数值分析试题与答案.docx
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数值分析试题与答案
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1.3.142和3.141分别作为二的近似数具有（）和（）位有效数字•
A.4和3B.3和2
C.3和4D.4和4
2121
2.已知求积公式
IfXdxg17）訂⑵，则A=（）
C.2
3.通过点x0,y0,X1,y1的拉格朗日插值基函数loX,l1X满足（）
Alo（χo）=0∣1（X1）=OBl0（χ0）=0l1（X1）=1
C∣0（X0）=1,∣1（X1）=1D∣0（X0）=1,∣1d=1
4.设求方程fX的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。
A.超线性B.平方C.线性D.三次
X12X2X3=0
2X12X23X3=3
5.
3个方程（）
用列主元消元法解线性方程组.一为一3%二2作第一次消元后得到的第
A-X2X3=2B-2x21.5x3=3.5
C-2x2x3=3DX2-0∙5x3=-1.5
单项选择题答案
1.A2.D3.D4.C5.B
得分
评卷
人
、填空题（每小题3分，共15分）
1.设X=（2,3,4）T,则IlXIll=,IlXl∣2=.
2.一阶均差fx°,xι=
Cf）=c1C）=c^）=∙3C
3.已知n=3时，科茨系数88,那么C3=
4.因为方程fx=χ-4∙2在区间H，2】上满足，所以fX=O在区间
内有根。
八2y
（X
5.取步长h=0∙1,用欧拉法解初值问题y1二1的计算公式
填空题答案
1.9和292.
fχo-fχ1
Xo-X1
1
3.8
4.
f
（1）f
（2）c0
r
r
丄0.1
yk+=yk
1.1
+2
（1+0.1k）,k=0,1,2L
5.ly0=1
1.已知函数
段线性插值函数，并计算f1.5的近似值.
得分
评卷
人
y2
1'X的一组数据:
O
1
2
1
O5
0.2
三、计算题（每题15分，共60分）
计算题1.答案
X-1x—O
：
：
1：
：
：
0.5=1-0.5x
1-0
1「0.5XX%x=0.8-0∙3x
：
=[0,11
11,2]
所以分段线性插值函数为
%1.5=0.8-0.31.5=0.35
10X-X?
12X3=7.2
-x∣10x2-2x3=8.3
2.已知线性方程组F-X25X3=4.2
（1）写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式；
（2）对于初始值X°二0,0,0,应用雅可比迭代公式、高斯—塞德尔迭代公式分别计算XC）（保留小数点后五位数字）.
计算题2.答案
1.解原方程组同解变形为
X1=0.1x20.2x30.72
X2=0.1x1-0.2x30.83
x3=0.2x10.2x20.84
雅可比迭代公式为
x1m1=0.1x2m0.2x3m0.72
x2m1=0.1x1m-0.2x3m0.83
x3m十）=0.2χf）+0.2xJm）+0.84（m=0,1...）
高斯-塞德尔迭代法公式
x1m1=0∙1x2m0.2x3m0.72
x2m1=0.1x1m1-0.2x3m0.83
[x3H）=O∙2x1D+O.2x2m车）+0.84（m=0,1...）
用雅可比迭代公式得X_0720g。
830g。
84000
用高斯—塞德尔迭代公式得X1二°.72°00,0.9°200,1.16440
3.用牛顿法求方程X3-3x-仁0在1,2之间的近似根
（1）请指出为什么初值应取2？
（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案
3
3.解f（X）=x-3x-1,f
（1）=-3vθ,f
（2）=1>0
fX=3X2-3，fxT2x，f2=240,故取X=2作初始值
迭代公式为
Xn=XnI
f（Xn丄）_Xn丄-3Xn丄-1
fXn」XnA
<'X]1）
3（xn丄-1）n=1,2,...
3
2331x121.88889
X0=23汇（2-1）
x2
21.8888931
21.87945
31.888892-1
∣x2-x11=0.00944A0.0001
2O.879453+1d“2C
X3=2=1.87939
31.879452-1
X1.87939
X3-X2=0.00006：
0.0001
4.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分
计算题4.答案
dx
bb-a--I
4解梯形公式∙fxd八〒fa）fb）l
0-^~dx丄+丄]=0.75
应用梯形公式得01X210
Iaf（Xdx^^α[f（a）+4f（^b）+f（b]
辛卜生公式为a62
应用辛卜生公式得
111-010
Ipx止g[f（0）+4f（〒）十f（1J]
11,11I
[■4：
■]
6101.111=25
1236
得分
评卷
人
四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有
3次代数精确度
证明题答案
h
JfXdX=AVf-hAof0Afh
证明：
求积公式中含有三个待定系数，即AdHA,将f（x）=1,x,x'并令其左右相等，得
r
A丄+A0+A=2h
-h（AA-AS^O
223h2（Ad+A）=→∣3
13
4h
Aj-AIhA■
得3，3。
所求公式至少有两次代数精确度。
又由于
分别代入求积公式,
h3.h3h3
JXdX=33h
h4h4h4
』xdx=3」3h
hh4h
If（xdx=一f（_h）+-f（O）十一f（h）
故-333具有三次代数精确度。
一、填空（共20分，每题2分）
-
X2-
f
-
XJr
5-2
-
12
--
64
-
1.设X”=2∙3149541∙∙∙,取5位有效数字，则所得的近似值X=
2.设一阶差商
则二阶差商fxι,X2,X3二
3.设X=（2,一3，—1）,则11X血=，IlXIL=O
4.求方程x2-xT∙25=0的近似根，用迭代公式X='X425,取初始值×o=1,
那么Xl=o
y'f（χ,y）
5.解初始值问题∙y（XO）=yo近似解的梯形公式是yk∙1"o
（11）
A=
6.L51A贝yA的谱半径Q（A）=O
IXn,Xn1,Xn2,Xn3
8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-
塞德尔迭代都。
9、解常微分方程初值问题的欧拉（EUIer）方法的局部截断误差为。
123
y=1°23
10、为了使计算X-1（X-I）（X-I）的乘除法运算次数尽量的少，应将表达
式改写成。
填空题答案
fX2,X3-fX1,X22一一311
f（X1,X2,X3）=-飞
10、
1
y=10+11+-
x—U（Xj）I（x—1）丿丿
、计算题（共75分，每题15分）
1•设
3
21
f（X）=x,X0IX1=1,X2
4
h厂
（1）试求
丄9】
-44上的三次Hermite插值多项式：
'X使满足
5、
yk（Xk,yk）+f（xk+,yk+
H（Xj）=f（Xj）,j=0,1,2,...H（xι）=f（xι）
■-X以升幂形式给出。
（2）写出余项R（X）=f（X）-H（X）的表达式
'1'
屮（X）=—丄（屮（X）—3）,故W
2
-3
1
<
2
：
：
1
计算题1.答案
1、
（1）
1
故Xk卅=屮（Xk）=--ItP（Xk）—3Xk],k=0,1,∙∙∙.收敛
2
3∙试确定常数A,B,C和a,使得数值积分公式
W'血≈Af{-a）+⅛,（0）+CT/Ca）
GaUSS型
有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少？
它是否为的？
计算题3.答案
1016丄12
A=C=—,B=—,a=±J—
3、995,该数值
求积公式具有5次代数精确度，它是GaUSS型的
y'=f（x,y）
4.推导常微分方程的初值问题y（Xo）=yo的数值解公式:
h'''
yn1=yn丄3（yn14ynyn丄）
3
（提示：
利用SimPSOn求积公式。
）计算题4.答案
4、数值积分方法构造该数值解公式：
对方程y=f（χ）在区间LXnJ,Xn
上积分,
Xn牛
y（XnI^y（XnIrf（X,y（X））dX
得
Xn1
记步长为h,
对积分
Xn1.
.f（χ,y（χ））dχ
XnJ用SimPSOn求积公式得
Xn1.
Ff（X,y（X））d^26hIf（Xn丄）+4f（Xn）+f（Xn+）h£Wn^+4%+yQ
63
Xn1
h'''
yn+=yn丄+一（yn++4yn+yn」）所以得数值解公式：
3
Ix12X23x3=14
2x15x22x3=18
1Y
123[
A=LU=
21I
1-4
5、解：
3PU
-24一
令Ly=b得y=（14,—10,—72）t,
Ux=y得
X=（1,2,3）T
5.利用矩阵的LU分解法解方程组3X1X25χ^20
计算题5.答案
三、证明题（5分）
1•设
-卅,证明解
/W=O的NeWtOn迭代公式是线性收敛的
证明题答案
1、
证明：
因f（x）=（χ3_a）2,故f（x）=6x2（x3-a）,XnI=Xnf（Xn）
由NeWtOn迭达公式
XnI=Xn
n=0,1,...得
f（Xn）
（Xn-a）25xna
2n3=n2，n-0,1,…
6Xn（Xn—a）66Xn
因迭达函数Q（X）=2χ+2,而®（x）=5—ax^
66x263
又X=^a,贝UCP（Va'）=5-a（VT）（=5-1=1≠o,
63632
故此迭达公式是线性收敛的。
一、填空题（20分）
⑴.设X^2.40315是真值X=2.40194的近似值，则x*有位有
效数字。
（2）.对f（x）=X3x1,差商f[°,1,2,3]=（）。
（3）.设XWT,7）t,则IIXI"
nΣCk（A）（4）.牛顿一柯特斯求积公式的系数和k=0
填空题答案
（1）3
（2）1（3）7（4）1
二、计算题
1）.（15分）用二次拉格朗日插值多项式L2（X）计算Sin0.34的值
插值节点和相应的函数值是（0,0）,（0.30,0.2955）,（0.40,
0.3894）。
计算题1.答案
L2（x）
（χ—Xι）（χ—X2）
（Xo—X1）（X0—X2）
fo
（X—Xo）（x-X2）
（Xi-X0）（X1-X2）
fi
（X—Xo）（X—Xi）
（X2—X0）（X2—Xi）
I）=0.333336
2）.（15分）用二分法求方程f（x）=x3-x-仁0在［1.0,1∙5］区间内的一个
根，误差限；-10^
计算题2.答案
N=6
X1=1.25X=1.375X3=1.3125
2）x4=1.34375X5=1.328125X6=1.3203125
4x1+2x2+X3=11
*X1+4x2+2x3=18
3）.（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组∙2x1+X2+5x3=22,取
X（O）=（0,0,0）T,迭代三次（要求按五位有效数字计算）.。
计算题3.答案
3）迭代公式
X1（f=1（11-2x2k>-x3k））
4
皿宀=丄（18-XT〉-2x3k））
（k卅）
χ3丿
=1（22-2x1kI）
5
4
k
0
0
0
0
1
2.75
3.8125
2.5375
2
0.20938
11789
3.6S05
3
024043
2.5997
34839
4）.（15分）求系数A,A2和A3,使求积公式
111
f（x）dx"A1f（-1）A2f^1）A3f
（1）对于次数乞2的一切多项式都精确成立
33
计算题4.答案
5）.（10分）对方程组
J3x12x210x3=15
*10X[—4X?
—X3=52x1+10x2-4x3=8
4）
试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由
计算题5.答案
5）解：
调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优
10x1「4x2「x3=5
2x110x2-4x3=8
3x12x210x3=15
x2kI）
x3kI）
=1（-2XrI）
10
=110*
8）
15）
XrI）
■4x3k）
故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛•迭代格式为
取X（O）二（0,0,0）T,经7步迭代可得:
X*X（7）=（0.999991459,0.999950326,1.000010）T
三、简答题
1）（5分）在你学过的线性方程组的解法中，你最喜欢那一种方法，为
什么？
2）（5分）先叙述GauSS求积公式，再阐述为什么要引入它
一、填空题（20分）
1.若a=2.42315是2.42247的近似值，贝Ua有（）位有效数字.
2.∣o（x）,∣ι（x）,…，∣n（x）是以0,1,,n为插值节点的Lagrange插值基函数，则
n
ViIi（X）二
7（）.
3.设f（X）可微，则求方程X=f（X）的牛顿迭代格式是（）•
（kI）（k）
4.迭代公式X=BXf收敛的充要条件是。
（k*）（k）,_
5.解线性方程组Ax=b（其中A非奇异，b不为0）的迭代格式X-BXf
"9x1-X2=8
-
中的B称为（）.给定方程组Z-5x2=-4,解此方程组的雅可比迭代
格式为（）。
填空题答案
1.3
2.X
Xn—f（Xn）
XnI=Xn-'—
31—f（Xn）
4.P（B）<1
X1k^1（8x2k））
IXk十二?
（4+x1k>）
5.迭代矩阵，^5
得分
评卷
人
、判断题（共10分）
1.若f（a）f（b）：
：
：
O,则f（x）=O在（a,b）内一定有根。
（）
2.区间［a,b］上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项
式。
（）
3.若方阵A的谱半径（A）:
:
1,则解方程组Ax=b的JaCObi迭代法收
敛。
（）
4.若f（X）与g（X）都是n次多项式，且在n+1个互异点{Xi}^o上
f（Xj=g（χi）,贝Uf（X）=g（χ）O（）
1X-X2X
5.用2近似表示e产生舍入误差。
（）
判断题答案
1.×2.×3.×4.√5.×
得分
评卷
人
三、计算题（70分）
1.
二次插值基函数11（x）=（
）,f[0,3,4]=（
）,插值多项式
P2（X）=（
计算题1.答案
）,用三点式求得f（4）=（）.
（10分）已知f（0）=1,f（3）=2.4,f⑷=5.2,求过这三点的
由插值公式可求得它们分别为：
1.X（X-4）,右“存+存（X-3）,和263
2.（15分）已知一兀方程x'-3XT∙2=0
1）求方程的一个含正根的区间;
2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式（判断收敛性）;
3）给出在有根区间的NeWtOn迭代法公式。
计算题2.答案
f（0）=-1.2：
：
:
0,f
（2）=1.80又f（x）连续故在（0,2）内有一个正根
（2）
21
X=3.3x1.2/（XH（3x1.2）3,max（x）乞2<1,xnd=33xn1.2收敛X日0,2）∣1_N
1.23
3.（15分）确定求积公式
1
J（x）dx：
Af（-0.5）Bf（XI）Cf（0.5）的待定参数
（3）
使其代数精度尽量高，并确定其代数精度计算题3.答案
3.假设公式对f（x）=1,x,χ2,χ3精确成立则有
p^A+B+C=2
-0.5A+Bx1+0.5C=0
22
0.25A+Bx12+0.25C=—
3
-0.125ABX130.125C=0
32
解此方程组得A=C=—,B=——
33
求积公式为
11
Jf（x）dx龟一[4f（-0.5）—2f（0）+4f（0.5）],当f（x）=x—时，13
21、左边=-右边=-左边汇右边•代数精度为3o
4
y=3x+2y
Jy（O）=1
0：
：
X：
1
6
4.（15分）设初值冋题
（1）写出用EUIer方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；
⑵写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解
Aex-p2（x）∣笃
x（x_0.5）（x_1）|
的公式，并求解W"2,保留两位小数。
计算题4.答案
4.
（1）=y∏+0.1（3Xn+2yn）=0.3xrι+1.2yn
0.2
（2）yn1=y∏2（3x2y.）3（Xn0∙2）2y.1
=yn0∙1（6Xn2yn2y.10.6）
333
■yn1y^—Xn；'—
2440
…e3336333
迭达得y11.575,y22.585
2402x404如+40
5.（15分）取节点x0=0,x1=0.5,x2二1,求函数y乂」在区间［叩］上的二次插
值多项式p2（x）,并估计误差。
计算题5.答案
、填空题（每题4分，共20分）
1、数值计算中主要研究的误差有和2、设Ij（X）（J=0,1,2川n）是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则
n
ΣIj（X）=
Ij（Xi）=（i,j=0,1,2H∣n）；j」j
70
3、设Ij（X）（J"，1,2川n）是区间[a,b]上的一组n次插值基函数。
则插值型求积公
式的代数精度为;插值型求积公式中求积系数Aj二;且
n
、Aj=
j卫
0
4、辛普生求积公式具有—次代数精度，其余项表达式
为。
5、f（X）=X2+1,贝Uf[1,2,3]=,f[1,2,3,4]=O
填空题答案
1,j,
2.0,"j
b
3.至少是n
b-a
Jlk（x）dx
a
b_ab_a4⑷.•一
-（）4f（4）（）,（a,b）
4.31802
5.10
二、计算题
1、已知函数y=f（X）的相关数据
Γ
0
1
2
3
0
1
2
3
J=∕⅛）
3
9
27
3=P（—）
由牛顿插值公式求三次插值多项式B（X）,并计算2的近似值
解：
差商表
计算题1.答案
由牛顿插值公式:
4328
P3（x）=N3（x）=；x3—2x2+3x+l,
-1413I281
3:
P3（c）（）3-2（）2（）仁2
232232
y」yX1,
y（0）=1-
X（0,0.6）
。
2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长h=0∙1，
计算题2.答案
f（x,yH-yx1,y。
==1,^0.1,yn1Tn∙0.1（Xn—yn）,（n=0,1,2,3川I）y0=1,
yk=1.000000；1.000000；1.010000；1.029000;解：
1.056100;1.090490;1.131441.
3、（15分）确定求积公式
h
.J（x）dχ:
AOf（-h）Af（O）Af（h）
。
中待定参数A的值（i=°,1,2）,使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。
计算题3.答案
14
&=Ah,Alh
33。
2
:
分别将f（x）J,x,x,代入求积公式，可得
3
f（x）=X时求积公式成立，而
4
f（x）=X时公式不成立，从而精度为
3。
4、（15分）已知一组试验数据如下：
1
2
3
4
5
£
4
4.5
6
S
8.5
求它的拟合曲线（直线）
计算题4.答案
5a15b=31
解：
设y=abx则可得15a55b=1°5∙5
于是a=2∙45,b=1.25即y=2.45+1.25xO
3
5、（15分）用二分法求方程f（x）=x-X-1在区间［1,1∙51内的根时，若要求精确到小数点后二位，
（1）需要二分几次；
（2）给出满足要求的近似根。
计算题5.答案
解：
6次;x*:
1∙32o
2x13x24x3=6,
3x15x22x3=5,
&（15分）用列主元消去法解线性方程组4x13x230x3=32∙
计算题6.答案
■2
3
4
6、
<4
330
32
4
330
32、
3
5
2
5
T
3
5
2
5
T
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