随机实验.docx
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随机实验
实验:
随机信号通过线性系统后的特性分析
（1）随机过程的基本概念及统计特性
（2）线性系统基本理论
（4）完成系统测试
1.实验目的
（1）了解随机信号自身的特性，包括均值（数学期望）、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等。
（2）研究随机信号通过线性系统后的均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度有何变化，分析线性系统受随机信号激励后的响应。
（3）掌握线性系统的设计与仿真
（4）掌握随机信号的分析方法。
2.实验原理
⑴随机过程的基本概念及统计特性
在信号系统中，我们可以把信号分成两大类——确知信号和随机信号。
确知信号具有一定的变化规律，因而容易分析，而随机信号无确知的变化规律，需要用统计特性进行分析。
我们在这里引入了随机过程的概念。
所谓随机过程，就是随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的一个取样序列。
随机过程可分为平稳的和非平稳的、遍历的和非遍历的。
如果随机信号的统计特性不随时间的推移而变化，则随机信号是平稳的。
如果一个平稳的随机过程它的任意一个样本都具有相同的统计特性，则随机过程是遍历的。
我们下面讨论的随机过程都认为是平稳的遍历的随机过程，因此，我们可以取随机过程的一个样本来描述随机过程的统计特性。
随机过程的统计特性一般采用随机过程的分布函数和概率密度来描述，它们能够对随机过程作完整的描述。
但是由于在实践中难以求得，在工程技术中，一般采用描述随机过程的主要平均统计特性的几个函数，包括均值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等来描述它们。
以下算法都是一种估计算法，条件是N要足够大。
①随机过程的均值（数学期望）：
均值E[x（t）]（
）表示集合平均值或数学期望值。
基于随机过程的各态历经性，可用时间间隔T内的幅值平均值表示，即：
均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。
②随机过程的均方值：
信号x（t）的均方值E[x2（t）]（
），或称为平均功率，其表达式为：
均方值表达了信号的强度，其正平方根值，又称为有效值，也是信号的平均能量的一种表达。
③随机信号的方差：
信号x（t）的方差定义为：
称为均方差或标准差。
可以证明，
其中：
描述了信号的波动量；
描述了信号的静态量，方差反映了信号绕均值的波动程度。
在已知均值和均方值的前提下，方差就很容易求得了。
随机过程的自相关函数：
。
信号的相关性是指客观事物变化量之间的相依关系。
对于平稳随机过程X（t）和Y（t）在两个不同时刻t和t+τ的起伏值的关联程度，可以用相关函数表示。
在离散情况下，信号x（n）和y（n）的相关函数定义为：
τ,t=0,1，2,……N-1。
但是，相关函数与
和
的强度有关，若
或
（
为均值）很小，即使两者的相关程度较强（当时间差τ较小时），则相关函数也不会大，所以相关函数并不能准确地表示关联程度的大小。
为了消除起伏值对相关函数的影响，需要对相关函数做归一化处理，所以引入了相关系数的概念。
平稳随机过程的相关系数由下式定义：
相关系数又称为规一化相关函数，它确切表征了平稳随机过程在两个不同时刻的起伏值之间的线性关联程度。
自然界中的事物变化规律的表现，总有互相关联的现象，不一定是线性相关，也不一定是完全无关，如人的身高与体重，吸烟与寿命的关系等。
随机信号的自相关函数表示波形自身不同时刻的相似程度。
与波形分析、频谱分析相比，它具有能够在强噪声干扰情况下准确地识别信号周期的特点。
下面是几种典型信号的自相关（互相关）函数：
正弦波函数的自相关：
正弦波与噪声的互相关函数：
正弦波与方波的互相关函数：
正弦波与三角波的互相关函数：
正弦波与小波信号的互相关函数：
正弦波与自身加噪声的互相关函数：
正弦波加噪声的自相关函数：
⑤随机过程的频谱：
信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x（t）变换为频域信号
，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。
时域信号x（t）的傅氏变换为：
信号的时域描述只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除只有一个频率分量的简谐波外一般很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量的大小。
例如，下图是一受噪声干扰的多频率成分周期信号，从信号波形上很难看出其特征，但从信号的功率谱上却可以判断、并识别出信号中的四个周期分量和它们的大小。
信号的频谱
代表了信号在不同频率分量处信号成分的大小，它能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。
受噪声干扰的多频率成分周期信号波形和频谱
⑥随机过程的功率谱密度：
随机信号的功率普密度是随机信号的各个样本在单位频带内的频谱分量消耗在一欧姆电阻上的平均功率的统计均值，是从频域描述随机信号的平均统计参量，表示X（t）的平均功率在频域上的分布。
它只反映随机信号的振幅信息，而没有反映相位信息。
随机过程的功率普密度为：
－∞＜ω＜＋∞
随机信号的平均功率就是随机信号的均方值。
随机信号功率谱密度的性质：
★功率谱密度为非负值，即功率谱密度大与等于0。
★功率谱密度是ω的实函数。
★对于实随机信号来说，功率谱密度是ω的偶函数，即Sx（ω）=Sx（-ω）。
★功率谱密度可积。
功率谱密度曲线下的总面积（即随机信号的全部功率）等于随机信号的均方值。
★随机信号的功率谱与它的自相关函数构成一对傅里叶变换对。
⑵线性系统基本理论
线性系统的输入x（t）和输出y（t）之间的关系可以用常系数线性微分方程来描述：
any（n）（t）+an-1y（n-1）（t）+…+a1y
（1）（t）+a0y（0）（t）=bmx（m）（t）+bm-1x（m-1）（t）+b1x
（1）（t）+b0x（0）（t）
其中a0，a1，…，an和b0，b1，…，bm均为常数，则称该系统为线性定常系统，线性定常系统有下面的一些重要性质：
☆叠加性
系统对各输入之和的输出等于各单个输入所得的输出之和，即
。
。
若x1（t）→y1（t），x2（t）→y2（t）。
。
。
。
则x1（t）±x2（t）→y1（t）±y2（t）
☆比例性
常数倍输入所得的输出等于原输入所得输出的常数倍，即
。
。
若x（t）→y（t）。
。
。
。
则kx（t）→ky（t）
☆微分性
系统对原输入信号的微分等于原输出信号的微分，即
。
。
若x（t）→y（t）。
。
。
。
则x’（t）→y’（t）
☆积分性
当初始条件为零时，系统对原输入信号的积分等于原输出信号的积分，即
。
。
若x（t）→y（t）。
。
。
。
则∫x（t）dt→∫y（t）dt
☆频率保持性
若系统的输入为某一频率的谐波信号，则系统的稳态输出将为同一频率的谐波信号，即
。
。
若x（t）=Acos（ωt+φx）。
。
。
。
则y（t）=Bcos（ωt+φy）
（3）随机信号通过线性系统分析
线性动态系统分析的中心问题是给定一个输入信号求输出响应。
在确定信号输入的情况下，输出响应都有一个明确的表达式。
而对于随机信号而言，要想得到输出响应的确定表达是可能的。
然而，一个随机信号可以方便的通过其均值方差、相关函数、频谱及功率谱密度等特性来加以描述。
我们在这里研究的问题是如何根据线性系统输入随机信号的统计特性及线性系统的特性，确定线性系统输出的统计特性。
当输入离散信号为双侧平稳随机信号时，信号经过线性系统后的统计特性：
输出过程的均值为：
其中
是信号经线性系统后的均值，
是输入信号的均值。
输出过程的自相关函数为
线性系统输出的自相关是输入的自相关同系统冲击响应的自相关的卷积。
输出过程的互相关函数为
输出信号的均方值（平均功率）为；
输出的均值为常数，输出自相关函数只是m的函数。
输出信号的功率谱密度：
频域分析：
⒊实验任务与要求
⑴实验系统框图如图1所示：
图1线性系统测试
⑵输入信号：
线性系统：
输入信号
，其中：
、
、
为1KHz、2KHz、3KHz，幅值为1v，n（t）为高斯白噪声，如图2所示：
图2线性系统输入信号的时域、频域图
图三输入信号的自相关函数
图四输入信号的功率谱
自己绘图时一定要注意频域图的横坐标
⑶整个线性系统都用matlab或c/c++编写
其中随机信号统计特性程序要求计算均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度函数（仅对不确定信号）、频谱及功率谱密度。
（3）用matlab或c/c++设计线性系统
研究随机信号经线性系统后的线性变换问题，就要设计一个线性系统。
线性系统设计成一个低通滤波器，其滤波器的技术指标如图6所示：
低通滤波器：
通带截止频率1KHz
阻带截止频率2KHz。
过渡带:
1KHz
阻带衰减：
>35DB
通带衰减：
<1DB
采样频率：
≤44.1KHz
图6低通滤波器的技术指标
低通滤波器设计好之后，要求测试它的频率特性并画出频率特性曲线观察是否符合要求。
经低通滤波器后的频率特性如图7所示：
图7经低通滤波器后的频率特性
（4）完成系统测试
a．测试随机信号自身特性。
d．测试低通滤波器的时域频域特性。
e．测试随机信号经低通滤波器后的特性。
（5）按要求写实验报告
4、实验设计与仿真
（1）输入信号的设计
按照实验要求，模拟出线性信号
Matlab仿真程序如下xi=sin（1000*2*pi*t）+sin（2000*2*pi*t）+sin（3000*2*pi*t），以及对其进行分析
%**************生成输入信号**************************%
clc
clearall
closeall
Fs=16000;
t=0:
1/（Fs-1）:
0.01;
xi1=sin（1000*2*pi*t）+sin（2000*2*pi*t）+sin（3000*2*pi*t）;
xi1=awgn（xi1,5,'measured'）;%在信号X中加入白噪声，信噪比为5
fl=（0:
length（xi1）-1）'*Fs/length（xi1）;
Xi1=fft（xi1）;%对X进行1024点快速离散傅立叶变换
subplot（221）;plot（t,xi1）;title（'输入信号波形'）;
subplot（222）;plot（fl（1:
length（fl）/2）,abs（Xi1（1:
length（fl）/2）））;title（'输入信号频谱'）;
disp（'平均值'）
x_mn=mean（xi1）
x_vr=var（xi1）%方差
x_st=x_vr+x_mn^2%均方值
x_arr=xcorr（xi1）%自相关函数
%线性信号自相关函数
tau=（-length（xi1）+1:
length（xi1）-1）/Fs;
figure
（2）
subplot（221）;plot（tau,x_arr）
title（'线性信号的自相关函数'）;
xlabel（'\tau'）,ylabel（'R_x_i（\tau）'）;
gridon;
holdon;
%线性信号的功率谱密度
X_arr=fft（x_arr）;
cm=abs（X_arr）;
fl=（0:
length（X_arr）-1）'*44100/length（X_arr）;
subplot（222）;plot（fl（1:
length（fl）/2）,cm（1:
length（fl）/2））;
title（'线性信号的功率谱'）
xlabel（'f'）,ylabel（'S_x_i（f）'）;
holdon;
gridon
（2）低通滤波器设计
%***********************低通滤波器*******************%
clc
clearall
closeall
Fs=16000;
t=0:
1/（Fs-1）:
0.05;
xi1=sin（1000*2*pi*t）+sin（2000*2*pi*t）+sin（3000*2*pi*t）;
xi1=awgn（xi1,5,'measured'）;
f=[1000,2000];%表示频率向量，用于低通滤波器的通带
m=[1,0];%对应f各频率向量上的理想幅频响应
rp=0.8;%通带上的偏差
fs=40;%抽样频率
dat1=（10^（rp/20）-1）/（10^（rp/20）+1）;
dat2=10^（-fs/20）;
rip=[dat1,dat2];
[M,fo,mo,w]=remezord（f,m,rip,Fs）; %由remezord求得滤波器的阶次M、频率向量fo、幅度向量mo和加权向量w
M=M+1;
hn=remez（M,fo,mo,w）;%实现线性相位fir数字滤波器的等波纹最佳逼近设计
[h,W]=freqz（hn,1,256,1）;%将256个频点均匀设置在频率范围0到2pi上，计算频率响应
h=abs（h）;
h=20*log10（h）;
fl=（0:
length（xi1）-1）'*Fs/length（xi1）;
plot（W,h）;
gridon;
xlabel（'频率（归一化）'）;
ylabel（'幅度（dB）'）;
title（'滤波器特性曲线'）
Xi1=fft（xi1）;
figure
（2）
subplot（221）;plot（t,xi1）;title（'滤波前信号波形'）;
subplot（222）;plot（fl（1:
length（fl）/2）,abs（Xi1（1:
length（fl）/2）））;title（'滤波前信号频谱'）;
xo1=fftfilt（hn,xi1）;
Xo1=fft（xo1）;
subplot（223）;plot（t,xo1）;title（'FIR后信号波形'）;
subplot（224）;plot（fl（1:
length（fl）/2）,abs（Xo1（1:
length（fl）/2）））;title（'FIR后信号频谱'）;
5..实验结果分析
随机信号经过线性系统后，不会增加新的频率分量。
经过滤波器滤波后，可以从调制信号中得到特定频率范围内的信号，从而提取消息信号。
这是提取消息信号的有效方法。
6.实验中遇到的问题
在刚开始做实验时，理论知识都没有学完，对于很多概念仍不清晰。
各处搜索关与FIR滤波器的知识，但网上资料不是很多，仍感觉无从下手。
后来参照实验描述和随机课本的描述用matlab编写出了符合函数要求的FIR滤波器。
7.心得体会
这次随机信号实验可以说是进大学以来第一次真正意义上完全靠自己动手的实验。
在没有老师指导演示的条件下，完全靠同学间相互讨论，克服一个个的困难。
首先，实验综合性强，运用到了随机信号分析，数字信号处理，概率论，matlab等课程知识，让我们第一次尝试综合运用理论知识。
这样，我们能够更深刻的理解理论知识和各个学科之间的联系。
其次，也锻炼了我们预习和探索能力，这次实验中有很多用到的理论知识仍然没有学到的知识。
我们利用学校图书馆，以及超星电子图书馆查阅了很多资料，终于对本次实验有了基本的了解。
并且深化学习了matlab语言的应用，为以后的学习提供了很多的方便。
最后，本次的实验，我们体会到了团队合作的重要性。
在做实验阶段我们将实验分拆，各自负责一部分，然后又在一起讨论遇到的问题并且解决问题，最终完成本次试验，这锻炼了我们与他人的合作能力，对我们今后的学习时间都是一次珍贵的经验积累。
姓名学号
董静01095108
罗思宁01095124
拓晶01095116
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