人教B版高中数学必修二阶段检测试题一docx.docx
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人教B版高中数学必修二阶段检测试题一docx
阶段检测试题一
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有（ ）
A．4条 B．6条 C．8条 D．10条
解析 与AC相交的直线有AB、AD、AA1、CB、CD、CC1，其他6条均与AC异面．
答案 B
2．两个球的体积之和为12π，且这两个球的大圆周长之和为6π，那么这两个球的半径之差为（ ）
A.
B．1C．2D．3
解析 设两个球的半径分别为R与r（R>r）
则
∴
∴R－r＝1.
答案 B
3.
如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ）
A．棱柱
B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体
D．不能确定
答案 A
4．已知a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么（ ）
A．a∥b，c∥d
B．a、b、c、d中至少有一对直线互相平行
C．a、b、c、d中至多有一对直线互相平行
D．a、b、c、d中任何两条直线都不平行
解析 当a与b相交或a与b异面时，c∥d；当a∥b时，c∥d或c与d异面．
答案 B
5．一个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的两段，那么圆锥被分成的两部分的侧面积的比为（ ）
A．11B．12C．13D．14
解析 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由于截面过圆锥高的中点，截得小圆锥的母线长为
，底面半径为
，
∴圆锥被分成的两部分的侧面积之比为
＝
.
答案 C
6．若一个圆台的主视图如图所示，则其侧面积等于（ ）
A．6B．6πC．3
πD．6
π
解析 圆台的侧面积S＝π（r1＋r2）l，其中r1、r2是上、下底面半径，l是母线长，∴该圆台的侧面积为3
π.
答案 C
7．如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）
A．4B．6C．8D．12
解析
由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S－ABCD，其中SA⊥面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD为直角梯形．∠DAB＝90°，
∴V＝
SA×
（AB＋CD）×AD＝
×2×
×（2＋4）×2＝4，故选A.
答案 A
8．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
解析 由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；连接AC，易证BD⊥面ACC1，所以AC1⊥BD；同理可证AC1⊥B1C，因BD∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，所以AC1⊥平面CB1D1；对于选项D，∵BC∥AD，∴∠B1CB即为AD与CB1所成的角，此角为45°，故D错．
答案 D
9.
如图所示，梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图（斜二测），若A1D1∥y′轴，A1B1∥C1D1，A1B1＝
C1D1＝2，A1D1＝1，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．10B．5C．5
D．10
解析 平面图形还原如图所示．
CD＝C1D1＝3，AD＝2A1D1＝2，AB＝A1B1＝2，∠ADC＝90°.
∴SABCD＝
×（2＋3）×2＝5.
答案 B
10.
用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其主视图、左视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是（ ）
A．3B．4
C．5D．6
解析 如图①所示，这个几何体体积最大时共有11个小正方体构成，如图②所示，这个几何体最小时有5个小正方体构成，因此，这个几何体的最大体积与最小体积的差是6.
答案 D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
11．设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题
①
⇒β∥γ；②
⇒m⊥β；③
⇒α⊥β；④
⇒m∥α
其中，真命题是________．
解析 平行于同一个平面的两个平面平行，①是真命题；若一个平面平行于另一个平面的垂线，则两个平面垂直，③是真命题．
答案 ①③
12．在一个半径为13cm的球内有一个截面，此截面面积是25πcm2，则球心到这个截面的距离为________．
答案 12cm
13.
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝
，BB1＝2，∠ABC＝90°，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度是________．
解析 将三棱柱侧面、底面展开有三种情形，如下图．
在
（1）中，EF＝
＝
＝
；
在
（2）中，EF＝
＝
＝
；
在（3）中，EF＝
＝
＝
.
比较知（3）最小．
答案
14.
将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中AD＝BD＝
，∠BAC＝30°，若它们的斜边AB重合，让三角板ABD以AB为轴转动，则下列说法正确的是________．
①当平面ABD⊥平面ABC时，C、D两点间的距离为
；②在三角板ABD转动过程中，总有AB⊥CD；③在三角板ABD转动过程中，三棱锥D－ABC的体积最大可达到
.
解析 取AB中点O，当三角板ABD转动的过程中，AB不垂直平面COD，故AB不垂直CD，故②错，①③正确．
答案 ①③
三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、F、G分别为MB、PC、PB的中点，且AD＝PD＝2MA.
（1）求证：
平面EFG∥平面ADPM；
（2）求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．
解析
（1）证明：
∵F、G为PC、PB中点，∴FG∥BC，又BC∥AD，∴FG∥AD，∵E、G为BM、PB中点，∴EG∥PM，又EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面ADPM.
（2）不妨设AB＝2a，VP－MAB＝
a3，VP－ABCD＝
a3，所以
＝
.
16．（12分）
如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝PQ，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA＝CB，∠BAP＝45°.证明：
BC⊥PQ.
证明 如图，过C做CO⊥PQ交PQ于O，连接OB.
∵α⊥β，∴CO⊥α.
∵BO⊂α，∴CO⊥BO；
在Rt△COA与Rt△COB中，
CA＝CB，CO＝CO，
∴Rt△COA≌Rt△COB.∴OA＝OB.
又∵∠BAP＝45°，∴∠BOA＝90°，即OB⊥PQ.
∵PQ⊥OC，PQ⊥OB，OC∩OB＝O，
∴PQ⊥面OBC.
∵BC⊂面OBC，∴PQ⊥BC.
17．（12分）
某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形、下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．
解 设圆锥底面半径为r，高为h，
∵2πr＝
π·10，∴r＝2，h＝
＝4
，
∴该蛋筒冰淇淋的表面积S＝
＋2π·22＝28π
≈87.96cm2.
体积V＝
×π·22×4
＋
π×23＝
（
＋1）π
≈57.80cm3.
故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96cm2，体积约为
57．80cm3.
18．（14分）
如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且BC＝2AD，AB＝4，SA＝3.
（1）求证：
平面SBC⊥平面SAB；
（2）若E、F分别为线段BC、SB上的一点（端点除外），满足
＝
＝λ.
①求证：
不论λ为何值，都有SC∥平面AEF；②是否存在λ，使得△AEF为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的λ值；若不存在，说明理由．
解
（1）证明：
∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AD.
∵∠BAD＝90°，∴AD⊥AB.
∵SA∩AB＝A，SA、AB⊂平面SAB，
∴AD⊥平面SAB，∵AD∥BC，∴BC⊥平面SAB.
∵BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB.
（2）①证明：
∵在△SBC中，
＝
，
∴EF∥SC.
∵EF⊂平面AEF，SC⊄平面AEF，∴SC∥平面AEF.
②当AF⊥SB时，由
（1）知平面SAB⊥平面SBC，且平面SAB∩平面SBC＝SB，∴AF⊥平面SBC.
∵EF⊂平面SBC，∴AF⊥EF，
∴此时△AEF为直角三角形．
在Rt△SAB中，AB＝4，SA＝3，∴AF＝
.
∴SF＝
，FB＝
，∴λ＝
＝
.
∴存在λ＝
时，△AEF为直角三角形．
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