（A）A点比B点电势高;
（B）A点与B点电势相等;
（C）A点比B点电势低;
（D）有稳恒电流从A点流向B点。
答：
（A）
12-8如图所示，直角三角形金属架
abc放在均匀磁场中，磁场B平行于ab边，
bc的长度为l，当金属框架绕ab边以匀角
速度ω转动时，abc回路中的感应电动势和a、c两点间的电势差Ua-Uc为
l
a
b
c
ω
B
思考题12-8
（A）=0，
;
（B）=0，
;
（C）=Bωl2，
;
（D）=Bωl2，
。
答：
（B）
12-9两个线圈的自感系数分别为L1和L2，现把这两个线圈串联起来，在怎样情况下，系统的自感系数为L=L1+L2，又在怎样情况下，系统的自感系数L≠L1+L2。
答：
在这两个线圈无互感影响的情况下，L=L1+L2。
当这两个线圈有互感影响时，L≠L1+L2。
12-10用金属丝绕成的标准电阻要求无自感，怎样绕制才能达到这一要求？
为什么？
思考题12-10解图
答：
把金属丝对折成双线如图缠绕即可。
这样，近似地说，标准电阻部分的回路
包围的面积为零，有电流时磁通为零，
故自感为零。
12-11在圆柱形空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场，如图所示，B的大小以速率dB/dt变化。
有一长度为l0的金属棒先后放在磁场的两个不同位置1（ab）和2（a′b′）；则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为
（A）2=1≠0;（B）2>1;
（C）2<1;（D）2=1=0。
答：
（B）
12-12在圆柱形空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场，如图所示，B的大小以速率dB/dt变化，在磁场中有A、B两点,其间可放直导线
和弯曲的导线
，则
（A）电动势只在
导线中产生;
（B）电动势只在
导线中产生;
（C）电动势在
和
中都产生，且两者大小相等;
（D）
导线中的电动势小于
导线中的电动势。
答：
（D）
12-13在一个塑料圆筒上紧密地绕有两个完全相同的线圈aa′和bb′，当线圈aa′和bb′如图（a）绕制时其互感系数为M1，如图（b）绕制时其互感系数为M2，M1与M2的关系是
（A）M1=M2≠0;（B）M1=M2=0;
（C）M1≠M2，M2=0;（D）M1≠M2，M2≠0。
答：
（D）
12-14如图所示的电路中，A、B是两个完全相同的小灯泡，其内阻r>>R，L是一个自感系数相当大的线圈，其电阻与R相等。
当开关K接通和断开时，关于灯泡A和B的情况下面哪一种说法正确?
（A）K接通时，IA>IB。
（B）K接通时，IA=IB。
（C）K断开时，两灯同时熄灭。
（D）K断开时，IA=IB。
答：
（A）
12-15当扳断电路时，开关的两触头之间常有火花发生，如在电路里串接一电阻小、电感大的线圈，在扳断开关时火花就发生得更厉害，为什么会这样?
答：
扳断电路时，电流从最大值骤然降为零，dI/dt很大，自感电动势就很大，在开关触头之间产生高电压，击穿空气发生火花。
若加上电感大的线圈，自感电动势就更大，所以扳断开关时，火花也更厉害。
12-16用线圈和自感系数L来表示载流线圈磁场能量的公式
（A）只适用于无限长密绕螺线管;
（B）只适用于单匝圆线圈;
（C）只适用于一个匝数很多,且密绕的螺绕环;
（D）适用于自感系数L一定的任意线圈。
答：
（D）
12-17有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同，半径分别为r1和r2,管内充满均匀介质，其磁导率分别为μ1和μ2，设r1∶r2=1∶2,μ1∶μ2=2∶1，当将两只螺线管串联在电路中通电稳定后，其自感系数之比L1∶L2与磁能之比Wm1∶Wm2分别为
（A）L1∶L2=1∶1,Wm1∶Wm2=1∶1。
（B）L1∶L2=1∶2,Wm1∶Wm2=1∶1。
（C）L1∶L2=1∶2,Wm1∶Wm2=1∶2。
（D）L1∶L2=2∶1,Wm1∶Wm2=2∶1。
答：
（C）
12-18两根很长的平行直导线，其间距离为a，与电源组成闭合回路（如图）。
已知导线上的电流强度为I，在保持I不变的情况下，若将导线间的距离增大，则空间的
（A）总磁能将增大;
（B）总磁能将减少;
（C）总磁能将保持不变;
（D）总磁能的变化不能确定。
答：
（A）
12-19对位移电流,有下述四种说法，请指出
哪一种说法正确。
（A）位移电流是由变化电场产生的;
（B）位移电流是由变化磁场产生的;
（C）位移电流的热效应服从焦耳-楞次定律;
（D）位移电流的磁效应不服从安培环路定理。
答：
（A）
12-20如图，平板电容器（忽略边缘效应）充电时，沿环路L1、L2磁场强度H的环流中，必有
（A）
;
（B）
;
（C）
;
（D）
。
答：
（C）
12-21如图所示，空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表面上沿圆周方向均匀地流着一层随时间变化的面电流i（t），则
（A）圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场;
（B）任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的磁通量和电通量均为零;
（C）沿圆筒外任意闭合环路上磁感应强度的环流不为零;
（D）沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零。
答：
（B）
12-22如图所示，图（a）中是充电后切断电源的平行板电容器；图（b）中是一与直流电源相接的电容器。
当两板间距离相互靠近或分离时，试判断两种情况的极板间有无位移电流，并说明原因。
答：
（1）因平板电容器的电量不变，当两板间距改变时电场强度不变，故无位移电流。
+q
-q
ε
（a）
（b）
思考题14-22
（2）电容改变而电源所加电压不变，所以电容器上的电量必定改变，极板间场强也必定改变，由位移电流定义Id=dΦD/dt知存在位移电流。
12-23在感应电场中电磁感应定律可写成
，式中Ek为感应电场的电场强度，此式表明:
（A）闭合曲线L上Ek处处相等;
（B）感应电场是保守力场;
（C）感应电场的电力线不是闭合曲线;
（D）在感应电场中不能像对静电场那样引入电势的概念。
答：
（D）
12-24圆形平行板电容器，从q=0开始充电，试画出充电过程中，极板间某点P处电场强度的方向和磁场强度的方向。
P
i
思考题12-24
P
i
思考题12-24解图
⊗
H
E
五、习题
12-1两段导线AB=BC=10cm，在B处相接而成30º角，若使导线在均匀磁场中以速
度υ=1.5m·s-1运动，方向如图所示，磁场方向垂直纸面向里，B=2.510-2T，问AC间的
电势差为多少？
哪一端电势高？
解：
设两段导线产生的动生电动势分别为AB和BC，则
⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯
B
υ
A
B
C
D
30º
习题12-1
导线AC的总动生电动势大小即AC间的
电势差为
A点电势高于C点。
12-2如图所示，一根长为L的金属细杆ab绕竖直轴O1O2以角速度ω在水平面内旋转。
O1O2在离细杆a端L/5处。
若已知地磁场在竖直方向的分量为B，求ab两端间的电势差Ua-Ub。
解：
ob间的动生电动势
b点电势高于o点。
oa间的动生电动势
a点电势高于o点。
o
o'
ω
θ
L
B
习题12-3
θ
o
o'
B
α
dl
υ×B
习题12-3解图
12-3求长度为L的金属杆在均匀磁场B中绕平行于磁场方向的定轴oo′转动时的动生电动势,已知杆相对于均匀磁场B的方位角为θ，杆的角速度为ω，转向如图所示。
解在距o点为l处的dl线元中的动生电动势为
;
E的方向沿着杆指向上端。
12-4如图所示，有一半径为r=10cm的多匝圆形线圈,匝数N=100，置于均匀磁场B中（B=0.5T）。
圆形线圈可绕通过圆心的轴O1O2转动，转速n=600rev/min。
求圆线圈自图示的初始位置转过π/2时，
（1）线圈中的瞬时电流值（线圈的电阻R为100Ω，不计自感）；
（2）圆心处的磁感应强度（μ0=4π×10-7T·m/A）。
⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯
r
o2
o1
B
ω
习题12-4
解：
（1）设线圈转至任意位置时线圈的法向与磁场之间的夹角为θ，则通过该圆线圈平面的磁通量为
在任意时刻线圈中的感应电动势为
当线圈转过π/2时，t=T/4，则
（2）由圆线圈中电流Im在圆心处激发的磁场为
方向竖直向下，故此时圆心处的实际磁感应强度的大小
方向与磁场B的方向基本相同。
H
a
b
d
c
l
60º
I
习题12-5
12-5如图所示，一长直导线通有电流I，其旁共面地放置一匀质金属梯形线框abcda，知da=ab=bc=L，斜边与下底边夹角均为60°，d点与导线相距为l，线框从静止开始自由下落H高度，保持线框平面与长直导线始终共面，求：
（1）下落H高度后瞬间，线框
中的感应电流为多少?
（2）该瞬时线框中电势最高处
与电势最低处之间的电势差为
多少?
解：
（1）由于线框垂直下落，线框所包围面积内的磁通量无变化，故感应电流Ii=0。
（2）设dc边长为l΄，则由图可见有
取d→c的方向为dc边内感应电动势的正向，则
dc>0，说明dc段内电动势的方向由d→c。
由于回路内无电流，所以
因为c点电势最高，d点电势最低，故Vcd为电势最高处与电势最低处之间的电势差。
12-6长为L，质量为m的均匀金属细棒，以棒端o为中心在水平面内旋转，棒的另一端在半径为L的金属环上滑动，棒端o和金属环之间接一电阻R，整个环面处于均匀磁场B中，B的方向垂直纸面向外，如图。
设t=0时，初角速度为ω0，忽略摩擦力及金属棒、导线和圆环的电阻。
求：
（1）当角速度为ω时金属棒内的动生
电动势的大小。
（2）棒的角速度随时间变化的
表达式。
解
（1）
（2）
其中
B
ω
t
o
r
a
习题12-7
B
ω
t
o
r
a
a
习题12-7解图
12-7一电磁“涡流”制动器，由一导电率为和厚度为t的圆盘组成，此盘绕通过其中心的轴以角速度旋转，且有一覆盖面积为a2的磁场B垂直于圆盘。
若面积a2是在离轴r处，试求使圆盘慢下来的转矩的近似表达式。
解：
圆盘旋转过程中的任意时刻，在习题12-7解图所示的处，始终有一覆盖面积为a2的磁场B垂直于圆盘。
当圆盘经过此处时切割磁力线而产生动生电动势，进而产生一径向感应电流。
该感应电流受安培力作用而产生磁力矩，其方向与圆盘旋转方向相反。
圆盘上沿
径向长度为a的线段切割磁力线时所产生的动生电动势为
小方块径向电阻为
所以感应电流为
其所受到的安培力为
所产生的力矩为
12-8均匀磁场B被限制在半径R=10cm的无限长圆柱空间内，方向垂直纸面向里，取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。
设磁场以dB/dt=1T/s的匀速率增加，已知θ=π/3，oa=ob=6cm，求等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。
解：
方向：
沿adcb绕向。
14-9在半径为R的圆柱形空间内，充满磁感应强度为B的均匀磁场，B的方向与圆柱的轴线平行。
有一无限长直导线在垂直圆柱中心轴线的平面内，两线相距为a，a>R，如图所示，已知磁感应强度随时间的变化率为dB/dt，求长直导线中的感应电动势。
解：
由该问题的轴对称性和轴向的无限长条件可知，感生电场的场强E在垂直轴线的平面内，且与径向相垂直。
如图所示，选取过轴线而平行给定的无限长直导线的一条无限长直导线，与给定的无限长直导线构成闭合回路（在无限远闭合），则在过轴线的长直导线上，因E处处与之垂直，所以电动势为零。
又在无限远处E=0，故此回路中的电动势就是给定的无限长直导线中的电动势。
该回路的磁通量
由电磁感应定律有
的正方向如图所示。
12-10电量Q均匀分布在半径为a、长为L（L>>a）的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度ω绕中心轴线旋转，一半径为2a、电阻为R的单匝圆形线圈套在圆筒上（如图所示）。
若圆筒转速按照ω=ω0（1-t/t0）的规律（ω0和t0是已知常数），随时间线性地减小，求圆形线圈中感应电流的大小和流向。
a
2a
ω
z
习题12-10
解：
筒以ω旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流
，它和通电流螺线管的nI等效。
按长螺线管产生磁场的公式，筒内均匀磁场的磁感应强度为
（方向沿筒的轴向）
筒外磁场为零。
所以穿过线圈的磁通量为
在单匝线圈中产生感生电动势为
感应电流i为
i的方向与转向一致。
12-11两个半径分别为R和r的同轴圆形线圈相距x，且R>>r，x>>R。
若大线圈通有电流I而小线圈沿x轴方向以速率v运动，试求x=NR时（N为正数）小线圈回路中产生的感应电动势的大小。
解：
由题义，大线圈中的电流I在小线圈回路处产生的磁场可视为均匀的。
x
x
r
R
I
υ
习题12-11
故穿过小回路的磁通量为
由于小线圈的运动，小线圈中的感应电动势为
当x=NR时，小线圈回路中的感应电动势为
12-12一个限定在半径为R的圆柱体内的均匀磁场B，以1.010-2Ts-1恒定速率减少，当把电子放在a，o，c各点处时，其所获得的瞬时加速度（大小和方向）各为若干？
设r=5.0cm？
解：
由感应电场的环路定理得
习题12-12
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
r
R
⨯
c
a
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
B
o
⨯
所以r处感应电场的大小为
方向为顺时针方向。
故电子在o点的加速度ao=0。
电子在a，c两点的加速度大小相等，均为
其中a点加速度向右，c点加速度向左。
12-13无限长密绕螺线管半径为r，其中通有电流，在螺线管内部产生一均匀磁场B，在螺线管外同轴地套一粗细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，ab为其分界面，半环电阻分别为R1和R2，如图所示图中螺线管垂直纸面放置。
当螺线管内部磁感应强度B增大时，分别就
（1）R1=R2；
（2）R1>R2；（3）R1解：
当螺线管内部磁感应强度增大时，在金属环内产生涡旋电场，其电场线为沿逆时针方向的圆。
由
可知，整个金属圆环产生感应电动势为
左半圆电动势
，右半圆电动势
，由基尔霍夫电压定律
讨论：
（1）R1=R2，Ua=Ub，两端电势相等。
⨯⨯
⨯⨯
R2
R1
a
b
习题12-13
a
b
R2
R1
ε2
ε1
习题12-13解图
（2）R1>R2，Ua>Ub，a端电势高。
（3）R1习题12-14
12-14真空中的矩形截面的螺绕环的总匝数为N，其他尺寸如图所示，求它的自感系数。
解：
设螺绕环中通电流I，在线环内取以环中心
为圆心，半径为r的圆形回路，由安培环路定理有
则
通过螺线管矩形截面的磁通链数ψ为
12-15有一圆环，环管横截面的半径为a，中心线的半径为R，R>>a。
有两个彼此绝缘的导线圈都均匀地密绕在环上，一个N1匝，另一个N2匝，求:
（1）两线圈的自感L1和L2;
（2）两线圈的互感M;
（3）M与L1和L2的关系。
解：
设在N1匝的线圈1中通电流I1，在N2匝的线圈2中通电流I2。
（1）因R>>a，环中B可视为大小均匀。
线圈1中，电流I1产生的磁场
线圈1的磁通量
线圈1的磁通链数
线圈1的自感系数
同样可求出
（2）电流I1在线圈2中产生的磁通
磁通链数
互感系数
（3）
12-16截面为圆的长直铜导线中，通有强度为I的电流，电流均匀地分布在横截面上。
求：
（1）导线内部单位长度上的磁能；
（2）若I=10A，计算2m长导线内的磁能。
解：
（1）导线内，离轴为r处的磁感应强度为
式中，R代表导线的半径，铜的相对磁导率μR=1，因此在铜导线内部的磁能密度为
导线内单位长度上的总磁能为
（2）
12-17一长铜导线载有I=10A的电流，电流均匀地分布在横截面上，若铜导线的直径d=2.54mm，每单位长度的电阻为3.28×10-3Ω·m-1。
求：
（1）导线表面处的磁能密度；
（2）导线表面处的电能密度。
解：
（1）按上题的结果，在导线内的磁能密度为
在导线的表面处，其磁能密度为
（2）由微分形式的欧姆定律有
故
其中
电能密度为
12-18如图所示，一匝边长为a的正方形线圈与一无限长直导线共面，置于真空中。
（1）当二者之间的最近距离为b时，互感系数M为多少？
线圈受力F为多少？
（2）若维持I1及I2不变而线圈向左移动，由b减至b/2的过程中磁力做功A为多少？
磁能增量ΔW为多少？
解：
（1）在线圈平面上，距长直导线x处，取宽为dx、长为a且与长直导线平行的面积元（习题13-18解图）。
在面积元上，磁感应强度
方向垂直纸面向内。
磁通量
通过线圈的磁通量
因此，长直导线与线圈的互感系数
AB、AC两边受磁力作用，但它们等值反向，互相抵消，线圈所受合力为
方向垂直并指向长直导线。
（2）当线圈与长直导线相距为x时，线圈受力
线圈向左移动到x=b/2时，磁力作的功
（1）
线圈移动后，它和长直导线的互感系数也变了，其值变为
线圈移动前，线圈与长直导线这一系统的磁能
线圈移动后，系统的磁能
所以磁能的增量
由
（1）、
（2）可知，磁力做功，同时系统磁能也增加，其能量来源于维持I1、I2不变的两回路中的电源。
12-19一平行板电容器的电容为C，两板间电势差为V，试证该平板电容器中的位移电流为
另外在1μF的电容器中产生1A的位移电流，问加在电容器上的电压变化率应为多大?
解：
设平行板电容器极板面积为S，极板间距为d，则其电容器
，式中ε为两极板间的电介质的电容率。
因为
故位移电流
由
，有
12-20如图所示，电荷+q以速度向o点运动（+q到o的距离以x表示）。
在o点处作一半径为a的圆，圆面与垂直，试计算通过此圆面的位移电流以及圆周上各点处磁场强度H。
解：
电荷q沿着圆的轴线运动。
在某一时刻，电荷在圆面积上产生的电通量等于以此圆为底面的球冠面积上的电通量，此球冠的球心在点电荷所在处，球半径为r。
球冠面积
球冠上场强
电位移
球冠上（即圆面上）电通量
当点电荷向圆面积运动时，圆面上的位移电流
所以
由于电荷沿圆的轴运动，位移电流产生的磁场具有轴对称性，在圆周上各点磁场强度相同，方向与圆相切。
沿圆周的积分
根据安培环路定律
因为
所以
写成矢量式即
与运动电荷的磁场计算公式完全相同。
12-21一内导体半径为R1、外导体半径为R2的球形电容器，两球间充有相对电容率为εr的介质，在电容器上加电压，内球对外球的电压为U=U0sinωt，假设ω不太大，以致电容器电场分布与静态场情形近似相同，求介质中各处的位移电流密度，再计算通过半径为r（R1解：
由静电学计算
位移电流密度为
12-22给电容为C的平行板电容器充电，电流为i=0.2e-t（SI），t=0时电容器极板上无电荷。
求：
（1）极板间电压U随时间t而变化的关系。
（2）t时刻极板间总的位移电流Id（忽略边缘效应）。
解：
（1）
（2）由全电流的连续性，得
12-23一平面电磁波在真空中传播，设某点的电场强度为
（V·m-1）
试求这一点的磁场强度的表达式。
若在该点前方a米处和后方a米处（均沿x轴计算），其电场强度和磁场强度如何？
解：
设该电磁波沿x轴正向传播，根据磁场强度Hz与电场强度Ey的关系，有
式中，ε0=8.8510-12C2N-1m-2，0=4π17-7Hm-1，故Hz为
故电磁波的波动方程为
当x=a时
当x=-a时
12-24一广播电台的广播辐射功率是10kW。
假定辐射均匀分布在以电台为中心的半球面上。
试求：
（1）距离电台r=10km处坡印廷矢量的平均
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