高二上期数学文科复习知识点总结推荐文档.docx
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高二上期数学文科复习知识点总结推荐文档
知识点梳理
一、立体几何
1.多面体的结构特征
（1）棱柱Error!
（2）棱锥Error!
（3）棱台棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分．
2.旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一条直角边所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
3.直观图
（1）画法：
常用斜二测画法．
（2）规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°（或135°），z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
4.三视图
（1）几何体的三视图包括正（主）视图、侧（左）视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
（2）三视图的画法
①基本要求：
长对正，高平齐，宽相等．
②画法规则：
正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线
5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面
积公式
S圆柱侧
＝2πrl
S圆锥侧
＝πrl
S圆台侧＝
π（r＋r′）l
6.空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
表面积
体积
柱体
（棱柱和圆柱）
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
（棱锥和圆锥）
S表面积＝S侧＋S底
1
V＝3Sh
台体
（棱台和圆台）
S表面积＝S侧＋S上
＋S下
1
V＝3（S上＋S下＋
S上S下）h
球
S＝4πR2
4
V＝3πR3
二、点线面的位置关系
1．四个公理
公理1：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：
平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间直线的位置关系
（1）位置关系的分类：
Error!
（2）异面直线所成的角：
π
①定义：
设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
（0，]
②范围：
2.
（3）定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3.空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系
图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交
a∩α＝A
1个
平行
a∥α
0个
在平面内
a⊂α
无数个
平面与平面
平行
α∥β
0个
相交
α∩β＝l
无数个
4.直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直
线与此平面平行（线线平行
⇒线面平行）
∵l∥a，a⊂α，
l⊄α，∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”）
∵l∥α，l⊂β，
α∩β＝b，
∴l∥b
5.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平
行⇒面面平行”）
∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，
∴a∥b
6.直线与平面垂直
（1）直线和平面垂直的定义：
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
（2）直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
Error!
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
Error!
⇒a∥b
7.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相
垂直
Error!
⇒α⊥β
性质定理
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直
线垂直于另一个平面
Error!
⇒l⊥α
三、直线与方程
1.直线的倾斜角
（1）定义：
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
（2）倾斜角的范围为[0，π）．
2.直线的斜率
（1）定义：
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．
（2）过两点的直线的斜率公式：
y2－y1y1－y2
经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝x2－x1＝x1－x2.3．直线方程
（x1≠x2，y1≠y2）
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为
a，b（a，b≠0）
xy
a＋b＝1
不包括垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0（A，B
不全为0）
4.两直线的位置关系
斜截式
一般式
方
程
y＝k1x＋b1
y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0（A2＋B2≠0）
A2x＋B2y＋C2＝0（A2＋B2≠0）
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
（当A2B2≠0时，记A1≠B1）
为
A2B2
垂直
1
k1＝－k2或
k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
（当B1B2≠0时，记A1A2－1）
为·＝
B1B2
平
k1＝k2
Error!
或Error!
行
且b1≠b2
（当A2B2C2≠0时，记A1B1≠C1）
为＝
A2B2C2
5.两直线的交点
设两条直线的方程是l1：
A1x＋B1y＋C1＝0，l2：
A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组Error!
的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程
组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．
6.几种距离
（1）两点间的距离：
平面上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式d（A，B）＝|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2.
（2）点到直线的距离：
|Ax1＋By1＋C|
点P（x1，y1）到直线l：
Ax＋By＋C＝0的距离d＝.（3）两条平行线间的距离：
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝
四、圆与方程
|C1－C2|
A2＋B2.
1.圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）
标准
方程
（x－a）2＋（y－b）2＝r2
（r>0）
圆心：
（a，b），半径：
r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）
（DE）
－，－
圆心：
22，
1
半径：
2D2＋E2－4F
2.点与圆的位置关系
点M（x0，y0）与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系：
（1）若M（x0，y0）在圆外，则（x0－a）2＋（y0－b）2>r2.
（2）若M（x0，y0）在圆上，则（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2.（3）若M（x0，y0）在圆内，则（x0－a）2＋（y0－b）23.直线与圆的位置关系（半径r，圆心到直线的距离为d）
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
几何观点
d＞r
d＝r
d＜r
4.圆与圆的位置关系（两圆半径r1、r2，d＝|O1O2|）
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r
1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
五、圆锥曲线
1．椭圆的定义
（1）满足以下条件的点的轨迹是椭圆：
①在平面内；
②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；
③常数大于|F1F2|.
（2）焦点：
两定点．
（3）焦距：
两焦点间的距离．2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2y2
a2＋b2＝1（a>b>0）
y2x2
a2＋b2＝1（a>b>0）
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：
x轴、y轴
对称中心：
（0,0）
顶点
A1（－a,0），A2（a,0）
B1（0，－b），B2（0，b）
A1（0，－a），A2（0，a）
B1（－b,0），B2（b,0）
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
ce＝a，e∈（0,1）
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
3.双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线
（1）在平面内；
（2）动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；
（3）这一定值一定要小于两定点的距离．
4.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2y2a2－b2＝1（a>0，b>0）
y2x2a2－b2＝1（a>0，b>0）
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：
坐标轴对称中心：
原点
顶点
A1（－a,0），A2（a,0）
A1（0，－a），A2（0，a）
渐近线
by＝±ax
ay＝±bx
离心率
c
e＝a，e∈（1，＋∞），其中c＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴
长．
a、b、c的
关系
c2＝a2＋b2（c>a>0，c>b>0）
5.抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
（1）在平面内；
（2）动点到定点F距离与到定直线l的距离相等；
（3）定点不在定直线上．
6.抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y2＝2px（p＞0）
y2＝－2px（p＞0）
x2＝2py（p>0）
x2＝－2py（p>0）
p的几何意义：
焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O（0,0）
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
p
F（2，0）
pF（－2，0）
pF（0，2）
pF（0，－2）
离心率
e＝1
准线方程
px＝－2
px＝2
py＝－2
py＝2
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径（其中
P（x0，y0）
p
|PF|＝x0＋2
p
|PF|＝－x0＋2
p
|PF|＝y0＋2
p
|PF|＝－y0＋2
7.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时
为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x（或变量y）的一元方程．
即Error!
消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
（1）当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C
相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
（2）当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
（3）
弦长公式：
设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝1＋k2|x1－x2|
＝
1
1＋
＝k2·|y1－y2|
＝
六、简单的逻辑用语
1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2.四种命题及其关系
（1）四种命题
一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用⌝p和⌝q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是
原命题：
若p则q（p⇒q）；逆命题：
若q则p（q⇒p）；
否命题：
若⌝p则⌝q（⌝p⇒⌝q）；
逆否命题：
若⌝q则⌝p（⌝q⇒⌝p）．
（2）四种命题间的关系
（3）四种命题的真假性
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．
3.充分条件与必要条件
若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p叫做q的充要条件．
4.逻辑联结词
命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p且q”记作p∧q，“p或q”记作p∨q，“非p”
记作⌝p.
5.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
⌝p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
6.全称量词与存在量词
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x∈M，p（x），它的否定
∃x∈M，⌝p（x）．
（2）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题，可用符号简记为∃x∈M，p（x），它的否定
∀x∈M，⌝p（x）．七、导数及其应用1．函数的平均变化率
一般地，已知函数y＝f（x），x0，x1是其定义域内不同的两点，记
Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f（x1）－f（x0）＝f（x0＋Δx）－f（x0），则当Δx≠0时，商
Δy
＝Δx称作函数y＝f（x）在区间[x0，x0＋Δx]（或[x0＋Δx，x0]）的平均变化率．
2.函数y＝f（x）在x＝x0处的导数
（1）定义
函数y＝f（x）在点x0处的瞬时变化率通常称为f（x）在x＝x0处的导数，并记作f′（x0），即．
（2）几何意义
函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是过曲线y＝f（x）上点（x0，f（x0））的
．
导函数y＝f′（x）的值域即为．
3.函数f（x）的导函数
如果函数y＝f（x）在开区间（a，b）内每一点都是可导的，就说f（x）在开区间（a，b）内可导，其导数也是开区间（a，b）内的函数，又称作f（x）的导函数，记作．4．基本初等函数的导数公式表
原函数
导函数
f（x）＝C
f′（x）＝
f（x）＝xα（α∈Q*）
f′（x）＝（α∈Q*）
F（x）＝sinx
f′（x）＝
F（x）＝cosx
f′（x）＝
f（x）＝ax（a>0，a≠1）
f′（x）
＝（a>0，a≠1）
f（x）＝ex
f′（x）＝
f（x）＝logax（a>0，a≠1，且x>0）
f′（x）
＝（a>0，a≠1，且
x>0）
f（x）＝lnx
f′（x）＝
5.导数运算法则
（1）[f（x）±g（x）]′
＝；
（2）[f（x）g（x）]′＝；
f（x）
（3）g（x）′＝[g（x）≠0]．
6.复合函数的求导法则：
设函数u＝φ（x）在点x处有导数ux′＝φ′（x），函数y＝f（u）在点x处的对应点u处有导数yu′＝f′（u），则复合函数y＝f（φ（x））在点x处有导数，且y′x＝y′u·u′x，或写作f′x（φ（x））＝f′（u）φ′（x）．
7.导数和函数单调性的关系：
（1）若f′（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是函数，f′（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为区间；
（2）若f′（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是函数，f′（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为区间；
（3）若在（a，b）上，f′（x）≥0，且f′（x）在（a，b）的任何子区间内都不恒等于零⇔f（x）在（a，b）上为函数，若在（a，b）上，f′（x）≤0，且f′（x）在（a，b）的任何子区间内都不恒等于零⇔f（x）在（a，b）上为函数．
8.函数的极值
（1）判断f（x0）是极值的方法
一般地，当函数f（x）在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧，右侧，那么f（x0）是极大值；
②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f（x0）是极小值．
（2）求可导函数极值的步骤
①求f′（x）；
②求方程的根；
③检查f′（x）在方程的根左右值的符号．如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得
；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得．
9.函数的最值
（1）函数f（x）在[a，b]上必有最值的条件
如果函数y＝f（x）的图象在区间[a，b]上，那么它必有最大值和最小值．
（2）求函数y＝f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：
①求函数y＝f（x）在（a，b）内的；
②将函数y＝f（x）的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
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