8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题
当a,b,c具有什么关系时，二次函数fxaxbxc的函数值恒大于零？
恒小于零？
2
变式1：
已知函数f（x）=lg（ax2+2x+1）．
（I）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；（II）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．
变式2：
已知函数f（x）x2ax3a，若x2,2时，有f（x）2恒成立，求a的取值范围．
变式3：
若f（x）=x2+bx+c，不论、为何实数，恒有f（sin）≥0，f（2+cos）≤0．（I）求证：
b+c=－1；（II）求证：
c≥3；
（III）若函数f（sin）的最大值为8，求b、c的值．9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系
右图是二次函数fxaxbxc的图像，它与x轴交于点x1,0和x2,0，试确定
2
a,b,c以及x1x2，x1x2的符号．
变式1：
二次函数yaxb与一次函数yaxb（ab）在同一个直角坐标系的图像为
2
y
y
O
y
y
x
x
OA．
x
OB．
2
x
C．
2
D．
2
变式2：
直线ymx3与抛物线C1:
yx5mx4m,C2:
yx（2m1）xm3,
C3:
yx23mx2m3中至少有一条相交，则m的取值范围是．
4
变式3：
对于函数f（x），若存在x0R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=ax2+bx+1（a>0）有两个相异的不动点x1、x2．
1（I）若x1<1；2
（II）若|x1|<2且|x1－x2|=2，求b的取值范围．
二次函数答案
1．（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法
b2a2
a324acb变式1：
解：
由题意可知1，解得b12，故选D．
c114ac11
变式2：
解：
由题意可知b20c1，解得b=0，∴1，解得c=2．22
2变式3：
解：
由题意可设所求二次函数的解析式为fx3x1k，
展开得fx3x6x3k，2
∴x1x22,x1x23k，3
222∴x1x2x1x22x1x223k262644，即，解得k．9339
24所以，该二次函数的图像是由fx3x1的图像向上平移单位得到的，它的解析3
式是fx3x12452，即fx3x6x．33
2．（北师大版第52页例2）图像特征
2x1x2bx1x24acb变式1：
解：
根据题意可知，∴f，故选D．22a4a2
变式2：
解：
∵f1xf1x，∴抛物线fxxpxq的对称轴是x1，2
∴p1即p2，2
2∴fxx2xq，∴f0q、f13q、f11q，
5
故有f1f0f1，选C．
变式3：
解：
观察函数图像可得：
①a>0（开口方向）；②c=1（和y轴的交点）；
③4a2b10（和x轴的交点）；④ab10（f10）；
⑤b24a0（判别式）；⑥1yb2（对称轴）．2a
Ox3．（人教A版第43页B组第1题）单调性
变式1：
解：
函数fxx4ax2图像是开口向上的抛物线，2
其对称轴是x2a，
由已知函数在区间,6内单调递减可知区间,6应在直线x2a的左侧，∴2a6，解得a3，故选D．
12变式2：
解：
函数fxxa1x5在区间（,1）上为增函数，由于其图像（抛物线）开2
口向上，所以其对称轴x解得a2，
∴a111a11，或与直线x重合或位于直线x的左侧，即应有22222f24a1257，即f27．
2变式3：
解：
函数fxxkx的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是
xk，2
∵已知函数在[2,4]上是单调函数，∴区间[2,4]应在直线x
即有k的左侧或右侧，2kk2或4，解得k4或k8．22
y
24．（人教A版第43页B组第1题）最值变式1：
解：
作出函数fxx2x3的图像，
∴m的取值范围是1m2，故选C．O开口向上，对称轴上x=1，顶点是（1，2），和y轴的交点是（0，3），x
6
变式2：
解：
函数有意义，应有x240，解得2x2，
∴0x244
02
06，
∴M=6，m=0，故M+m=6．
a变式3：
解：
函数fx的表达式可化为fx4x22a．2
①当02a2，即0a4时，fx有最小值22a，依题意应有22a3，解得2
1a，这个值与0a4相矛盾．2
a22②当0，即a0时，f0a2a2是最小值，依题意应有a2a2
3，解得2
a1，又∵a
0，∴a1③当a2，即a4时，f2168aa22a2是最小值，2
2依题意应有168aa2a2
3，解得a5a
4，∴a5为所
求．
综上所述，a1
a5
5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性
222变式1：
解：
函数fxm1xm1x1是偶函数m10m1，
当m1时，fx1是常数；当m1时，fx2x1，在区间,0上fx是2
增函数，故选D．
变式2：
解：
根据题意可知应有a12a0且b0，即a
标是,0．
2变式3：
解：
（I）当a0时，函数f（x）（x）|x|1f（x），此时，f（x）为偶函1且b0，∴点a,b的坐313
数；
22当a0时，f（a）a1，f（a）a2|a|1，
f（a）f（a），f（a）f（a），此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
22（II）（i）当xa时，f（x）xxa1（x）a1
23，4
7
若a1，则函数f（x）在（,a]上单调递减，从而函数f（x）在（,a]上的最小值2
为f（a）a21．1131，则函数f（x）在（,a]上的最小值为f（）a，且f（）f（a）．2242
1232（ii）当xa时，函数f（x）xxa1（x）a，24
1131若a，则函数f（x）在（,a]上的最小值为f（）a，且f（）f（a），2242
1若a，则函数f（x）在[a,）上单调递增，从而函数f（x）在[a,）上的最小值2若a
为f（a）a21．综上，当a13时，函数f（x）的最小值为a；24
112当a时，函数f（x）的最小值为a1；22
13当a时，函数f（x）的最小值为a．24
6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换
变式1：
解：
函数可转化为二次函数，作出函数图像，
由图像可得单调区间．
2当x0时，yx2x3x14，
2当x0时，yx2x3x14．22y
作出函数图像，由图像可得单调区间．
Ox
在,1和0,1上，函数是增函数；在1,0和1,上，函数是减函数．
变式2：
解：
若a1,b1,则f（x）|x2x1|x2x1，显然不是偶函数，所以①是不正确的；
若a1,b4,则f（x）|x2x4|，满足f（0）f
（2），但f（x）的图像不关于直线x=1对称，所以②是不正确的；
222若ab0，则f（x）|x2axb|x2axb，图像是开口向上的抛物线，其对称2228
轴是xa，∴f（x）在区间[a，＋∞）上是增函数，即③是正确的；
显然函数f（x）|x2axb|xR没有最大值，所以④是不正确的．
2
2xbxc,x0
变式3：
解：
f（x）x|x|bxc2，
xbxc,x0
（1）当c=0时，f（x）xxbx，满足f（x）fx，是奇函数，所以①是正确的；
x2c,x0
（2）当b=0，c>0时，f（x）xxc2，
xc,x0
x2c0x2c0
方程f（x）0即或，
x0x0
x2c0x2c0
显然方程无解；方程的唯一解是x，所以②是正确的；
x0
x0
（3）设x0,y0是函数f（x）x|x|bxc图像上的任一点，应有y0x0|x0|bx0c，而该点关于（0，c）对称的点是x0,2cy0，代入检验2cy0x0|x0|bx0c即
y0x0|x0|bx0c，也即y0x0|x0|bx0c，所以x0,2cy0也是函数
f（x）x|x|bxc图像上的点，所以③是正确的；
（4）若b1,c0，则f（x）x|x|x，显然方程x|x|x0有三个根，所以④是不正确的．
7．（北师大版第54页A组第6题）值域
变式1：
解：
作出函数f（x）2x6x2x2的图象，容易发现在2,上是增
2
2
3
函数，在,2上是减函数，求出f
（2）20，f
（2）4，f（）
32
329
，注意到函数定义不包2
含x2，所以函数值域是20,．
2
9
变式2：
解：
∵y=cos2x+sinx=－2sin2x+sinx+1，令t=sinx[－1,1]，
则y=－2t2+t+1，其中t[－1,1]，
99
∴y[－2,]，即原函数的值域是[－2,]．
88变式3：
解：
（I）∵
f（1+x）=f（1－x），
b
∴－=1，
2a
又方程f（x）=x有等根ax2+（b－1）x=0有等根，1
∴△=（b－1）2=0b=1a=，
21
∴f（x）=－x2+x．
2
（II）∵f（x）为开口向下的抛物线，对称轴为x=1，1当m≥1时，f（x）在[m,n]上是减函数，1
∴3m=f（x）min=f（n）=－n2+n（*），
2
1
3n=f（x）max=f（m）=m2+m，
2
1
两式相减得：
3（m－n）=－（n2－m2）+（n－m），
2∵1≤mm+n=8，代入（*）化简得：
n2－8n+48=0无实数解．2当n≤1时，f（x）在[m,n]上是增函数，1
∴3m=f（x）min=f（m）=－m2+m，
2
1
3n=f（x）max=f（n）=－n2+n，
2∴m=－4，n=0．
3当m≤1≤n时，对称轴x=1[m,n]，
11
∴3n=f（x）max=f
（1）=n=与n≥1矛盾．
26
综合上述知，存在m=－4、n=0满足条件．
8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题
变式1：
解：
（I）函数f（x）的定义域为R，即不等式ax2+2x+1>0的解集为R，
a>0
∴应有a>1，
△=4－4a<0
∴实数a的取值范围是（1,+）．
（II）函数f（x）的值域为R，即ax2+2x+1能够取（0,+）的所有值．
1当a=0时，ax2+2x+1=2x+1满足要求；
a>0
2当a≠0时，应有0 △=4－4a≥0
∴实数a的取值范围是[0,1]．
变式2：
解法一：
（转化为最值）
f（x）2在2,2上恒成立，即f（x）x2ax1a0在2,2上恒成立．
⑴a41a0，
2a2；
2
a24（1a）0
f
（2）0
⑵f
（2）0，5a2．
a2或
a222
综上所述5a222．解法二：
（运用根的分布）⑴当
a5
2，即a4时，应有g（a）f
（2）73a2，即a，a不存在；23
aa2a
a32，⑵当22，即4a4时，应有g（a）f（
224
即－222a222，4a222；⑶当
a
2，即a4时，应有g（a）f
（2）7a2，即a5，5a42
综上所述5a222．
变式3：
证明：
（I）依题意，f（sin）=f
（1）≥0，f（2+cos）=f
（1）≤0，
2
∴f
（1）=01+b+c=0b+c=－1，（II）由（I）得：
f（x）=x2－（c+1）x+c（*）
∵f（2+cos）≤0（2+cos）2－（c+1）（2+cos）+c≤0
（1+cos）[c－（2+cos）]≥0，对任意成立．
∵1+cos≥0c≥2+cos，∴c≥（2+cos）max=3．
（III）由（*）得：
f（sin）=sin2－（c+1）sin+c，
设t=sin，则g（t）=f（sin）=t2－（c+1）t+c，－1≤t≤1，这是一开口向上的抛物线，对称轴为t=3+1
由（II）知：
t≥=2，
2
∴g（t）在[－1,1]上为减函数．
∴g（t）max=g（－1）=1+（c+1）+c=2c+2=8，∴c=3
∴b=－c－1=－4．
9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系
变式1：
解：
二次函数yaxb与一次函数图象yaxb交于两点（o,b）、（1,ab），由二次函
2
c+1
，2
数图象知a,b同号，而由B,C中一次函数图象知a,b异号，互相矛盾，故舍去B,C．
又由ab知，当ab0时，与D中图形相符．变式
2：
解：
原命题可变为：
求方程mx3x25mx4m，
bb
1，此时与A中图形不符，当0ab时，1，aa
mx3x2（2m1）xm23，
“三个方程均无实mx3x23mx2m3中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：
数解”，于是，
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