空间与图形.docx
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空间与图形
2011年10月10日
2011-10-1016:
17:
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专题讲座
初中数学中空间与图形课堂教学设计
罗琳北京十二中
本节课，我们研究的主要内容是“初中数学中空间与图形课堂教学设计”。
主要从以下三个方面来进行具体研究：
（一）《初中阶段“空间与图形”的教学内容标准》
（二）《“空间与图形”课堂教学设计的具体要求》
（三）《“空间与图形”课堂教学设计的注意问题》
首先，我从理论的层面，谈谈对于初中阶段“空间与图形”的教学内容标准的认识。
（一）《初中阶段“空间与图形”的教学内容标准》
“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间、并进行交流的重要工具。
在初中学段中，也就是7—9年级，学生将探索基本图形（直线、圆）的基本性质及其相互关系，进一步丰富对空间图形的认识和感受，学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念。
初中学段中，推理与论证的学习从以下几个方面展开：
在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理的思考与表达；在积累了一定的活动经验与图形性质的基础上，从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想。
在教学中，应注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程；应注重对证明本身的理解，而不追求证明的数量和技巧。
证明的要求控制在《数学课程标准》所规定的范围内。
正确理解《数学课程标准》中关于“空间与图形”的教学内容标准，这是我们实际进行教学设计的标尺。
下面，我结合一个具体的教学实例---《旋转变换》教学设计来谈谈“空间与图形”课堂教学设计的具体要求。
（二）《“空间与图形”课堂教学设计的具体要求》
教学设计类似于打仗之前的作战方案，它是教学结构的安排和教学环节的部署。
教学设计一般要重点关注以下几个方面：
1、教学内容的研究：
教学设计时应明确课堂教学中要产生哪些新的知识点，分析这些知识在数学体系中的地位和作用，了解它们与学生已有的知识间有着怎样的联系与区别。
教学设计时还应研究通过课堂教学让（给）学生归纳出哪些重要的数学思维方法。
教学内容基于教材但不局限于教材，正所谓用教材去教，而不是单纯的教教材。
在《旋转变换》的教学设计中，通过对教学内容的研究，明确了本节课是在平移变换的基础上学习旋转变换，它是数学课程标准中《空间和图形》的一个新内容。
这节课充分体现了新课程所倡导的“从生活走进课程，从课程走进社会”的理念。
旋转变换是现实生活中广泛存在的现象，也是进行图案设计的重要工具。
因此，在具体设计学生学习旋转变换的概念和探索它的基本性质的教学环节时，根据教学内容，把握“生活----数学----生活”的设计原则，不仅可以使学生感受到旋转变换与实际生活密切相关，而且使学生掌握有关数学画图的操作技能，增强对图形欣赏的意识，形成初步的审美能力。
2、学生状况的研究：
知己知彼百战不殆，教学也是一样。
应分析学生的知识基础、认知能力、学习习惯等，这样才能有针对性地制定出恰当的教学目标，才能选取有效的教学方法和教学手段，才能使我们的教学更加适应学生，而不是让学生来适应我们的教学。
明确了《旋转变换》的教学内容后，了解到本节课的教学对象是九年级学生，通过前面对平移变换的系统学习，学生对于图形变换已经有所认识，积累了一定的图形变换的数学活动经验。
同时九年级学生已经具备了较好的空间想象能力和一定的创新意识，这些对本节课的学习都很有帮助。
旋转变换是图形变换中难度较大的一种，图形也较为复杂，学生对旋转图形形成过程的认识会有一定的困难。
充分了解了学生的状况，教学设计中采用启发讲授、小组讨论、合作探究相结合的教学方式。
在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、分析和动手操作，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程。
3、教学目标的制定：
教学目标是教学前预设的需要完成的教学任务，是教学中需要达到的教学效果的标准。
教学目标的制定要依据课标，还要针对学生的认知状况。
教学目标要具体，要多用些显性化的动词，如：
使学生能识别……，让学生在经历……的过程中获得……，使学生会做……，使学生能解决……的问题等等。
根据数学课程标准中关于“旋转变换”的教学要求，结合学生的实际情况，确定了本节课的教学目标：
①使学生通过具体实例认识旋转变换，理解旋转变换的概念和基本性质，并能按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
②使学生经历对旋转图形的欣赏、分析、画图等过程，掌握有关画图的操作技能；通过多角度地认识旋转图形的形成过程，培养学生的发散思维能力。
③通过师生互动、合作交流以及多媒体教学软件的使用，使学生发现旋转变换所蕴含的美，激发学生学习数学的兴趣。
4、教学重点难点的确定：
教学重点应是所必须完成的教学内容中最核心、最本质的部分，教学难点是教学中抽象难解、学生思维障碍较大、问题复杂不易掌握等内容。
在重、难点的确定之前，要认真分析本节课的数学本质及学生的思维障碍，要设计出突出重点、突破难点的具体的方式方法。
一般通过教学内容的研究，可以确定本节课的教学重点；通过学生状况的研究，可以确定本节课的教学难点。
因此，“旋转变换的概念和基本性质，按要求作出简单平面图形旋转后的图形”是本节课的教学重点，“探索旋转变换的基本性质”是本节课的教学难点。
5、教学过程的设计：
教学过程的设计是教学实施过程的整体规划，是施教过程中具体环节的设计，包括教学实施中的结构安排、教学流程的设置。
教学设计中应体现出课堂的引入、教师的讲解、课堂的设问、学生参与教学活动的方式方法、例题的安排、教学内容的反馈、教师的指导、多媒体的使用、课堂内容的小结、课后练习等内容的具体设计。
教学设计一般分为引入新课、学习新知、应用新知、课堂小结、布置作业等五个环节，需要设计出在具体的教学环节中，运用怎样有效的教学方法、实施哪些必要的教学手段、采取何种的交流方式等去完成教学目标。
教学过程的设计要具体且具有可操作性。
（1）引入新课：
数学知识是数学问题中特有的本质属性，具有概括性和抽象性。
在空间与图形的教学设计中，新课的引出大多采用列举事例、归纳概括的方式。
空间与图形中的许多数学知识都来源于现实世界，教学设计中要从学生所熟悉的日常生活或生产实际中常见的事例引出。
《旋转变换》具体教学设计：
因为学生在前面的学习中，已经研究了平移变换。
所以，我通过开门见山地向学生提出问题来引入新课：
提问：
你能举出生活中与旋转现象有关的例子吗？
学生举出很多与旋转现象有关的生活实例，我向学生说明：
在生活中，我们经常见到钟表的指针、电风扇的扇叶、车轮等，在它们的转动过程中，就包含着我们今天要学习的数学知识---旋转变换。
（2）学习新知：
知识形成的关键是把握知识中所揭示的本质属性，分清不同知识间的联系与区别。
教学中可运用多角度、多渠道、多方式的教学手段去呈现知识。
数学知识是从一些数学问题、数学现象中产生的，这时应让学生经历观察、比较、分析、归纳这些数学现象的过程，从而真正理解知识的形成过程。
《旋转变换》具体教学设计：
a.认识旋转变换
在学生对旋转有了一定的感性认识后，我通过四个问题继续引导学生进行思考和探索，实现对旋转变换概念本质的认识。
问题1：
这些旋转现象有共同的特点吗？
学生先独立思考，然后与同桌进行交流，我适时安排课件的动画演示，引导学生观察生活中的旋转现象，抽象出数学图形的旋转变换的特点。
学生回答问题后，我引导其他学生修改、补充，总结出这些旋转现象的共同特点是“一个图形沿某个方向绕定点转动”。
问题2：
你能尝试叙述一下“旋转变换”的概念吗?
我引导学生类比“平移变换”的概念进行思考，在学生回答的基础上，修改、补充，达成共识后我进行板书．
（板书）在平面内，将一个图形绕一个定点沿顺时针或逆时针方向转动一个角度，得到一个新的图形，这样的图形运动称为旋转变换，简称旋转。
我接着引导学生讨论：
问题3：
你认为在旋转变换的概念中，哪些是关键的字词？
学生独立思考后进行回答，在其他学生补充后，我指出：
“定点、方向、角度”是旋转变换的概念中的三个重要的关键词，它们也是影响旋转的三个重要因素，并结合多媒体课件演示介绍和旋转变换有关的知识：
定点O称为旋转中心，
转动的角称为旋转角，
如果图形上的点A经过旋转到点A′，
那么这两个点叫做旋转的对应点。
问题4：
钟表的指针在转动过程中，其形状、
大小是否发生改变？
电风扇扇叶的转动呢？
学生就问题自由发言，发表自己的看法，
最后达成共识。
我结合学生的发言指出：
“旋转不改变图形的形状和大小”，这是对概念的进一步理解和认识，并进行板书。
b探究旋转的性质
在学生理解了旋转的概念后，我引导学生探究旋转的性质。
这个内容的教学是本节课的难点。
我采用“观察—思考—测量—推广—归纳”的模式展开教学，一步步引导学生进行探究，突破难点。
我先用多媒体课件演示一个图形的旋转过程，请学生仔细观察。
观察如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，
△ABD经过旋转后到达△ACE的位置。
然后，结合此图形的旋转过程我提出三个的思考题。
思考
（1）旋转中心是哪一点？
旋转了多少度？
（2）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M旋转到了什么位置？
（3）请写出图中所有的旋转的对应点。
在学生分小组进行交流讨论后，我请学生利用我提供的教具----三角形纸板，在实物投影上一边演示操作一边回答问题，其他同学给予补充。
答案：
（1）旋转中心是点A，逆时针旋转了60°；
（2）点M转到了AC的中点N的位置上；
（3）旋转的对应点：
点B对应点C，点D对应点E，点M对应点N。
在学生明确了此图中的“旋转中心、旋转角度和旋转的对应点”后，我安排学生进行动手测量。
测量
（1）每组对应点与旋转中心连线所成的角的度数。
（2）每组对应点与旋转中心所连线段的长度。
通过测量你有什么发现吗？
学生拿到下发的图形（图2），以小组为单位进行动手
测量，并由各小组的代表进行汇报，师生共同总结得出：
每组对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，每组对应点到旋转中心的距离相等。
师生达成共识后，我继续引导学生思考：
你的发现是否可以推广到一般情况呢？
学生和我一起借助几何画板课件的演示进行观察、分析和验证。
推广
（几何画板课件的演示）
如图，△ABC绕某一点O旋转一定角度后到达△A′B′C′的位置。
①观察图中每组对应点与旋转中心所连线段的长度的关系，每组对应点与旋转中心连线所成的角度的关系，上述结论是否成立？
②改变点O的位置，再对△ABC作旋转变换，上述结论是否仍然成立？
在学生回答问题的基础上，我引导学生对以上结论进行归纳。
归纳
旋转的性质：
任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
（3）应用新知：
在教学设计中通过例题和练习达到应用、巩固新知的目的。
教学中，例题和练习能承上启下，引入新概念，又能加深对概念、公式、法则、定理的理解；还能启迪学生的思维，培养学生的能力，发展学生的智力，举反例还能证明假命题，揭示错误根源。
教学设计中应充分发挥例题和练习的作用，并着眼于培养学生的创新意识，让学生掌握学习的主动权，激发求知欲望，提高课堂教学的效益。
《旋转变换》具体教学设计：
[例1]如图3，△ACB与△ADE是两个全等的等腰直角三角形，∠ACB和∠ADE都是直角，点C在AE上，△ACB以某个点为旋转中心逆时针旋转一定角度后与△ADE重合。
（1）请指出其旋转中心与旋转角度；
（2）如果再将图3作为“基本图形”绕着A点顺时针连续旋转组合得到图4，那么图4是图3通过几次旋转组合得到的？
每次旋转了多少度？
答案：
（1）旋转中心是点A，旋转角度是45°；
（2）图4是图3绕着A点顺时针通过3次旋转组合得到的，旋转角度分别为90°、180°、270°。
图4
例1由学生独立思考、发言讨论完成，我通过激励性评价明确正误。
通过例1的讲解，使学生巩固旋转的概念，初步认识旋转图形的形成过程。
完成例1的教学后，我用动画把图4补充成一个漂亮的风车图案（图5），用这个实例说明旋转与现实生活联系紧密，许多美丽的图案可以由旋转设计而成。
当学生对旋转变换的概念有了一定的理解后，我开始例2的教学。
例2是请学生按照题目要求完成作图，由三个不同层次的小题组成。
[例2]请按照题目要求完成作图。
（1）如图6，画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的三角形。
分析：
假设点B、A的对应点为B′、A′，则∠BCB′、∠ACA′都是旋转角，且∠ACA′=∠BCB′=90°，CB′=CB，CA′=CA．
答案：
见图7．
第
（1）小题的设计目的是使学生会按题目给出的旋转中心、旋转方向和旋转角度画出旋转后的三角形。
（2）如图8，△ABC绕点C顺时针旋转后，点B的对应点为点B′，试确定点A的对应点的位置，并画出旋转后的三角形。
分析：
假设点A的对应点为A′，则∠BCB′、∠ACA′都是旋转角，且∠ACA′=∠BCB′=90°，CB′=CB，CA′=CA．
答案：
见图9．
第
（2）小题是在第
（1）小题的基础上，使学生能根据题目给出的一组对应点找到旋转方向、旋转角度，并画出旋转后的三角形。
（3）如右图，△ABC绕点C顺时针旋转后，B的对应点为点B′。
试确定点A的对应点的位置，并画出旋转后的三角形。
分析：
假设点A的对应点为A′，则∠BCB′、∠ACA′都是旋转角，
且∠ACA′=∠BCB′，CB′=CB，CA′=CA．
解：
①联结CB′；
②以AC为一边作∠ACF，使∠ACF=∠BCB′；
③在射线CF上截取CA′=CA；
④联结B′A′．
下图中的△A′B′C就是△ABC绕点C按顺时针旋转后的图形。
第（3）小题是在第
（2）小题的基础上，当旋转角不再是特殊角、同时没有网格背景时，使学生能根据题目给出的一组对应点找到旋转方向、旋转角度，并画出旋转后的三角形。
通过例2的教学，使学生在动手画图的过程中，理解旋转的性质，掌握有关画图的操作步骤，认识旋转图形的形成过程。
教学中，我要求学生先独立画出图形再进行小组交流，并请学生利用实物投影叙述作图过程。
完成例2的教学后，我请学生结合自己的作图过程进行小结：
如何按要求作出简单平面图形旋转后的图形？
在学生交流的基础上，我进行评价，师生达成共识：
按题目要求找到旋转中心、旋转方向、旋转角度和旋转的对应点是作图的关键。
为了让学生能进一步多角度地认识旋转图形的形成过程，培养学生的发散思维能力，我将课本的练习第2题改编成了一道开放性的拓展练习。
[拓展练习]如图10，点O是六个正三角形的公共顶点，这个图案可以看作是哪个“基本图形”以点O为旋转中心，经过怎样旋转组合得到的？
请同学们以小组为单位进行探究，看哪个小组得到的方案最多？
在小组讨论的基础上，请学生展示各种方案：
（1）图11和图12是分别以“等边三角形”、“折线”为基本图形，以点O为旋转中心顺时针旋转5次组合得到的，旋转角度分别为60°、120°、180°、240°、300°。
（2）图13和图14是分别以“一个内角为60°的菱形”、“一个底角为60°的等腰梯形”为基本图形，以点O为旋转中心顺时针旋转4次组合得到的，旋转角度分别为60°、120°、180°、240°。
通过这道拓展练习的分析和讲解，让学生在动手实践的过程中，培养学生的观察能力和创新意识，激发了学生的潜力。
（4）课堂小结：
课堂小结是对一节课的浓缩概括、重点提炼，运用得好可起到画龙点睛的作用。
一般情况下课堂小结要突出如下的几个方面：
重点知识的回顾、典型思想方法的归纳、易混易错内容的提示以及学生学习中的突出感受等。
根据教学内容、特点也不必面面俱到。
《旋转变换》具体教学设计：
为了使学生对本节课所学内容有一个整体的感知，我向学生提出三个问题：
本节课我学会了……、使我感触最深的是……、我感到最困难的是……
学生在自由讨论、发言补充的过程中，回顾了本节课学习的内容和重点。
结合学生的发言，我给出评价和指导：
通过这节课的学习，同学们要能正确理解旋转变换的概念及其基本性质，并能按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
生活中处处有数学的影子，只要留心观察身边的事物，开动脑筋，就能用数学知识解决许多的生活实际问题。
（5）课后作业：
课后作业需根据学生情况分层布置，一般分为“基础题”和“能力题”。
“基础题”促进知识的巩固；“能力题”供学有余力的学生完成，激发学生探究新知的欲望，也为以后的教学埋下伏笔。
不同层次的作业让学生自主选择，通过个性化的学习，让不同能力的学生在数学上得到不同的发展。
《旋转变换》具体教学设计：
A．基础题：
课后习题第48页第1、2、3题。
B．实践题：
小小设计师
如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标纸上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形，你会得到一个美丽的“立体图形”!
但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！
第1题是基础题，加深知识的巩固；第2题是实践题，供学有余力的学生完成，让学生在坐标系中尝试画出旋转后的图形，感受图形上点的坐标与图形旋转之间的关系，发展学生的形象思维能力和数形结合意识，并为以后的教学埋下伏笔。
当然，教学设计还应包括板书设计、教学反思等方面，时间关系在此不详细说明了。
（三）《“空间与图形”课堂教学设计的注意问题》
1、教学目标的制定：
教学目标的制定是教学设计中比较重要的环节，也是教师感到困难的环节。
首先，请老师们对比两位教师制定的《三角形边的性质》的教学目标：
教师1：
①知识与技能：
掌握三角形三边关系的定理及推论，用三角形三边关系的定理及推论解决实际问题。
②过程与方法：
通过学生活动，让学生经历探究物体与几何图形的关系和变换过程，培养学生科学而有序地思考问题的能力，发展学生合情推理能力和演绎推理能力，使学生学会与人合作，能与他人交流思维的过程和结果，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点。
③情感态度与价值观：
通过学生活动的开展，创设问题情境，激发学生对数学的好奇心和求知欲，使学生在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，体验数学活动中充满着的探索和创造，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯，体验实际生活中三角形带来的特殊的美和对称的美。
教师2：
①使学生理解三角形边的性质，初步学会用三角形边的性质解决一些简单问题。
②通过探究活动使学生经历观察、实验、猜想、验证等数学活动过程，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯，初步发展学生合情推理能力和发散思维能力。
③通过师生互动、合作交流以及多媒体教学软件的使用，使学生体验实际生活中三角形带来的特殊的美和对称的美，激发学生学习数学的兴趣。
通过对比，老师们很容易发现问题，分出优劣。
因此，在制定教学目标时，要注意以下两个问题：
一方面：
教学目标的制定要依据课标，还要针对学生的认知状况，切记不要追求“高”、“大”、“全”。
目标过高，学生难以达到；目标过大，学生难以完成；目标太全，教学难以实现。
教学目标可以使用“了解（认识）、理解、掌握、灵活运用”等刻画知识技能的目标动词，也可以使用“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的过程性目标动词。
另一方面，教学目标应包括本节课对“知识技能、数学思考、解决问题、情感与态度”等四个方面的要求。
但这四个方面的目标是一个密切联系的有机整体，数学思考、解决问题、情感与态度的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提。
所以，在教学目标的具体表述中，这四个方面的要求是无法严格分开的，也就无需将教学目标具体到哪一条是“知识与技能”、哪一条是“过程与方法”、哪一条是“情感态度和价值观”了。
2、数学活动的安排：
每一门学科都有自己独特的学习任务需要完成。
作为数学课，更应该体现的是“数学味”。
而过浓的“数学味”容易让学生望而生畏，降低学生学习数学的兴趣。
数学课程标准实施后，数学课堂教学，特别是“空间和图形”的教学，已经逐渐成为“数学活动”的教学，通过“数学活动”创造一个生动活泼、主动求知的数学学习环境，激发学生的求知欲。
但愈演愈烈的“数学活动”一定程度上也会冲击了数学“双基”的教学，冲淡了数学课独特的“数学味”。
《三角形边的性质》新课引入环节：
（教学设计1）上课伊始利用大屏幕向学生展示一个数学活动的内容，通过这个活动引导学生发现问题，从而引入新课。
动手试一试：
你能摆出多少个不同的三角形？
（1）用3根长度相等的棍子首尾依次相接，能摆成一个三角形吗？
（2）用4根长度相等的棍子呢？
5根呢？
6根呢？
请大胆尝试，把活动中产生的每一个不同的三角形都摆出来，并把这些三角形固定在纸上。
学生分小组活动，活动结束后，我首先请几个小组派学生代表上讲台展示本组的活动结果。
然后对学生的数学活动进行小结，并提出新的问题。
发现问题：
（1）为什么4根棍子无法拼成三角形？
（2）你还发现其它不能拼成三角形的情况了吗？
可在实际的教学环节中，出现了意外的情况：
师：
下面请×××同学代表第1小组进行汇报。
（学生将固定好的三角形一一向同学展示，我及时给予激励评价。
）
师：
×××同学说的非常好！
通过刚才的数学活动，其他小组还有不同意见吗？
（我本以为这个问题学生的答案是“没有了！
”，我就可以顺理成章地进行下面的教学了，而我却意外地看到了一双高高举起的手……）
师：
×××同学你有什么不同的想法？
生：
老师，我发现我能用4根长度相等的棍子摆成一个三角形。
（我感觉一楞，心想：
“怎么可能”，于是示意让学生将摆好的三角形拿到前面来给全班同学展示一下。
等我看到学生的三角形，才发现问题。
）
原来课前我要求学生准备一些长度相等的棍子，准备用于课上的数学活动，大部分学生带来的都是牙签，这些牙签并不能严格保证“长度相等”。
所以在课上实际进行数学活动的时候，很多学生就摆出了边长分别为1、1、2的三角形。
我只好再花好几分钟解释这个问题，才能进行下面的教学环节。
另外，学生在完成“摆三角形”的数学活动中，由于我给出的问题太多，学生活动的时间也稍显过长。
而在
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