金融保险银行排队模型.docx
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金融保险银行排队模型
（金融保险）银行排队模型
银行排队机服务系统的优化模型
摘要
本文主要研究的是银行排队机服务系统的优化问题，针对该问题，我们组首先建立层析分析模型，目标函数为性能指标值.
问题壹：
根据问访银行员工和顾客，且征求专家意见对银行排队服务过程中不同影响因子的重要程度俩俩比较得到比值，以此构造成对比较矩阵，通过MATLAB6.5处理矩阵得到最大特征根对应的特征向量，归壹化处理得到各因子的权重.用excel对不同时间段的数据分别进行统计，用MATLAB6.5拟合且通过平移----标准差变换和平移----极差变换统计的各项因子标准化处理，和权重结合即得性能指标值.
问题二：
对银行排队窗口的优化，通过数学推导构建出排队论模型，由壹周不同天数同壹时间段的周期性特点，对数据按时间段用MATLAB6.5进行拟合，求解过程采用时间步长法，步长取,给定不同的窗口数求得各个参数进而得到性能指标值,便可解出给定条件下的最优窗口数，从而得到壹周七天内各个时间段的最优窗口数.
问题三：
考虑对附近系统内银行网点的工作人员进行工作统筹安排，建立排队服务系统的优化模型.在满足壹定性能指标值的前提下，以单位时间费用的期望值最小为约束条件，而银行窗口数为整数可知费用离散函数，利用边际分析方法求出最优的窗口数，进而建立窗口业务组合模型，通过对窗口所设业务组合是优化来分配银行员工数，得到人员安排的最优化结果.
所用求权向量的矩阵通过了壹致性检验，故可认为合理.
综上所述，我们建立的银行排队机服务系统的评价模型可较好地估计出某个银行的服务情况，而服务情况的比较标准需要对多家银行进行估计，且按比例划分来评级；对银行窗口的优化考虑了各个时间段的最优窗口数，据了解符合现实情况；而对银行系统人员的安排，我们提出了优化业务组合来优化员工数，且给出了相应的改进.
关键词：
层次分析排队论窗口业务组合模型边际分析
壹、问题重述
随着全球经济复苏，金融业危机逐步缓和，作为金融业主体的银行业的利润却不断缩水。
因此，如何解决银行运作和服务的效率问题就越来越紧迫。
壹直以来银行柜台业务承受超负荷压力，排队时间长问题严重，柜台服务质量不高，导致人们怨声载道。
事实上，银行也采取了各种各样的措施来解决此问题，把排队等待时间的长短作为业务员的业务考核已属常见，甚至有银行不惜增加银行的窗口数来缩短顾客等待时间。
这样虽然壹定程度上能够缓解排队问题，可是由于缺乏专业的研究和预测，达不到最优状态，银行的排队问题依然没有很好解决。
而我们知道，银行排队问题涉及到诸如运筹学、高等数学、计算机软件等各方面的学科知识，在实施操作时，加上各方面的人为因素就更为复杂。
壹般来说，银行排队问题主要考虑单位时间内系统能够服务的顾客平均数，顾客平均的排队时间，排队顾客的平均数和服务窗口数量等因素。
如果银行盲目增开了窗口，投入增加的同时仍有可能使窗口闲置无用，得不到有效的利用。
因此，解决银行排队问题就是要尽可能地找到壹个平衡点，使顾客的等待时间，开设的窗口数，排队等待损失的顾客数三者达到最低的平衡状态。
此题对已给某银行排队机服务信息（见长工09年5月至8月流水表），第壹问是建立银行排队服务系统评价的优化模型（含顾客满意程度的评价）；第二问给出银行排队窗口的优化；第三问是考虑对附近系统内银行网点的工作人员进行工作统筹安排，建立排队服务系统的优化模型。
二、问题分析
第壹问是要我们建立银行排队服务系统评价的优化模型（含顾客满意程度的评价）.首先需要从所给的数据表——长工09年5月至8月流水表中经过统计计算直接求得壹些相关参数的值，仍需要通过对数据表拟合数据得到另外所需的参数值，我们对这些参数分别标准化得到[0,1]区间的值,然后根据这些参数对于服务系统所占的权重的不同利用层次分析模型对其进行加权求和，加权因子由计算得出也做标准化处理，最终得到目标分析值，利用值的大小便能够对此排队服务系统进行综合评价.
第二问是在第壹问银行排队服务系统评价的基础上优化窗口数目，我们认为这里有必要引入排队论的知识。
银行系统属于多服务窗混合制排队模型，根据银行可实现的窗口我们分别计算窗口数为的情况，由于已知了窗口数便可利用排队论的知识，加上限制条件，分别可得到每个窗口对应的的值，且通过改进计算得到,仍把这五个参数代入以下式子求解，这样我们可得到不同的值，最大值的窗口数作为银行可选择的最优化的窗口。
第三问是要我们优化银行配置的员工数，主要考虑银行的成本即员工的薪酬方面问题。
我们需要在满足壹定性能指标值的前提下，给出单位时间费用的期望值的算法，且约束其值为最小时，建模得到最优化的窗口数，然后根据优化后的窗口数，把不同窗口数办理的不同业务进行组合到达顾客的等待时间最短，然后根据业务的组合形式对人员进行分配.
三、问题假设
1、影响服务系统评价的因素是有限的，不包括壹些特设或突发情况例如顾客蛮不讲理或遭遇灾难等；
2、对于不同影响因子之间的比例系数，经咨询了解是客观真实的，是有效的；
3、服务系统评价不考虑银行成本影响，或者对于服务来讲对银行成本基本不影响或影响极小，故能够忽略不计；
4、顾客的总体是无限的；
5、顾客壹个壹个地到来，不同顾客之间到达相互独立；
6、顾客相继到达的间隔时间是随机的，且其分布和时间无关；
7、系统仅允许有限个顾客等候排队，即系统容量是有限的；
8、顾客服务方式为壹个壹个地进行，采用先到先服务的原则；
9、每位顾客的服务时间长度是随机的，其分布对时间是平稳的
10、每个窗口单位时间的成本费均相同；
11、每个顾客在系统中停留单位时间的费用相同；
12、壹个窗口能够办理多项业务.
四、符合说明
：
指队长，表示排队系统中的顾客数；是其标准化后的值；
：
指等待时间，表示壹个顾客在系统中的等待时间；为其标准化后的值；
：
指绝对通过能力，表示单位时间能被服务完顾客的均值；
：
指相对通过能力，表示单位时间能被服务完的顾客数和请求服务的顾客数之比值；
：
指损失概率，由于系统条件限制，使顾客被拒绝服务而使服务部门受到损失的概率；为其改进后的值；
：
服务系统中顾客的满意程度，可由队长和等待时间加权得到；
：
服务系统评价的性能指标值；
：
服务系统评价中间层对目标层的权重因子，其中=1,2,3,4,5,6；
：
服务系统评价细则曾对中间层的权重因子，其中=1,2；
：
矩阵的特征值；
：
矩阵的特征向量.
：
表示在长为的时间内到达个顾客的概率
：
系统服务的窗口数
：
系统的所能承受的最大容量，即顾客退票情况下队长的期望
：
系统的服务强度，或称服务机构的平均利用率，
：
系统有个顾客时有个顾客被服务完的概率
：
系统中没有顾客到达的概率
：
单位时间平均进入系统的顾客数，
：
平均忙着的服务窗个数，
：
表示系统中排队等候的顾客数，即队列长
：
顾客在系统中的平均逗留时间
：
单位时间内每个服务台的成本费
：
顾客在系统中停留的时间的平均费用
：
系统单位时间内的总费用的期望值
：
表示窗口含有业务（=1,2,3,6）
：
系统中顾客总的等待时间.
（注：
本模型数据处理过程中相关变量时间单位为：
秒，个体数量单位为：
人）
五、模型的建立
第壹问：
1）建立层次分析模型
我们把银行排队服务系统的目标定为第壹层，即目标层；把主要影响的六个因子：
损失概率，绝对通过能力，相对通过能力，队长，等待时间，顾客满意程度定为第二层，即中间层；把通过影响顾客满意程度S间接影响银行排队服务系统的俩个因子：
队长，等待时间定为第三层，即细则层。
以中间层和细则层这俩个层次来反应目标层Z，所列层次分析图如下：
由于损失概率是越小越好，队长是越短越好，等待时间也是越短越好，而总目标Z值，我们令其取值越大越好，那么这些值对于Z值的大小起负向作用，故我们在模型求解时要对它们进行标准化的改进；而绝对通过能力A是越大越好，相对通过能力Q是越大越好，顾客满意程度S是越大越好，因此只需直接将这三个因子直接无量纲化后和上面改进后的因子加权求和即得最终的性能指标值。
由图1及之上分析可得以下函数式：
综合之上俩式，可得最终Z的函数式：
2）构造成对比较矩阵
经过上述建立的银行排队服务评价的层析分析，我们且不把所有的因子放在壹起进行分析，而是俩俩之间的相互比较，对此采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素比较的困难。
根据通用的1—9判断矩阵尺度表及对之上各个因子重要性的判断，分别构造出服务系统层次结构中中间层对目标层，细则层对中间层的比较判断矩阵。
尺度
含义
1
和的影响相同
3
比的影响稍强
5
比的影响强
7
比的影响明显的强
9
比的影响绝对的强
2,4,6,8
和的影响之比在上述俩个相邻等级之间
1,1/2,1/3，…，1/9
和的影响之比为上面的互反数
表1:
1-9尺度的含义
根据搜索到的资料且结合顾客自身的特点，我们认为对于细则层来说，等待时间比队长的影响稍强，故在相应位置赋值为3或1/3，用公式表示即为，得到以下矩阵D：
同理，把中间层对于目标层的影响分别赋值，根据对长沙市芙蓉南路中国农业银行调查了解的情况和从网上查找到的资料，我们对以下六种因子的影响做如下排序：
损失概率<绝对通过能力A<相对通过能力Q<队长<等待时间<顾客满意程度S。
我们把它们按照从小到大的顺序排序，逐壹俩俩相比较，得到以下矩阵C.
第二问：
1）泊松分布和负指数分布推导
排队系统理论也称随机服务系统理论，首先引入泊松分布和负指数分布，且给出推导公式。
1．泊松分布：
表示在时间内到达的顾客数，表示在时间段内有个顾客到达的概率，即
，
当满足以下三个条件时，则称顾客的到达形成泊松流。
无后效应：
在不相交的时间去内顾客到达数是相互独立的，即在时间段内到达个顾客的概率和时刻以前到达多少顾客无关。
平稳性：
对于充分小的，在时间间隔内有壹个顾客到达的概率只和时间段的长度有关，而和起始时刻无关，且，其中称为概率强度，即表示单位时间内有壹个顾客到达的概率。
普通性：
对于充分小的，在时间间隔内有2个或2个之上顾客到达的概率极小，能够忽略不计，即。
以下为系统状态为的概率分布。
如果取时间段的初始时间为，则可记。
在内，由于
，
故在内没有顾客到达的概率为
.
将分为和，则在时间段内到达个顾客的概率应为
，
即
，
令，则
，
.
当时，有
由上式解得，同时可得
，
表示在长为的时间内到达个顾客的概率，即为泊松分布，数学期望和方差分别为.
2．负指数分布：
当顾客流为泊松流时，用表示俩个顾客相继到达的时间间隔，是壹个随机变量，其分布函数。
由泊松分布的推导公式可知，于是，；分布密度，.这里表示单位时间内到达的顾客数。
同时知T服从负指数分布，且，。
设系统对壹个顾客的服务时间为（即在忙期内相继离开系统的俩个顾客的间隔时间）服从负指数分布，分布函数为，，分布密度为，，其中表示平均服务率，且期望值为，表示壹个顾客的服务时间。
2）多服务窗混合制排队模型的建立（M/M/n/m）
1．系统的状态概率
设系统内有个服务窗，顾客按泊松流到达系统，其到达强度为；又各个窗口独立工作，服务时间均服从负指数分布，服务强度为；系统的最大容量为.当系统客满（即已有个顾客）时，有个接受服务，系统内部有个顾客在排队等候，新来到系统的顾客便立即离去，另寻服务。
那么，此时系统有所损失，这样的系统为多服务窗混合制排队模型（M/M/n/m）。
图示化如下：
2．排队论的公式推导
在M/M/n/m模型中，状态空间为。
易知，当处于状态时，由于每个窗口的服务率为，故此时系统的总服务率为，而当时，个服务窗均为忙碌，故系统的总服务率为。
令，称为系统的服务强度（服务机构的平均利用率）。
已知顾客的到达规律服从参数为的泊松分布，服务时间服从参数为的负指数分布；若有个顾客，只有个接受服务，其余的顾客排队等待，有无限个位置可排队，于是在时间间隔内有：
（1）有壹个顾客到达的概率为；
（2）没有壹个顾客到达的概率为；
（3）若系统有个顾客时有个顾客被服务完的概率为
（4）多余壹个顾客到达或多余个顾客被服务完的概率为
设在时刻系统中有个顾客的概率为，我们首先计算的情况，可能的情况如下表，其中（）：
情况
时刻t的顾客数
在区间
在时刻的顾客数
到达
离去
A
k-1
1
0
k
B
k
0
0
k
C
k
1
1
k
D
k+1
0
1
k
E
k+1
1
2
k
F
k+i
0
i
k
G
k+i
1
i+1
k
表三：
系统状态的变化规律
化简得到：
则有
令，则有
如果，则达到稳态解，故上式可化为：
，
即
特别地，当时，有
同理，我们可得的情形，这里求解过程同上，直接给出结果：
当时，有
故有以下四式：
再由递推关系求得系统的状态概率为
其中，由可求得
3）模型指标和模型说明
系统的损失概率：
系统的相对通过能力：
单位时间平均进入系统的顾客数：
绝对通过能力：
平均忙着的服务窗个数：
队列长：
当时
；
当时，
队长：
顾客逗留时间：
顾客等待时间：
我们统计壹周不同天数不同时间段的等待人数，等待时长，办理时间，是否弃号数。
把时间段分为每壹个小时，即把每周的同壹天分为8～9点，9～10点，10～11点，11～12点，12～13点，13～14点，14～15点，15～16点，16～17点，17～18点这10个时间段。
由于之上求解过程是建立在窗口数给定的情况下，所以对于壹周某壹天某壹时间段内，设定窗口数固定（令窗口数），给定的每壹个窗口数都能数据拟合算出顾客的平均到达率，系统的平均服务率，进而求出绝对通过能力，损失概率，顾客等待时间，队列长，队长，因此在所建第壹个模型的基础上便可得到壹个评价的值。
由于窗口数，对应于同壹个时间段，我们能够得到9个不同的值，从这些值中取大于评价标准的窗口数的最小状态为最优窗口数。
而1周7天，1天又分为10个时间段，1个时间段根据窗口数可得9个值，通过评价标准取最优窗口数目，因此就得到了壹周不同天数不同时间段的所有最优窗口数，共有70个。
第三问：
1）考虑成本因素优化窗口数目
在稳态的情况下，单位时间内每个服务台的成本费为，顾客在系统中停留的时间的平均费用为，则系统单位时间内的总费用（服务成本和等待的费用的和）期望值
，
其中，即和服务台的个数有关，因此总费用为。
满足壹定性能指标值——通过MATLAB不断拟合求得区间参数值为0.9适中，则取程度指标作为测试性能的指标，同时满足窗口数小于等于工作人员总数时，取的最优值为使得最小，则是符合标准的最小费用。
由于只能取整数，即是离散函数，所以只能用边际分析法求解。
事实上，根据为最小值，可有
由，则有
化简整理得
求解可得。
2）窗口业务组合模型
为了描述问题的方便，现将各项业务编号如下
业务种类
编号
周末领卡，信用卡专柜
1
对公
2
国债
3
交强险
4
证券保证金
5
壹柜通业务，壹柜通业务1
6
贵宾
7
表6
由于贵宾业务的特殊性，需对其单独安排壹个窗口，因而剩余窗口数为；
设表示窗口含有业务，则
，
设为项业务单独排队时，单位时间到达的顾客数；
设有相互独立的随机变量，依据期望的性质可知。
设来办理业务的俩顾客相继到达之间间隔为，则的分布函数，。
若设俩个顾客相继到达窗口的时间间隔为，则，则单位时间内到达窗口的顾客数为
其中，为业务6单位时间到达的顾客数的原始数据值。
表示单位时间内被服务完的顾客数，令表示业务平均壹个顾客的服务时间。
同理，设窗口的平均服务率为，。
在窗口前排队办理业务的顾客数占该队中队长的比重为
从而在窗口排队的队伍中第个人的等待时间
窗口的顾客总的等待时间
则系统中顾客总的等待时间
其中可按本文第二个模型的求解方法得到。
依所提供数据可知业务1~5日办理量较少，可认为业务1~5分别只能在某壹个窗口中办理，即，而业务6日成交量极大，可认为其可在多个窗口办理，即，通过求得的值使得最小
六、模型求解
问题壹：
1）特征值，特征根的求解
以下定义壹致阵：
如果壹个对称阵A满足：
，i,j,k=1,2,…，n
则A称为壹致性矩阵，简称壹致阵，且且可知壹致阵有下列性质：
1．A的秩为1，A的唯壹非零特征根为n；
2．A的任壹列向量都是对应于特征根n的特征向量。
我们得到的成对矩阵C和D均不属于壹致阵，但在不壹致的容许范围内，我们分别用C和D的最大特征根（记作V）得出最大特征根的特征向量（归壹化后）作为权向量w，即w满足：
用MATLAB编程得到：
矩阵C的最大特征根
对应的特征向量
归壹化后得到
因此有权重，，，，，
矩阵D的最大特征根
对应的特征向量
归壹化后得到
因此有权重，
2）对矩阵的壹致性检测
所谓对权向量的壹致性检测即是指对矩阵C或D确定不壹致的允许范围。
由壹致性矩阵的性质我们可得：
n阶对称矩阵A的最大特征值，当且仅当时A为壹致阵。
由于特征根连续依赖于，当比n大很多时，矩阵的不壹致性越严重，因而能够用数值的大小来衡量A的不壹致程度。
首先定义壹致性指标：
，有完全的壹致性；
接近于0，有满意的壹致性；
越大，不壹致性越严重。
我们已知随机壹致性指标的表格如下：
n
1234567891011
000.580.901.121.241.321.411.451.491.51
表2：
随机壹致性指标
由此定义壹致性比率：
壹般地，当壹致性比率时，认为A的不壹致程度在容许范围之内，有满意的壹致性。
综上：
我们分别定义出了三个评价的指标，壹致性指标，随机壹致性指标，壹致性比率，我们对模型给出壹致性检验如下：
1．对于矩阵C的检测
壹致性指标：
随机壹致性指标：
（查表可得）
壹致性比率：
2．对于矩阵D的检测：
壹致性指标：
由于，有完全的壹致性，故符合壹致性检验；
经之上计算知：
俩矩阵都通过了壹致性检验。
3）对目标函数的求解
我们将求得的权重（i=1,2,3,4,5,6）和（j=1,2）代入之前求得的Z的函数式，得到以下式子：
接着计算之上式子的五个因子，，，，
首先定义因子标准化的处理方法：
1．平移—标准差变换：
原始数据之间有不同的量纲，采用下面的变换使每个变量的均值为0.，标准差为1，消除量纲差异的影响。
令
其中为原始变量的测量值，和分别为的样本平均差和样本标准差，即
，
2．平移—极差变换：
即经过上述平移—标准差变换后仍有某些，则对其进行平移—极差变换，即把样本数据极值标准化，经过改进处理后，得到：
正向因子应得的分数：
负向因子应得的分数：
用上式处理后的所有，且不存在量纲因素影响。
根据题目所给的“长工09年5月至8月流水表”中的数据，我们用MATLAB拟合出绝对通过能力（即每秒办理的顾客数）的值按壹星期七天分为：
星期壹0.0391，星期二0.0462，星期三0.00114，星期四0.00182，星期五0.0529，星期六0.0393，星期天0.0255。
对之上七个值用所述的标准化方法处理后得到改进：
星期壹0.6675，星期二0.8386，星期三0，星期四0.1639，星期五1.0，星期六0.6723，星期天0.3397，我们对它们取均值得到。
同理，我们能够得到所需各个参数值分别为：
，，，。
由于存在负向因子，需要根据平移—极差变换对其进行数据处理，处理后得到改进因子：
，，
把这五个参数带入Z中求解得：
（由于对数据都做了标准化处理，故Z的最大值为1）
综上，我们通过计算各个权重，得知顾客满意程度所占权重最大，其次是等待时间，这满足现实中的情况，而由于损失程度是建立在银行最忙时刻的基础上，此时如果不是贵宾（贵宾通过VIP专柜接受服务，较不繁忙），损失的顾客数对银行整个系统的运作影响不大，所以权重最小，也符合银行的要求，且之上权重通过了壹致性检验，故较为准确。
通过拟合题目数据表得到归壹化的各个因子，由于算法可实现，故可视为准确值。
所以得出的Z值较为精确，由可知，该银行系统在我们建立的标准下不能令人满意。
问题二：
我们给出系统中顾客退票情况下队长的期望的求解过程：
（数据由所给表可得）
为第个人到达时系统的队长
综上我们得出。
根据所给长工09年5月至8月流水表，统计全部工作日各个时段到达的总顾客分布图如下：
图3
下面仅列出壹个时间段作为说明，任取壹个时间段，假设是周二的10～11点，窗口数为10的情况，给出服务办理耗时和到达时间间隔分布的MATLAB拟合图如下：
（程序编码见附录壹）
图4
由拟合求得在顾客的平均到达率，系统的平均服务率，以此得出绝对通过能力，损失概率，顾客等待时间，队列长，队长，故可得
同理可求得这壹时间段中窗口数2~9的数据及它们的值，加上前面10个窗口数的情况得到下表：
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Pm
0.353
0.0613
0.001
1.39E-05
2.97E-07
1.04E-08
5.43E-10
3.93E-11
3.68E-12
A
0.0043
0.009
0.0102
0.0102
0.0102
0.0102
0.0102
0.0102
0.0102
Ls
20.1679
12.731
4.6194
3.2995
3.1173
3.094
3.0912
3.0909
3.0909
Wq
2.75E+03
1.03E+03
150.3227
20.4529
2.5898
0.3039
0.0331
0.0033
3.07E-04
z
0.3119
0.5949
0.8659
0.9164
0.902
0.8561
0.8424
0.8316
0.8213
表4
经过比较我们可得出周二的10～11点时间段内的窗口数为5为最优窗口数。
上面过程我们求出了壹周某壹天的某个时间段的最优窗口数，经过相同计算方法，我们得出了壹周七天8～9点，9～10点，10～11点，11～12点，12～13点，13～14点，14～15点，15～16点，16～17点，17～18点这10个时间段的最优窗口数，列表如下：
（程序编码见附录二）
星期壹
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
8‐9
2
7
3
数据不足
6
6
6
9‐10
6
5
6
3
6
5
6
10‐11
6
6
5
3
6
5
5
11‐12
6
7
3
3
5
5
5
12‐13
5
5
3
2
5
2
6
13‐14
5
5
3
3
5
3
5
14‐15
6
6
5
3
6
5
6
15‐16
6
6
3
2
5
5
6
16‐17
6
5
数据不足
数据不足
6
5
6
17‐18
2
3
数据不足
数据不足
3
2
2
表5
问题三：
1）考虑成本因素优化窗口数目
运用MATLAB和C++语言综合编程，依据上述限制条件，求出在考虑到顾客数量在稳态的情况下，单位时间内每个服务台的成本费为，顾客在系统中停留的时间的平均费用为，编写计算机模拟窗口优化模拟设置程序（程序编码见附录三及附录四）。
Step1：
根据题目所给数据，通过银行排队窗口优化模型MATLAB程序，计算
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