完整版《实变函数》第一章集合doc.docx
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第一章集合（总授课时数8学时）
由德国数学家Cantor所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学课程．因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章仅介绍那些必不可少的集论知识．
§1、集合及其运算
教学目的引入集的概念与集的运算,使学生掌握集和集的基本运算规律.
本节重点DeMorgan公式是常用的公式.证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论
证,通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的运算,学生应理解其概念.
本节难点对集列极限的理解.
授课时数2学时
——————————————————————————————
一、集合的概念及其表示
集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几
何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握
以下朴素的说法：
“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．”
一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合作为元素的集合，也常称为集族或集类．
以后常用大写字母A,B,C,D,X,Y,ZL表示集合，用小写字母a,b,c,x,yL表示集合中的
元素．
如果a是集合A的元素，则说a属于A，记作aA，或说A含有a．
如果a不是集A的元素，则说a不属于A，记作aA，或说A不含有a．
有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：
只含有一个元素a的集合称为单元素集或独点集，可表示为{a}．
由n个元素a1,a2Lan所组成的集合，可表示为{a1,a2Lan}
由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为{1,2,L,n,L}．
第1页（共14页）
当集A是具有某性质P的元素之全体时，我们用下面的形式表示A：
A{x|x具有性质p}
例如，方程x210的解x的全体组成的数集是{x|x210}，
实际上就是{1,1}.
有时我们也把集{x|x
E,x具有性质p}改写成E[x具有性质p]．例如，设
f（x）
是定义在集合E上的一实函数，a是一个实数，我们把集
{x|xE,f（x）
a}写成
E[f（x）
a]或E[f
a]．
不含任何元素的集合称为空集，记作
．
设A，B是两个集，若
A和B的元素完全相同，就称
A和B相等，记作A=B（或
B=A）.
若集合A的元素都是集合
B的元素，就称为A是B的子集，记作A
B（或B
A），
读作A包含于B（或B包含A）．
若A
B且A
B,就称A是B的真子集，规定空集是任何集的子集．
由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理：
定理1
对任何集合A，B，C，均有
（1）A
A；
（2）若A
B,BC，则AC；
（3）A
BAB且BA．
二集合的运算
设A，B是两个集合，集合A与B的并集或并AUB{x:
xA或xB}
集合A与B的交集或交AIB{x:
xA且xB}
特别地，若AB，称A与B不相交；反之，则称A与B相交．
集合A减B的差集或差:
AB或AB{x:
xA但xB}
当BA时，称差集AB为B关于A的余集记作（CAB）．
当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集A的子集时，就称A
为基本集或全集，并把A的子集B关于A的余集CAB简称为B的余集，记为BC或CB.
并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设为一非空集合，并且对每一个
，指定了一个集合A,此时我们称{A|}是以为指标集的集族，集族
第2页（共14页）
{A|
}的并与交分别定义为:
UA
{x:
使x
A}
I
A
{x:
有x
A}
例设An
{x:
11
x1
1},nN,则
n
n
n
An
[1,0]
An
（2,1）
1
n
1
关于集合的并和交显然有下面的性质：
（见课本P9-P10）
更一般地有:
DeMorgan公式
（UA）c
IAc,（IA）c
UAc
证明（略）
注：
通过取余集，使A与AC，与互相转换.
三、集列极限
设A1,A2,L,An,L是一个集合序列，，其上限集和下限集分别定义为
上极限集：
limAn（或limsupAn）
{x:
x属于无限多个集合An}
{x:
存在无限多个An，使xAn}
n
n
{x:
N,nN,使xAn}
IUAn
N
1nN
下极限集：
limAn（或liminfAn）
{x:
除去有限个集外，有x
An}
{x:
当n充分大时，有xAn}
n
n
{x:
N,nN,有xAn}
UIAn
N1nN
注：
I
An
limAn
limAn
U
An
n
n
n1
n1
例：
设A2n[0,1],
A2n1[1,2]，则上极限集为
[0,2],下极限集为{1}
.
极限集
如果集列{An
}的上极限集与下极限集相等，即
limAnlimAnA
n
n
则称集列{An
}收敛，称其共同的极限为集列
{An}的极限集，记为：
limAnA
n
单调增集列极限
若集列{An}满足An
An1（n
N）,则称{An}为单调增加;
第3页（共14页）
若集列{An}满足AnAn1（nN）,则称{An}为单调减少;
定理2：
单调集列是收敛的
1）
如果集列{An}单调增加，则limAn
UAn
n
n
1
2）
如果集列{An}单调减少，则
limAn
I
An
n
n
1
例1：
设A2n1
（1
1
1
（
n,n）,n
N,则
1
）,A2n
n
n
limAn
（
），lim
An
（1,1]
n
n
例2：
设A2n1
[1,4
1],A2n
[1,1
1],nN,则
n
n
n
n
lim
An
[0,4）
，lim
An
（0,1]
n
n
小结本节介绍了集的基本概念
集的运算和运算性质
.
这些知识是本课程的基础.
证明两个集的相等是经常会遇到的
应掌握其证明方法
.DeMorgan公式很重要,
以后
会经常用到.集列的极限是一种与数列极限不同的极限
应正确理解其概念.
——————————————————————————————作业：
P305,7,8
练习题
1.设{An}为一集列：
n1
（1）作B1A1,BnAnUAk（n1），证明{Bn}为一列互不相交的集列，且
k1
nn
UAkUBk（n1,2,L）
k1k1
（2）若{An}是单调减少的集列，证明
A1（A1A2）（A2A3）L（AnAn1）L（IAk）,
k1
并且其中各项互不相交.
2.证明:
（1）
n
UI
An,
n
I
U
An
limAn
limAn
N
1nN
N
1n
N
（2）
limAn
limAn
n
n
（3）
{An}单调递增时，有limAn
limAn
limAn
UAn
n
n
n
n
1
（4）
{An}单调递减时，有limAn
limAn
limAn
I
1
An
n
n
n
n
第4页（共14页）
3.已知A2n
E,A2n1
F,（n1,2,L），求limAn和limAn
，并问limAn是否存在？
n
n
n
§2对等与基数
教学目的介绍映射,基数,等概念和它们的属性.
本节要点一一对应的思想与方法是贯穿本节的核心.基数的概念，讨论都要用一一对
应的方法.证明两个集对等或具有相同的基数,有时需要一定的技巧,因而具有一定难度,通过较多的例题和习题,使学生逐步掌握其中的技巧.
本节难点证明两个集对等或具有相同的基数.
授课时数2学时
——————————————————————————————
1映射的定义
在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉.其中函数的定义域通常是Rn的子集,值域
是实数集或者复数集.若将函数的定义域和值域换成一般的集,可得到映射的概念.
定义：
设X,Y是两个非空集合，若依照对应法则f，对X中的每个x，均存在Y中唯一
的y与之对应，则称这个对应法则f是从X到Y的一个映射，记作f:
XY
或：
设X,Y是两个非空集合，f是XY的子集，且对任意xX，存在唯一的yY
使（x,y）f，则f是从X到Y的一个映射.
注：
集合，元素，映射是一相对概念.
略：
像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）
在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射.除此之外,我们还经常会遇到许多其它
的映射.例如,定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射,求导运算可以看作是可导函
数集到函数集的映射,线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.
2集合运算关于映射的性质（像集）
定理1：
设f:
XY,A,B,A（）是X的子集，称{f（x）:
xA}为A的像集，
记作f（A），则有：
1）A
B
f（A）f（B）;
2）f
（AUB）
f（A）Uf（B）,一般地有f（UA）Uf（A）;
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3）f（AIB）f（A）If（B）,一般地有f（IA）If（A）;
证明的过程略
注：
f（AIB）f（A）If（B）一般不成立，如常值映射，等号成立当且仅当f为单射.
集合运算关于映射的性质（原像集）
定理2：
设f:
XY,AX,C,D,C（）是Y的子集，称{x:
f（x）C}为C的
原像集，记作f1（C）（f不一定有逆映射），则有：
1）C
D
f1（C）f1（D）;
1
1
1
一般地有：
1
1
2）f（CUD）
f（C）Uf（D）,
f（UC）
Uf（C）;
3）f
1（CI
D）
f
1（C）I
f
1（D）,一般地有：
f1（IC）
If1（C）;
4）f
1（C
D）
f
1（C）
f
1（D）;
5）f
1（Cc）
[f
1（C）]c;
6）A
f1[f（A）];
7）f[f1（C）]
C;
证明略.
注：
6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f为单射，7）等号成立当且
仅当f为满射.
3对等与势
1）定义
设A，B是两非空集合，若存在着A到B的一一映射（既单又满），则称A与B对等,记作A~B.约定~.
注：
（1）称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作A.
（2）势是对有限集元素个数概念的推广.
2）性质
a）自反性：
b）对称性：
c）传递性：
A~A;
A~BB~A;
A~B,B~CA~C;
例：
1）N~N奇数~N偶数~Z
第6页（共14页）
2）（1,1）~（
）
证明：
令
f:
x
tg（
x）
，则
f
是（
1,1）到（
）的一一映射.故
2
（
1,1）~（
）
注：
有限集与无限集的本质区别：
无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数
（对
等）且一定能做到，而有限集则不可能.
3）基数的大小比较
a）若A~B,
则称AB；
b）
1
B,则称
A
B；
A
到
B
有一个单射，也相当于
B
到
A
有一个满射.
若A~B
相当于：
c）若AB,且A
B，则称AB.
注：
不能用A与B的一个真子集对等描述
.如：
（1,1）~（1,1）
（
）
4
Bernstein定理
引理：
设{A:
}{B:
}
是两个集族，
是一个指标集，又
，
A
~B
而且{A:
}中的集合两两不交，{B
:
}中的集合两两不交，
那么：
UA
~UB
证明略
定理3:
（Bernstein定理）若有A的子集A*
，使B~A*,及B的子集B*
，使A~B*,则
A~B.即：
若A
B,B
A,则A
B.
证明：
根据题设，存在
A到B*上的一一映射
f，以及B到A*上的一一映射
g.令
A1
AA*，B1
f（A1），A2
g（B1），B2
f（A2），A3
g（B2），B3
f（A3），LL
由g（B）
A*知A2
g（B1）
A*,而A1
AA*，故A1与A2不交.从而A1,A2在f的
像B1,B2不交，B1,B2在g下的像A2,A3不交.
由A3A*,知A1与A3不交，故A1,A2,A3两两不交.从而A1,A2,A3在f的像B1,B2,B3
也两两不交，LL
f
从而A1,A2,A3,L两两不交，B1,B2,B3,L也两两不交且An~Bn（n1,2,L）,
所以
第7页（共14页）
f
UAn~UBn
n1n1
g
另外由Bk~Ak1（k1,2,L）,可知
g
UBk~UAk1
k1k1
g
又B~A*,所以
g
UAk1，A*
UAk1
（AA1）UAk1
AUAk
BUBk~A*
k1
k1
k1
k1
k1
BUBk~AUAk
k1k1
A（AUAk）U（UAk）~（BUBk）U（UBk）B
k1k1k1k1
证毕．
注：
要证AB，需要在A与B间找一个既单又满的映射；而要证AB，，只需找一个
单射即可；从而我们把找既单又满的映射转化成找两个单射.
例：
（1,1）~[1,1]
证明：
由（1,1）[1,1]（,）~（1,1）可知，（1,1）~[1,1]
——————————————————————————————作业：
P309,10
练习题
1.R1上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立一一对应？
2．证明:
若A
BC,A:
C,则A:
B:
C.
3.证明：
若A
B，A:
AC，则有B:
BC.
4.设F是[0,1]上的全体实函数所成的集合，而
M是[0,1]的全体子集所成的集合，则
F:
M.
§3、可数集合
教学目的介绍可数集概念及其运算它们的属性.
本节要点可数集是具有最小基数的无限集
.可数集性质十分重要，不少对等问题可以
与可数集联系起来,可数集证明技巧较强
通过较多的例题和习题
使学生逐步掌握.
本节难点证明集合可数.
第8页（共14页）
授课时数2学时
——————————————————————————————
１可数集的定义
与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为a或0
1,2,3,4,5,6LL
a1,a2,a3,a4,a5,a6LL
注：
A可数当且仅当A可以写成无穷序列的形式{a1,a2,a3,a4,a5,a6LL}
例：
1）Z={0,1,-1,2,-2,3,-3L}
2）[0,1]
中的有理数全体={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,L
}
２
可数集的性质（子集）
定理1
任何无限集合均含有可数子集.
证明：
设
M
是一个无限集，取出其中的一个元素从
M
中任取一元素，记为
则
e1.
M
{e1}
在M{e1}中取一元素e2,显然e2e1.设从M中已取出n个互异元素
1,2
n
由于
M
是无限集，故M
{e1,e2,Len}
于是又可以从
1,2n
中
ee,Le
M{ee,Le}
取出一元素en1,它自然不同于e1,e2,L
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