模拟退火算法的旅行商问题.docx

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模拟退火算法的旅行商问题

人工智能原理

实验报告

模拟退火算法解决TSP问题

1旅行商问题和模拟退火算法

1.1旅行商问题

1.1.1旅行商问题的描述

旅行商问题（TravelingSalesmanProblem，简称TSP）又名货郎担问题，是威廉·哈密尔顿爵士和英国数学家克克曼（T.P.Kirkman）于19世纪初提出的一个数学问题，也是著名的组合优化问题。

问题是这样描述的：

一名商人要到若干城市去推销商品，已知城市个数和各城市间的路程（或旅费），要求找到一条从城市1出发，经过所有城市且每个城市只能访问一次，最后回到城市1的路线，使总的路程（或旅费）最小。

TSP刚提出时，不少人认为这个问题很简单。

后来人们才逐步意识到这个问题只是表述简单，易于为人们所理解，而其计算复杂性却是问题的输入规模的指数函数，属于相当难解的问题。

这个问题数学描述为：

假设有n个城市，并分别编号，给定一个完全无向图G=（V，E），V={1，2，…，n}，n>1。

其每一边（i,j）

E有一非负整数耗费Ci,j（即上的权记为Ci,j，i，j

V）。

并设

G的一条巡回路线是经过V中的每个顶点恰好一次的回路。

一条巡回路线的耗费是这条路线上所有边的权值之和。

TSP问题就是要找出G的最小耗费回路。

1.2模拟退火算法

模拟退火算法由KirkPatrick于1982提出[7]，他将退火思想引入到组合优化领域,提出一种求解大规模组合优化问题的方法，对于NP-完全组合优化问题尤其有效。

模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其缓慢降温（即退火），使之达到能量最低点。

反之，如果急速降温（即淬火）则不能达到最低点。

加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而缓慢降温时粒子渐趋有序，在每个温度上都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。

根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为exp（-E/（kT）），其中E为温度T时的内能

，

E为其改变量，k为Boltzmann常数。

用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：

由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复产生“新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。

退火过程由冷却进度表（CoolingSchedule）控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子a、每个t值时的迭代次数L和停止条件C。

1.2.1基本思想

模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解3部分。

其基本思想是：

（1）初始化：

初始温度T（充分大），初始解状态s（是算法迭代的起点），每个T值的迭代次数L；

（2）对k=1，……，L做第（3）至第6步；

（3）产生新解s′；

（4）计算增量cost=cost（s′）-cost（s），其中cost（s）为评价函数；

（5）若t′

0则接受s′作为新的当前解，否则以概率exp（-t′/T）接受s′作为新的当前解；

（6）如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。

终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法；

（7）T逐渐减少，且T趋于0，然后转第2步运算。

具体如下

（1）新解的产生和接受

模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下4个步骤：

①由一个函数从当前解产生一个位于解空间的新解。

为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等。

产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

②计算与新解所对应的目标函数差。

因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。

事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

③判断新解是否被接受。

判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则：

若t′

0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp（-t′/T）接受S′作为新的当前解S。

④当新解被确定接受时，用新解代替当前解。

这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。

此时，当前解实现了一次迭代，可在此基础上开始下一轮试验。

而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S（是算法迭代的起点）无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。

（2）参数控制问题

模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下3点[7]：

①温度T的初始值设置。

温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一。

初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。

实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。

②温度衰减函数的选取。

衰减函数用于控制温度的退火速度，一个常用的函数为：

式中是一个非常接近于1的常数，t为降温的次数。

③马尔可夫链长度L的选取。

通常的原则是：

在衰减参数T的衰减函数已选定的前提下，L的选取应遵循在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡的原则。

2TSP模拟退火算法的实现

TSP是典型的组合优化问题，模拟退火算法是一种随机性解决组合优化方法。

将TSP与模拟退火算法相结合，以实现对其求解。

2.1TSP算法实现

2.1.1TSP算法描述

（1）TSP问题的解空间和初始解

TSP的解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是所有城市排列的集合。

TSP问题的解空间S可表示为{1,2,…,n}的所有排列的集合，即S={（c1,c2,…,cn）|（（c1,c2,…,cn）为{1,2,…,n}的排列）}，其中每一个排列Si表示遍访n个城市的一个路径，ci=j表示在第i次访问城市j。

模拟退火算法的最优解与初始状态无关，故初始解为随机函数生成一个{1,2,…,n}的随机排列作为S0。

（2）目标函数

TSP问题的目标函数即为访问所有城市的路径总长度，也可称为代价函数：

现在TSP问题的求解就是通过模拟退火算法求出目标函数C（c1,c2,…,cn）的最小值，相应地，s*=（c*1,c*2,…,c*n）即为TSP问题的最优解。

（3）新解产生

新解的产生对问题的求解非常重要。

新解可通过分别或者交替用以下2种方法产生：

①二变换法：

任选序号u,v（设u

v

n），交换u和v之间的访问顺序，若交换前的解为si=（c1,c2,…,cu,…,cv,…,cn）,交换后的路径为新路径，即：

si′=（c1,…,cu-1,cv,cv-1,…,cu+1,cu,cv+1,…,cn）

②三变换法：

任选序号u,v和ω（u≤v

ω），将u和v之间的路径插到ω之后访问，若交换前的解为si=（c1,c2,…,cu,…,cv,…,cω,…,cn），交换后的路径为的新路径为：

si′=（c1,…,cu-1,cv+1,…,cω,cu,…,cv,cω+1,…,cn）

（4）目标函数差

计算变换前的解和变换后目标函数的差值：

Δc′=c（si′）-c（si）

（5）Metropolis接受准则

根据目标函数的差值和概率exp（-ΔC′/T）接受si′作为新的当前解si，接受准则：

2.1.2TSP算法流程

根据以上对TSP的算法描述，可以写出用模拟退火算法解TSP问题的流程图2-1所示：

图2-1TSP的模拟退火流程

2.2TSP的C实现

2.2.1加载数据文件

下面是加载数据文件的一个例子：

中国31省会城市数据：

[13042312;36391315;41772244;37121399;34881535;33261556;

32381229;41961044;4312790;4386570;30071970;25621756;

27881491;23811676;1332695;37151678;39182179;40612370;

37802212;36762578;40292838;42632931;34291908;35072376

33942643;34393201;29353240;31403550;25452357;27782826;23702975];

当调用数据文件函数时，包含城市坐标信息的矩阵载入到数组中。

2.2.2计算总距离的函数

这是一个城市间计算距离的函数，根据给定路径计算该路径对应总路程。

inlinedoubledist（intx1,inty1,intx2,inty2）

{

returnsqrt（double（（x2-x1）*（x2-x1）+（y2-y1）*（y2-y1）））;

}

inlinedoubletotaldist（pathp）

{

inti;

doublecost=0;

for（i=1;i

{

cost+=D[p.City[i]][p.City[i+1]];

}

cost+=D[p.City[1]][p.City[N]];

returncost;

}

TSP问题的成本函数是城市之间的距离。

调用此函数将计算n个城市之间的距离。

2.2.3交换城市的函数

这是一个用于城市交换的函数，它从某路径的邻域中随机的选择一个新的路径。

pathgetnext（pathp）{

intx,y;

pathret;

ret=p;

do{

x=rand（）%N+1;

y=rand（）%N+1;

}while（x==y）;

swap（ret.City[x],ret.City[y]）;

ret.Length=totaldist（ret）;

returnret;

}

2.2.4执行模拟退火的函数

voidsa（）//退ª?

火e和¨ª降¦Ì温?

过y程¨¬

{

doubleT;

pathnewpath,curpath;

inti,A_t=0;

doubledelta;

T=INIT_T;

curpath=F_Path;

while（true）

{

for（i=1;i<=IN_K;i++）

{

newpath=getnext（curpath）;

delta=newpath.Length-curpath.Length;

if（delta<0.0）

{

curpath=newpath;

A_t=0;

}

else

{

doublernd=rand（）%10000/10000.0;

doublep=exp（-delta/T）;

if（p>rnd）

curpath=newpath;

}

}

if（curpath.Length

F_Path=curpath;

if（T

T=T*RATE;}

}

输入参数：

INIT_K则是开始模拟退火过程的起始温度。

RATE是模拟退火过程的冷却速率，冷却速率应该始终低于1。

FINAL_T是模拟退火的停止条件。

2.3实验结果

2.4小结

模拟退火算法是依据Metropolis准则接受新解，该准则除了接受优化解外，还在一定的限定范围内接受劣解，此举避免陷入局部极小值、提高解空间的搜索能力和扩大搜索范围方面具有明显的优越性；其次，初始温度T，内循环次数K，以及温度衰减率△t的选取对结果影响很大，适当的选取很重要。

3源代码

#include"stdafx.h"

#include

#include

#include

usingnamespacestd;

constintMAXN=200;//最大城市数

constdoubleINIT_T=100000;//初始温度¨

constdoubleRATE=0.05;//温度下降率

constdoubleFINAL_T=1E-10;//终止温度

constintIN_K=10000;//内层循环数

structpath{//定义路径结构类型

intCity[MAXN];//依次遍历的城市的序号

doubleLength;//所有城市的总长度

};

intN;//城市数量

doubleD[MAXN][MAXN];//任意两个城市之间的距离

pathF_Path;//最优的遍历路径

inlinedoubledist（intx1,inty1,intx2,inty2）//计算两点之间的距离

{

returnsqrt（double（（x2-x1）*（x2-x1）+（y2-y1）*（y2-y1）））;

}

inlinedoubletotaldist（pathp）//计算遍历路径总长度

{

inti;

doublecost=0;

for（i=1;i

{

cost+=D[p.City[i]][p.City[i+1]];

}

cost+=D[p.City[1]][p.City[N]];

returncost;

}

voidinit（）//读数据，并初始化

{

intC[MAXN][2];//城市的坐标

inti,j;

freopen（"城市坐标.txt","r",stdin）;

scanf（"%d",&N）;

for（i=1;i<=N;i++）

scanf（"%d%d",&C[i][0],&C[i][1]）;

for（i=1;i

for（j=i+1;j<=N;j++）

{

D[i][j]=D[j][i]=dist（C[i][0],C[i][1],C[j][0],C[j][1]）;

}

for（i=1;i<=N;i++）//最优解的初始状态

F_Path.City[i]=i;

F_Path.Length=totaldist（F_Path）;

srand（（unsigned）time（NULL））;

}

pathgetnext（pathp）//新解产生函数

{

intx,y;

pathret;

ret=p;

do{

x=rand（）%N+1;

y=rand（）%N+1;

}while（x==y）;

swap（ret.City[x],ret.City[y]）;//交换两城市之间位置顺序

ret.Length=totaldist（ret）;

returnret;

}

voidsa（）//退火和降温过程

{

doubleT;//温度

pathnewpath,curpath;//当前路径和新路径

inti,A_t=0;

doubledelta;

T=INIT_T;//赋值初始温度

curpath=F_Path;

while（true）

{

for（i=1;i<=IN_K;i++）

{

newpath=getnext（curpath）;//获取新路径

delta=newpath.Length-curpath.Length;

if（delta<0.0）

{

curpath=newpath;

A_t=0;

}

else

{

doublernd=rand（）%10000/10000.0;

doublep=exp（-delta/T）;

if（p>rnd）

curpath=newpath;

}}

if（curpath.Length

F_Path=curpath;

if（T

T=T*RATE;//降温

}

}

intmain（）

{

clock_tbegin,end;

doublecost;

begin=clock（）;

init（）;

printf（"初始路径长度:

%.4f\n",F_Path.Length）;

for（inti=0;i

{

printf（"%d->",F_Path.City[++i]）;

}

printf（"%d",F_Path.City[1]）;

printf（"\n"）;

sa（）;

printf（"最优路径长度:

%.4f\n",F_Path.Length）;

for（intj=0;j

{

printf（"%d->",F_Path.City[++j]）;

}

printf（"%d",F_Path.City[1]）;

printf（"\n"）;

end=clock（）;

cost=（double）（end-begin）/CLOCKS_PER_SEC;

printf（"%lfseconds\n",cost）;

//printf（"Elapsedtime:

%usecs.\n",clock（）/CLOCKS_PER_SEC）;

return0;

}