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运筹学参考资料

一、单项选择题（本大题共00分，共60小题，每小题0分）

1.割平面法若达不到整数要求条件，则针对某个变量（）。

C.增加一个割平面

2.整数规划模型在其（）基础上附加了决策变量为整数的约束条件。

C.松弛问题

3.整数规划模型在其松弛问题基础上附加了（）的约束条件。

B.决策变量为整数

4.如果产出量与投入量（近似）存在线性关系，则可以写成投入产出的（）D.线性函数

5.分枝定界法不会增加（）的个数。

A.决策变量

6.割平面法每切割压缩一次都要再增加（）。

B.切割约束式

7.关于分配问题，叙述错误的是（）。

B.任务书>0

8.线性规划问题的特点是（）

D.约束条件限制为实际的资源投入量

9.运筹学的应用另一方面是由于电子计算机的发展，保证其（）能快速准确得到结果。

D.反馈

10.纯整数或混整数规划问题的求解方法没有（）。

D.避圈法

11.下列不是线性规划标准型的特征

B.决策变量无符号限制

12.以下不属于图解法步骤的是（）

A.建立目标函数

13.决策变量的一组数据代表一个（）

D.解决方案

14.整数规划的松弛问题指（）

A.去掉决策变量取整约束形成的线性规划问题

15.资源数大于任务数的目标最小化分派问题需要（）。

C.增加任务数至等于资源数，并赋M（无限大）值

16.关于线性规划标准型的特征，哪一项不正确

B.约束条件全为线性等式

17.动态规划的构成要素不包括（）。

D.阶段和阶段静态参数

18.决策变量表示一种（）

C.活动

19.下列结论错误的是（）。

D.一个图中一定存在圈.

20.下列图形所包含的区域不是凸集的是

C.圆环

21.动态规划的特点不含有（）。

D.最优结果唯一

22.运筹学有助于人们在市场经济条件下的（）。

C.资源合理配置

23.使目标函数增加最快的方向是。

A.（-1,1,-4）

24.有5个产地4个销地的平衡运输问题（）模型。

D.有8个基变量

25.最短路径描述不正确的是（）。

D.只是最短路径的可行解

26.线性规划标准型的目标函数是（）

D.求最大值或最小值；

27.线性规划的数学模型不包括以下哪个要素？

（）

D.偏差变量

28.下列结论错误的是（）。

A.容量不超过流量

29.线性规划问题建模步骤不包括（）

C.模型发展

30.线性规划问题中只满足约束条件的解称为

C.可行解

31.求最短路的算法是（）。

A.Dijkstra算法;

32.求最大流的算法是（）。

D.Ford-Fulkerson算法

33.资源数小于任务数的目标最大化分派问题需要（）。

C.增加资源数至等于任务数，并赋M（无限大）值

34.具有m个产地n个销地的平衡运输问题（）。

A.有mn个决策变量，m+n个约束

35.运输问题若有m个供应商，n个销售商，则基变量个数为（）。

B.m*n

36.对于具有m个产地n个销地的整数平衡运输问题，下列说法错误的是（）。

A.基变量个数为m+n;

37.机会成本是指实际中的某种（）。

B.稀缺资源

38.线性规划问题的最优解是可行解

A.一定

39.使目标函数减小最快的方向是

D.（-1,-1,4）

40.一对对偶问题的解之间的关系不可能是（）。

D.一个有可行解，另一个必然有可行解

41.增广链要求（）。

D.前向弧流量严格小于容量

42.用Dijkstra算法求解最短路问题时，如果终点无法得到标号，说明（）。

C.最短路不存在

43.线性规划可行解集合非空时一定。

D.是凸集

44.存在原问题

（一），其对偶问题

（二），请从以下选项中选择

（二）中空缺位置对应的正确选项（）

max+加5

严叼珂十叭七三尊minIT=気川+眄旳+跄

上丹+冬壬巨眄「勺片+住莎母勺比a

勺耳卡鸟衍=吗“<>i+&讹+如电——b

（一｝亠孔谡Q七无约束（二｝IH一比一龄一

耳=；片氓昭q另无约束；

maxz=CX

占上AX二b」b上0〕

ann

45.线性规划问题LP为口为最优基，则下列说法错误的是

。

|B|>0

46.互为对偶的两个线性规划问题，求max的规划的最优目标函数值一定求min的

规划的最优目标函数值

C.等于

47.在灵敏度分析中，若右端常数发生变化，则会影响（）。

D.所有基变量的取值.

48.线性规划具有唯一最优解是指

C.最优表中非基变量检验数全部非零

49.m个产地n个销地的平衡运输问题中（）。

A.用最小元素法求得的初始调运方案一定唯一

B.用兀素差额法求得的初始调运方案一定唯一一

C.不存在闭回路的一组解就是基本可行解

D.以上说法均不对

50.在灵敏度分析中，改变某一变量在目标函数中的系数

D.可能会改变当前最优解的最优性

51.在灵敏度分析中，若非基变量价值系数发生变化，则会影响（）。

A.一个检验数；

52.用Dijkstra算法求解最短路问题时，顶点标号的含义是（）。

A.该顶点到起点的最短路长度

53.若线性规划存在可行基，则

B.—定有可行解

54.互为对偶的两个线性规划问题，求max的规划的任一目标函数值一定求min的

规划的任一目标函数值

B.小于等于

55.连通图G有n个点，其部分树为T,则有（）。

C.T有n个点n+1条边;

56.用分枝定界法求最大值的整数规划时（）

B.分枝后子问题的最优目标函数值可能不变

57.关于指派问题下列说法错误的是（）。

C.匈牙利算法可以求解任何形式的指派问题；

58.用Ford-Fulkerson算法求解最大流问题，（）。

C.当存在增广链时，一定没有得到最优解

59.原问题与对偶问题都有可行解，则（）。

D.原问题与对偶问题都有最优解。

60.用Floyd算法求解最短路问题，（）。

A.对于图中边的长度要求非负

B.只适用于有向图

C.只适用于无向图

D.以上说法均不对

二、判断题（本大题共00分，共60小题，每小题0分）

VI.位势法是根据对偶理论提出的求检验数的方法。

V2.最短路问题的线性规划模型中，状态变量的取值只能是1或0。

X3.对于求最大值的线性规划，其规范形式要求所有约束均为。

V4.资源限量的灵敏度分析主要是研究某一资源限量的变化对最优解的影响。

V5.指派问题是整数规划。

V6.当前解为基本不可行解。

V7.线性规划的标准型中，决策变量必须为非负。

X8.运输模型仅针对运输总费用最小的问题。

V9.最大流问题中，弧上的流量不超过弧的容量。

V10.图中弧上权可以代表定点之间的距离、费用、时间、长度、禾U润等。

VII.当所有产地产量和销地的销量均为整数值时，运输问题的最优解一定为整数值。

V12.割平面的含义是增加约束方程以缩小整数规划的松弛问题的可行域。

V13.Dijkstra算法要求边的权重非负。

V14.任何一个线性规划都可以转化为规范形式。

V15.某些资源分配问题除用动态规划求解外，也可用线性规划或非线性规划求解。

X16.动态规划中的阶段是按时间划分的。

X17.对于有向图问题，增广链上所有的弧均为前向弧。

X18.m个约束n个决策变量的线性规划中基本可行解个数不超过m。

X19.两阶段法第一阶段的目标函数是原线性规划问题的目标函数。

X20.对于求最小值线性规划问题，如果所有检验数小于等于0,得到最优解。

X21.原问题与其对偶问题的目标函数一致。

V22.线性规划问题的标准型可以求最小值。

V23.整数规划的可行解只可能是松弛问题可行域内的整数点。

V24.设分别是（1卩）与（DP）的可行解，则当别是（1卩）与（DP）的最优解。

V25.一个规范型的线性规划其对偶规划也为规范型。

恣：

沁L就□分

X26.人工变量与决策变量的本质相同。

V27.线性规划的基矩阵一定是方阵。

X28.线性规划问题中目标函数一定求最大值。

V29.互补松弛性提供了已知一个问题的最优解时求解其对偶问题的最优解的方法。

V30.原问题是求目标函数最大值，则其对偶问题的目标函数一定是求最小值。

V31.动态规划中，定义状态时应保证在各个阶段中所做决策的相互独立性。

X32.图解法适用于求解任何线性规划问题。

V33.如果不能建立递推函数，则不能使用动态规划。

V34.线性规划==b.疋王0的最优基为B,则最优解为兀=S^b

V35.运输问题可用运输模型求解，但运输模型不仅可处理运输问题，还可以处理类似运输

问题的线性规划问题。

X36.单纯形法求解过程中，基变量个数和非基变量个数是变化的。

X37.用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不是最优解的整数解。

V38.需要求得所有非基变量的检验数才能判断当前解是否是最优解。

V39.价值系数的灵敏度分析主要是研究某一决策变量价值系数的变化对最优解的影响。

V40.产销平衡的运输问题模型有m+n个等式约束和mn个变量。

V41.对于求费用最小的运输问题，如果某个非基变量检验数小于零，则当前解不是最优解。

V42.图解法中目标函数如果向梯度方向平移，则其值增大。

X43.原线性规划问题与其对偶问题的求解目地一致。

minZ・3两+4xj+5再

十十艺S

'乂耳+壬韦4舌A1O

X44.用对偶单纯形法求解线性规划

表如下:

X”

X；

右

—5/2

一1/2

1/2

〔｝

-\n

\lf2

3/2

，在某

步的对偶单纯形

对偶问题的当前基本解不可行。

V45.任何一个线性规划都可以转化为标准型。

X46.Floyd算法要求图中弧上权重非负。

V47.单纯形法中采用最小比值规则确定出基变量。

X48.4.用闭回路法计算非基变量的检验数为3。

X49.k阶段指标函数一般也称为k子过程指标函数。

V50.根据下列运输问题的初始解，回答第3题至第4题。

严-■1

M；

341

工

111

<1-11

-*1*

-€11

g-mi

X51.不平衡运输问题不一定有最优解。

X52.Dijkstra算法可以求解任何条件下的最短路问题。

X53.线性规划模型中减少一个约束条件，可行域的范围一定增大。

V54.对于求最大值线性规划问题，如果某个非基变量检验数为0,则存在无穷个最优解。

X55.任何含n个结点（n-1）条边的无向图一定是树。

X56.如果整数规划无可行解，则其松弛问题也一定无可行解。

V57.分支定界法的分支思想是根据原问题的目标函数，在松弛问题中从相应的两个区间加

上约束组成新的松弛问题。

V58.指派问题可视为一类运输问题。

X59.互为对偶的两个线性规划问题中，原问题的检验数对应对偶问题的基本解。

V60.如果运输问题的运价和产销量均为整数，则一定存在整数最优解。

三、填空题（本大题共00分，共30小题，每小题0分）

1.线性规划中基矩阵对应的解称为

1.参考答案：

基本解

2.指决策变量要求部分或全部为整数的规划问题

2.参考答案：

整数规划

3.线性规划标准型中的约束必须为。

3.参考答案：

等式

4.整数规划可能出现的情况

4.参考答案：

无可行解

5.线性规划单纯形法中确定出基变量采用规则

5.参考答案：

最小比值

6.线性规划单纯形法中确定出基变量采用规则

6.参考答案：

最小比值

7.线性规划中最优基本解对应的基矩阵称为

7.参考答案：

最优基矩阵

8.用动态规划求解具有6个决策变量的线性规划，则动态规划的阶段数为。

8.参考答案：

6或7

9.M个产地，N个销地的产销平衡运输问题中，基变量个数为。

9.参考答案：

M+N-1

10.一个不规范型的线性规划其对偶规划一定也为

10.参考答案：

不规范型

11.任何一个线性规划都可以转化为

11.参考答案：

规范型

12.互为对偶的两个线性规划问题最优目标函数值

12.参考答案：

相等

13.动态规划中反映当前阶段决策产生结果的指标称为。

13.参考答案：

阶段指标

14.若约束方程中有m个约束方程，n个决策变量，当m

J1Q

14.参考答案：

’

15.M个顶点的连通图，其边的条数至少有条。

15.参考答案：

M-1

16.图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是的

16.参考答案：

一致

17.运输问题中按照“运价低处有限调运”产生初始调运方案的方法是。

17.参考答案：

最小元素法

18.M个顶点的连通图的最小支撑树有条边。

18.参考答案：

M-1

19.在基本可行解中非基变量

19.参考答案：

一定为零

20.请在下表空白处填入正确答案。

£I

20.参考答案:

21.互为对偶的两个线性规划问题中基本解与检验数存在关系

21.参考答案：

对应

22.若原问题和对偶问题均存在可行解，则两者均存在

22.参考答案：

最优解

23.已知P'「为线性规划的对偶问题的最优解，若>0.，说明在原线性规划中第i种资

源一定

23.参考答案：

完全耗尽

24.当松弛问题最优解中某个变量整数要求时，分支定界法和割平面法都需要添加约束

方程

24.参考答案：

不满足

25.若存在非整数解并且目标值-整数解的目标值，需要继续分支

25.参考答案：

大于

26.在最优解中可能所有决策变量都

26.

为

参考答案：

大于零

27.线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为

miflz=VEjj$I

1啦L-

人工变量），但也可以写为丨i.，只要所有产■均为的常数。

27.参考答案：

大于零

28.用割平面法求解整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取

28.参考答案：

整数值

29.M个产地，N个销地的产销不平衡运输问题中，基变量个数为。

29.参考答案：

M+N

30.运输问题中非基变量的闭回路有一条。

30.参考答案：

四、解答题（本大题共00分，共10小题，每小题0分）1•计算37题所得初始调运方案中非基变量的检验数，说明是否为最优解。

1.参考答案：

非基变量检殓数如下:

300

400

500

TTI

-100

300

~300

400

500

I[丨

-100

存在非匹变量检验数小于0,说明不是最优解打

2.用元素差额法给出下表所示运输问题的初始调运方案。

企

B,性0

2.参考答案:

JrMiTa

1€

Dtmand

3.用动态规划求解下列非线性规划问题。

maxZ二可勺码

2a|+4j^+羽兰10

丐N0±j=1_2.3

3.参考答案：

按问题中变量的个数分为三个阶段s1,s2,s3，且s3w10,x1,x2,x3为各阶

段的决策变量，各阶段指标函数相乘。

设s1=2x1,s1+4x2=s2,s2+x3=s3w10,贝U有x1=s1/2,0wx2ws214,0

ws3=10

用顺推法，从前向后依次有

£（J1）=max（匸）二巴

k=L

2及最优化解Xi*^S]/2

k=2t

为（衍）

二谒罕[产伍■廷*閔鹫再巧円）

—=-j,-4x,=0

由禺2,则

呂为极大值点乜则32

k=3t

左（号）=

故216*由于念With则鬲TO时取最大值*嘉=1。

/3,岂=局一禺=

20/3*Xj=5/6tsL=s3—4出=10/3,Xj=5/3

得到最优解

X=（5/3.5103）T;z=12527

4.用动态规划求解下列线性规划问题。

maxZ=2西+4Xj

2现£6

严“

x<4

[耳淀0

4.参考答案：

设s2=x2,s2+2x1=s1w6,则有OWx2=s2<4,0

用逆推法，从后向

前依次有

=及最优解x井二弘

max[2^+加吐）]=max[4q-6xJ

（k£^.22+

JJ（x）=max[24-6xJ

由玛二斷一取Sj=6.0却才

Z1002.耽心=l・

域优解^=18

5.用动态规划方法求下图中A到F的最短路线及最短距离。

5.参考答案：

A到F的最短距离为13;最短路线AtB2tC3宀D2E2~F及A宀B3~C2宀

D2tE2tF

6.有一个车队总共有车辆100辆，分别送两批货物去A、B两地，运到A地去的利润与

车辆数目满足关系100x，x为车辆数，车辆抛锚率为30%，运到B地的利润与车辆数y

关系为80y，车辆抛锚率为20%,总共往返3轮。

请设计使总利润最高的动态规划模型（不

求解）。

6.参考答案：

阶段k：

共往数k=1,2,3,4，k=1表示第一趟初，k=4表示第三趟末（即第六年初）；状态变量sk：

第k趟初完好的车辆数（k=1,2,3,4），也是第k—1趟末完好的车辆数，其中s4表示第三趟末的完好车辆数。

决策变量xk：

第k年初投入高负荷运行的机器数;状态转移方程：

sk+1=0.7xk+0.8（sk—xk）

决策允许集合：

Dk（sk）={xk|0£xk£sk}

阶段指标：

vk（sk,xk）=100xk+80（sk—xk）终端条件：

f4（s4）=0

AU*）=斗鵰寸何（％如+屁&10}

递推方程:

=雷£{wo叫*呵％—丑”兀J&7耳+0.8（Jt-

7.用逆推法求解第37题中的动态规划。

7.参考答案：

fk（xk）表示第k趟初分配xk辆车到A地，到第3趟末的最大总运价为

{100码*80（旳一肴）+人E）}

20xj+80i：

]=1005.£二也最亡

/2（ffs）=max{lOOx；+80（j:

-^+^00}

{10xj.4-

u—C-亠二

因为s1=100,最大总运价f1（s1）=21900元

8.有一辆货车载重量为10吨，用来装载货物A、B时成本分别为5元/吨和4元/吨。

现在已知每吨货物的运价与该货物的重量有如下线性关系：

A：

P1=15-x1，B：

P2=P2=182x2

其中x1、x2分别为货物A、B的重量。

如果要求货物满载，A和B各装载多少，才

能使总利润最大？

建立该问题的模型并用动态规划方法求解。

8.参考答案：

由题意可得各种货物利润函数为

珀（珂）=（诂-兔-昭二10旳一彳gj（xa）=（18-2^3—4）x2=14^-2^

maxz=（10珂-jcJ）*Q4巧—

]\十巧=10

原问题的数学模型为：

1禺’帀2。

可用动态规划求得最优解为：

x1=6,x2=4;最优目标函数值z=48。

9.学校举行游泳、自行车、长跑和登山四项接力赛，已知五名运动员完成各项目的成绩（分

钟）如下表所示•如何从中选拔一个接力队，使预期的比赛成绩最好.

成绩农（分钟）

併泳

白行车

长跑

登山

相

乙

2€

|A]

药

-14

[32

：

戊

2«

9.参考答案：

设xij为第i人参加第j项目的状态，则数学模型为

minZ=20jq1+43xu4-33o^+29j^4+^-28jc

+-X^4=1

%+七：

+七J士七i=*

引+中十鞠+如=1

斗4+-^G+兀于十花4~■

码】十心十屯3卡1^4二1

电+电+屯严召严离]=]冷十七+旳】十斗2*=1电+花j+也g+斗孑+^53=1j44+^+j^4+xw+^=1乍=o砌/=“…茂/=L2:

3a4

接力队蝕优组含

乙

长跑

丙

游泳

丁

登山J

戊

白行车

甲淘汰。

预期时间为107分钟。

10.求解下列最小值的指派问题，要求某人要作两项工作，其余3人每人做一项工作。

~26

271

丄°一

10.参考答案：

虚拟一个人，其效率取4人中最好的，构造效率表为

1^2

甲

2638

乙

2533

丙

T'221

戊（201

数学模型为:

边［i.」1的长度记为“，设

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