函数的单调性知识点汇总典型例题高一必备.docx
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函数的单调性知识点汇总典型例题高一必备
第二讲：
函数的单调性
一、定义：
1.设函数
的定义域为
如果对于定义域
内的某个区间
内的任意两个自变量的值
，当
时，都有
那么就说
在区间
上是增函数.区间
叫
的单调增区间.
注意：
增函数的等价式子：
;
难点突破：
（1）所有函数都具有单调性吗？
（2）函数单调性的定义中有三个核心①
②
③函数
为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？
2.设函数
的定义域为
如果对于定义域
内的某个区间
内的任意两个自变量的值
，当
时，都有
那么就说
在区间
上是减函数.区间
叫
的单调减区间.
注意：
（1）减函数的等价式子：
；
（2）若函数
为增函数，且
.
题型一：
函数单调性的判断与证明
例1.已知函数
的定义域为
，如果对于属于定义域内某个区间
上的任意两个不同的自变量
都有
则（）
A.
在这个区间上为增函数B.
在这个区间上为减函数
C.
在这个区间上的增减性不变D.
在这个区间上为常函数
变式训练：
定义在
上的函数
对任意
都有
，且函数
的图象关于原点对称，若
则不等式
的解集为___.
易错点：
①
②
③
例3.证明：
函数
在
上是增函数.
变式训练：
讨论
的单调性.并作出当
时函数的图象.
变式训练：
已知
并用定义证明.
题型二：
函数的单调区间
难点突破：
（1）函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单调函数吗？
易错点：
①区间端点的确认
②多个单调区间的写法
（2）函数
的单调减区间是
上吗？
例1.（图像法）求下列函数的单调区间
（1）
.
（2）
.
（3）
.
例2.（直接法）求函数
的单调区间.
例3.（复合函数）（2017全国二）函数
的单调递增区间是（）
A.
B.
C.
D.
易错点：
变式训练：
求下列函数的单调区间.
（1）
（2）
（3）
题型三：
抽象函数的单调性问题
例1.设函数
是实数集
上的增函数，令
.
（1）证明：
是
上的增函数；
（2）若
求证：
.
例2定义在
上的函数
满足下面三个条件：
①对任意正数
，都有
；
②当
时，
；
③
.
（1）求
的值；
（2）使用单调性的定义证明：
函数
在
上是减函数；
（3）求满足
的
的取值集合.
题型四：
函数单调性的应用
（1）利用函数的单调性比较大小
在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
①正向应用：
②逆向应用：
例1.
在
上单调递减，那么
与
的大小关系是__________.
变式训练：
已知函数
且对任意的
，有
设
则
的大小关系_________.
（2）利用函数的单调性解不等式
易错点：
例2.设
是定义在
上的增函数，且
成立，求
的取值范围.
变式训练.①设
是定义在
上的偶函数，当
时，
单调递减，若
成立，求
的取值范围.
②（2015全国二）设函数
成立的
的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
③（2018全国一）设函数
，则满足
的x的取值范围
是（）
A．
B．
C．
D．
（3）根据函数的单调性求参数的取值范围
例1.如果函数
在区间
上是增函数，则实数
的取值范围是（）
A.（1,2）B.（0，2）C.（0，1）D.
变式训练：
如果函数
在区间
上是减函数，求实数
的取值范围.
易错点：
例2.若函数
在
上为增函数，则实数
的取值范围是__________.
易错点：
例3.若函数
在区间
上是减函数，求实数
的取值范围.
第三节：
函数的奇偶性
一、知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性
定 义
图象特点
备注
奇函数
★★设函数
的定义域为
如果对
内的任意一个
都有
∈D,且
则这个函数叫做奇函数
关于原点中心对称
函数
是奇函数且在
处有定义,则
偶函数
设函数
的定义域为
如果对
内的任意一个
都有
且
则这个函数叫做偶函数
★关于
轴对称
例1（2014全国二）偶函数
的图象关于直线
对称，
，则
___________．
例2（2017全国二）已知函数
是定义在R上的奇函数，当
时，
，则
__________.
例3（2012全国二）设函数
的最大值为
，最小值为
，则
+
=______.
2.函数的图象
（1）平移变换：
“上加下减，左加右减”
例4（2010全国二）设偶函数
满足
，则
（）
A.
B.
C.
D.
（2）对称变换
①
；
②
；
③
；
④
;
⑤奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的额图象关于
轴对称.
（3）翻折变换
★★①
.
例5（2010全国二）已知函数
若
均不相等，且
则
的取值范围是（）
A.
B.
C
D.
例6（2011全国二）已知函数
的周期为2，当
时
，那
么函数
的图象与函数
的图象的交点共有（）
A．10个B．9个C．8个D．1个
★★★②
.
例7（2011全国二）下列函数中，既是偶函数又在
单调递增的函数是（）
A.
B．
C．
D．
例8（2010大纲）直线
与曲线
有四个交点，则
的取值范围是____________.
（4）函数图象的几种对称关系
★①
满足
图象关于直线
为轴对称；
例9（2018全国二）已知
是定义域为
的奇函数，满足
，若
=2，则
（）
A．﹣50B．0C．2D．50
②
图象关于
为轴对称；
③函数
与函数
的图象关于直线
对称.
如：
和
的图象，关于直线
为轴对称.
例10（2015全国二）已知函数
则
=________.
二、真题演练
1.（2014全国一）设函数
的定义域为
，且
是奇函数，
是偶函数，则下列结论中正确的是（）
A.
是偶函数B.
是奇函数
C.
是奇函数D.
是奇函数
2.（2015全国一）已知函数
，且
，则
=（）
A.-
B.-
C.-
D.-
3.（2015全国一）设函数
的图像关于直线
对称，且
则
（）
A.-1B.1C.2D.4
4.（2017全国一）函数
的部分图像大致为（）
5.（2017全国一）已知函数
，则（）
A.
B.
C.
D.
6.（2017全国三）函数
的部分图像大致为（）
A．
B．
C．
D．
二、课后作业
1.若奇函数
在
上是增函数且最大值为5，那么
在
上是（）
A.增函数且最小值是
B.增函数且最大值是
C.减函数且最大值是
D.减函数且最小值是
2.若
是偶函数，则
在
上（）
A.是增函数B.是减函数C.不具有单调性D.单调性由
的值确定
3.已知函数
若
为奇函数，则
________.
4.函数
是定义在
上的奇函数，且
求函数
的解析式___________.
第四节：
函数的零点
一、知识梳理
★零点：
方程
的解；函数
图象与
轴交点的横坐标.
函数
的零点是函数
与函数
图象交点的横坐标.
零点存在定理：
函数
在定义域
上连续，若
，则
在定义域
上一定存在零点.
例（2011全国二）在下列区间中，函数
的零点所在的区间为
（）
A．
B．
C．
D．
2、真题演练
1.（2017全国三）已知函数
有唯一零点，则
=（）
A．
B．
C．
D．1
2.（2018全国一）已知函数
，
，若
存在两个零点，则
的取值范围是__________.
三、课后作业
1.关于
的方程
的根所在大致区间为（）
A.
B.
C.
D.
2.已知
，若
则
=________.
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