高二上期数学文科复习知识点总结推荐文档.docx
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高二上期数学文科复习知识点总结推荐文档
知识点梳理
一、立体几何
1.多面体的结构特征
(1)棱柱Error!
(2)棱锥Error!
(3)棱台棱锥被平行于棱锥底面的平面所截,截面与底面之间的部分.
2.旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一条直角边所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
3.直观图
(1)画法:
常用斜二测画法.
(2)规则:
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.
②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
4.三视图
(1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
(2)三视图的画法
①基本要求:
长对正,高平齐,宽相等.
②画法规则:
正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽;看不到的线画虚线
5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面
积公式
S圆柱侧
=2πrl
S圆锥侧
=πrl
S圆台侧=
π(r+r′)l
6.空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
表面积
体积
柱体
(棱柱和圆柱)
S表面积=S侧+2S底
V=Sh
锥体
(棱锥和圆锥)
S表面积=S侧+S底
1
V=3Sh
台体
(棱台和圆台)
S表面积=S侧+S上
+S下
1
V=3(S上+S下+
S上S下)h
球
S=4πR2
4
V=3πR3
二、点线面的位置关系
1.四个公理
公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.公理2:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行.2.空间直线的位置关系
(1)位置关系的分类:
Error!
(2)异面直线所成的角:
π
①定义:
设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(0,]
②范围:
2.
(3)定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
3.空间直线与平面,平面与平面之间的位置关系
图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交
a∩α=A
1个
平行
a∥α
0个
在平面内
a⊂α
无数个
平面与平面
平行
α∥β
0个
相交
α∩β=l
无数个
4.直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,则该直
线与此平面平行(线线平行
⇒线面平行)
∵l∥a,a⊂α,
l⊄α,∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
∵l∥α,l⊂β,
α∩β=b,
∴l∥b
5.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平
行⇒面面平行”)
∵a∥β,b∥β,a∩b=P,a⊂α,b⊂α,∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
∵α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,
∴a∥b
6.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义:
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理:
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直
Error!
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
Error!
⇒a∥b
7.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面互相
垂直
Error!
⇒α⊥β
性质定理
两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直
线垂直于另一个平面
Error!
⇒l⊥α
三、直线与方程
1.直线的倾斜角
(1)定义:
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为[0,π).
2.直线的斜率
(1)定义:
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan_α,倾斜角是90°的直线没有斜率.
(2)过两点的直线的斜率公式:
y2-y1y1-y2
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=x2-x1=x1-x2.3.直线方程
(x1≠x2,y1≠y2)
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为
a,b(a,b≠0)
xy
a+b=1
不包括垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0(A,B
不全为0)
4.两直线的位置关系
斜截式
一般式
方
程
y=k1x+b1
y=k2x+b2
A1x+B1y+C1=0(A2+B2≠0)
A2x+B2y+C2=0(A2+B2≠0)
相交
k1≠k2
A1B2-A2B1≠0
(当A2B2≠0时,记A1≠B1)
为
A2B2
垂直
1
k1=-k2或
k1k2=-1
A1A2+B1B2=0
(当B1B2≠0时,记A1A2-1)
为·=
B1B2
平
k1=k2
Error!
或Error!
行
且b1≠b2
(当A2B2C2≠0时,记A1B1≠C1)
为=
A2B2C2
5.两直线的交点
设两条直线的方程是l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0,两条直线的交点坐标就是方程组Error!
的解,若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点坐标;若方程
组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;反之,亦成立.
6.几种距离
(1)两点间的距离:
平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式d(A,B)=|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2.
(2)点到直线的距离:
|Ax1+By1+C|
点P(x1,y1)到直线l:
Ax+By+C=0的距离d=.(3)两条平行线间的距离:
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=
四、圆与方程
|C1-C2|
A2+B2.
1.圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
(r>0)
圆心:
(a,b),半径:
r
一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
(DE)
-,-
圆心:
22,
1
半径:
2D2+E2-4F
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)23.直线与圆的位置关系(半径r,圆心到直线的距离为d)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ=0
Δ>0
几何观点
d>r
d=r
d<r
4.圆与圆的位置关系(两圆半径r1、r2,d=|O1O2|)
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d>r1+r2
d=r1+r2
|r1-r2|<d<r
1+r2
d=|r1-r2|
d<|r1-r2|
五、圆锥曲线
1.椭圆的定义
(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆:
①在平面内;
②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数;
③常数大于|F1F2|.
(2)焦点:
两定点.
(3)焦距:
两焦点间的距离.2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2y2
a2+b2=1(a>b>0)
y2x2
a2+b2=1(a>b>0)
图形
性质
范围
-a≤x≤a
-b≤y≤b
-b≤x≤b
-a≤y≤a
对称性
对称轴:
x轴、y轴
对称中心:
(0,0)
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
ce=a,e∈(0,1)
a,b,c
的关系
c2=a2-b2
3.双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线
(1)在平面内;
(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值;
(3)这一定值一定要小于两定点的距离.
4.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2y2a2-b2=1(a>0,b>0)
y2x2a2-b2=1(a>0,b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
对称性
对称轴:
坐标轴对称中心:
原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
by=±ax
ay=±bx
离心率
c
e=a,e∈(1,+∞),其中c=a2+b2
实虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴
长.
a、b、c的
关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
5.抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线:
(1)在平面内;
(2)动点到定点F距离与到定直线l的距离相等;
(3)定点不在定直线上.
6.抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
p的几何意义:
焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y=0
x=0
焦点
p
F(2,0)
pF(-2,0)
pF(0,2)
pF(0,-2)
离心率
e=1
准线方程
px=-2
px=2
py=-2
py=2
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中
P(x0,y0)
p
|PF|=x0+2
p
|PF|=-x0+2
p
|PF|=y0+2
p
|PF|=-y0+2
7.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时
为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程.
即Error!
消去y,得ax2+bx+c=0.
(1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C
相交;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离.
(2)当a=0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.
(3)
弦长公式:
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=1+k2|x1-x2|
=
1
1+
=k2·|y1-y2|
=
六、简单的逻辑用语
1.命题
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其关系
(1)四种命题
一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,用⌝p和⌝q分别表示p和q的否定,于是四种命题的形式就是
原命题:
若p则q(p⇒q);逆命题:
若q则p(q⇒p);
否命题:
若⌝p则⌝q(⌝p⇒⌝q);
逆否命题:
若⌝q则⌝p(⌝q⇒⌝p).
(2)四种命题间的关系
(3)四种命题的真假性
①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.
②两个命题为逆命题或否命题,它们的真假性没有关系.
3.充分条件与必要条件
若p⇒q,则p叫做q的充分条件;若q⇒p,则p叫做q的必要条件;如果p⇔q,则p叫做q的充要条件.
4.逻辑联结词
命题中的或,且,非叫做逻辑联结词.“p且q”记作p∧q,“p或q”记作p∨q,“非p”
记作⌝p.
5.命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
⌝p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
6.全称量词与存在量词
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题,可用符号简记为∀x∈M,p(x),它的否定
∃x∈M,⌝p(x).
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题,可用符号简记为∃x∈M,p(x),它的否定
∀x∈M,⌝p(x).七、导数及其应用1.函数的平均变化率
一般地,已知函数y=f(x),x0,x1是其定义域内不同的两点,记
Δx=x1-x0,Δy=y1-y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0),则当Δx≠0时,商
Δy
=Δx称作函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])的平均变化率.
2.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义
函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率通常称为f(x)在x=x0处的导数,并记作f′(x0),即.
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))的
.
导函数y=f′(x)的值域即为.
3.函数f(x)的导函数
如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都是可导的,就说f(x)在开区间(a,b)内可导,其导数也是开区间(a,b)内的函数,又称作f(x)的导函数,记作.4.基本初等函数的导数公式表
原函数
导函数
f(x)=C
f′(x)=
f(x)=xα(α∈Q*)
f′(x)=(α∈Q*)
F(x)=sinx
f′(x)=
F(x)=cosx
f′(x)=
f(x)=ax(a>0,a≠1)
f′(x)
=(a>0,a≠1)
f(x)=ex
f′(x)=
f(x)=logax(a>0,a≠1,且x>0)
f′(x)
=(a>0,a≠1,且
x>0)
f(x)=lnx
f′(x)=
5.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′
=;
(2)[f(x)g(x)]′=;
f(x)
(3)g(x)′=[g(x)≠0].
6.复合函数的求导法则:
设函数u=φ(x)在点x处有导数ux′=φ′(x),函数y=f(u)在点x处的对应点u处有导数yu′=f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处有导数,且y′x=y′u·u′x,或写作f′x(φ(x))=f′(u)φ′(x).
7.导数和函数单调性的关系:
(1)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是函数,f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为区间;
(2)若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是函数,f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为区间;
(3)若在(a,b)上,f′(x)≥0,且f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a,b)上为函数,若在(a,b)上,f′(x)≤0,且f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a,b)上为函数.
8.函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,
①如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x);
②求方程的根;
③检查f′(x)在方程的根左右值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得
;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得.
9.函数的最值
(1)函数f(x)在[a,b]上必有最值的条件
如果函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上,那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
①求函数y=f(x)在(a,b)内的;
②将函数y=f(x)的各极值与比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
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