8.(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题
当a,b,c具有什么关系时,二次函数fxaxbxc的函数值恒大于零?
恒小于零?
2
变式1:
已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).
(I)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;(II)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.
变式2:
已知函数f(x)x2ax3a,若x2,2时,有f(x)2恒成立,求a的取值范围.
变式3:
若f(x)=x2+bx+c,不论、为何实数,恒有f(sin)≥0,f(2+cos)≤0.(I)求证:
b+c=-1;(II)求证:
c≥3;
(III)若函数f(sin)的最大值为8,求b、c的值.9.(北师大版第54页B组第1题)根与系数关系
右图是二次函数fxaxbxc的图像,它与x轴交于点x1,0和x2,0,试确定
2
a,b,c以及x1x2,x1x2的符号.
变式1:
二次函数yaxb与一次函数yaxb(ab)在同一个直角坐标系的图像为
2
y
y
O
y
y
x
x
OA.
x
OB.
2
x
C.
2
D.
2
变式2:
直线ymx3与抛物线C1:
yx5mx4m,C2:
yx(2m1)xm3,
C3:
yx23mx2m3中至少有一条相交,则m的取值范围是.
4
变式3:
对于函数f(x),若存在x0R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.如果函数f(x)=ax2+bx+1(a>0)有两个相异的不动点x1、x2.
1(I)若x1<1;2
(II)若|x1|<2且|x1-x2|=2,求b的取值范围.
二次函数答案
1.(人教A版第27页A组第6题)解析式、待定系数法
b2a2
a324acb变式1:
解:
由题意可知1,解得b12,故选D.
c114ac11
变式2:
解:
由题意可知b20c1,解得b=0,∴1,解得c=2.22
2变式3:
解:
由题意可设所求二次函数的解析式为fx3x1k,
展开得fx3x6x3k,2
∴x1x22,x1x23k,3
222∴x1x2x1x22x1x223k262644,即,解得k.9339
24所以,该二次函数的图像是由fx3x1的图像向上平移单位得到的,它的解析3
式是fx3x12452,即fx3x6x.33
2.(北师大版第52页例2)图像特征
2x1x2bx1x24acb变式1:
解:
根据题意可知,∴f,故选D.22a4a2
变式2:
解:
∵f1xf1x,∴抛物线fxxpxq的对称轴是x1,2
∴p1即p2,2
2∴fxx2xq,∴f0q、f13q、f11q,
5
故有f1f0f1,选C.
变式3:
解:
观察函数图像可得:
①a>0(开口方向);②c=1(和y轴的交点);
③4a2b10(和x轴的交点);④ab10(f10);
⑤b24a0(判别式);⑥1yb2(对称轴).2a
Ox3.(人教A版第43页B组第1题)单调性
变式1:
解:
函数fxx4ax2图像是开口向上的抛物线,2
其对称轴是x2a,
由已知函数在区间,6内单调递减可知区间,6应在直线x2a的左侧,∴2a6,解得a3,故选D.
12变式2:
解:
函数fxxa1x5在区间(,1)上为增函数,由于其图像(抛物线)开2
口向上,所以其对称轴x解得a2,
∴a111a11,或与直线x重合或位于直线x的左侧,即应有22222f24a1257,即f27.
2变式3:
解:
函数fxxkx的图像是开口向下的抛物线,经过坐标原点,对称轴是
xk,2
∵已知函数在[2,4]上是单调函数,∴区间[2,4]应在直线x
即有k的左侧或右侧,2kk2或4,解得k4或k8.22
y
24.(人教A版第43页B组第1题)最值变式1:
解:
作出函数fxx2x3的图像,
∴m的取值范围是1m2,故选C.O开口向上,对称轴上x=1,顶点是(1,2),和y轴的交点是(0,3),x
6
变式2:
解:
函数有意义,应有x240,解得2x2,
∴0x244
02
06,
∴M=6,m=0,故M+m=6.
a变式3:
解:
函数fx的表达式可化为fx4x22a.2
①当02a2,即0a4时,fx有最小值22a,依题意应有22a3,解得2
1a,这个值与0a4相矛盾.2
a22②当0,即a0时,f0a2a2是最小值,依题意应有a2a2
3,解得2
a1,又∵a
0,∴a1③当a2,即a4时,f2168aa22a2是最小值,2
2依题意应有168aa2a2
3,解得a5a
4,∴a5为所
求.
综上所述,a1
a5
5.(人教A版第43页A组第6题)奇偶性
222变式1:
解:
函数fxm1xm1x1是偶函数m10m1,
当m1时,fx1是常数;当m1时,fx2x1,在区间,0上fx是2
增函数,故选D.
变式2:
解:
根据题意可知应有a12a0且b0,即a
标是,0.
2变式3:
解:
(I)当a0时,函数f(x)(x)|x|1f(x),此时,f(x)为偶函1且b0,∴点a,b的坐313
数;
22当a0时,f(a)a1,f(a)a2|a|1,
f(a)f(a),f(a)f(a),此时f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
22(II)(i)当xa时,f(x)xxa1(x)a1
23,4
7
若a1,则函数f(x)在(,a]上单调递减,从而函数f(x)在(,a]上的最小值2
为f(a)a21.1131,则函数f(x)在(,a]上的最小值为f()a,且f()f(a).2242
1232(ii)当xa时,函数f(x)xxa1(x)a,24
1131若a,则函数f(x)在(,a]上的最小值为f()a,且f()f(a),2242
1若a,则函数f(x)在[a,)上单调递增,从而函数f(x)在[a,)上的最小值2若a
为f(a)a21.综上,当a13时,函数f(x)的最小值为a;24
112当a时,函数f(x)的最小值为a1;22
13当a时,函数f(x)的最小值为a.24
6.(北师大版第64页A组第9题)图像变换
变式1:
解:
函数可转化为二次函数,作出函数图像,
由图像可得单调区间.
2当x0时,yx2x3x14,
2当x0时,yx2x3x14.22y
作出函数图像,由图像可得单调区间.
Ox
在,1和0,1上,函数是增函数;在1,0和1,上,函数是减函数.
变式2:
解:
若a1,b1,则f(x)|x2x1|x2x1,显然不是偶函数,所以①是不正确的;
若a1,b4,则f(x)|x2x4|,满足f(0)f
(2),但f(x)的图像不关于直线x=1对称,所以②是不正确的;
222若ab0,则f(x)|x2axb|x2axb,图像是开口向上的抛物线,其对称2228
轴是xa,∴f(x)在区间[a,+∞)上是增函数,即③是正确的;
显然函数f(x)|x2axb|xR没有最大值,所以④是不正确的.
2
2xbxc,x0
变式3:
解:
f(x)x|x|bxc2,
xbxc,x0
(1)当c=0时,f(x)xxbx,满足f(x)fx,是奇函数,所以①是正确的;
x2c,x0
(2)当b=0,c>0时,f(x)xxc2,
xc,x0
x2c0x2c0
方程f(x)0即或,
x0x0
x2c0x2c0
显然方程无解;方程的唯一解是x,所以②是正确的;
x0
x0
(3)设x0,y0是函数f(x)x|x|bxc图像上的任一点,应有y0x0|x0|bx0c,而该点关于(0,c)对称的点是x0,2cy0,代入检验2cy0x0|x0|bx0c即
y0x0|x0|bx0c,也即y0x0|x0|bx0c,所以x0,2cy0也是函数
f(x)x|x|bxc图像上的点,所以③是正确的;
(4)若b1,c0,则f(x)x|x|x,显然方程x|x|x0有三个根,所以④是不正确的.
7.(北师大版第54页A组第6题)值域
变式1:
解:
作出函数f(x)2x6x2x2的图象,容易发现在2,上是增
2
2
3
函数,在,2上是减函数,求出f
(2)20,f
(2)4,f()
32
329
,注意到函数定义不包2
含x2,所以函数值域是20,.
2
9
变式2:
解:
∵y=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1,令t=sinx[-1,1],
则y=-2t2+t+1,其中t[-1,1],
99
∴y[-2,],即原函数的值域是[-2,].
88变式3:
解:
(I)∵
f(1+x)=f(1-x),
b
∴-=1,
2a
又方程f(x)=x有等根ax2+(b-1)x=0有等根,1
∴△=(b-1)2=0b=1a=,
21
∴f(x)=-x2+x.
2
(II)∵f(x)为开口向下的抛物线,对称轴为x=1,1当m≥1时,f(x)在[m,n]上是减函数,1
∴3m=f(x)min=f(n)=-n2+n(*),
2
1
3n=f(x)max=f(m)=m2+m,
2
1
两式相减得:
3(m-n)=-(n2-m2)+(n-m),
2∵1≤mm+n=8,代入(*)化简得:
n2-8n+48=0无实数解.2当n≤1时,f(x)在[m,n]上是增函数,1
∴3m=f(x)min=f(m)=-m2+m,
2
1
3n=f(x)max=f(n)=-n2+n,
2∴m=-4,n=0.
3当m≤1≤n时,对称轴x=1[m,n],
11
∴3n=f(x)max=f
(1)=n=与n≥1矛盾.
26
综合上述知,存在m=-4、n=0满足条件.
8.(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题
变式1:
解:
(I)函数f(x)的定义域为R,即不等式ax2+2x+1>0的解集为R,
a>0
∴应有a>1,
△=4-4a<0
∴实数a的取值范围是(1,+).
(II)函数f(x)的值域为R,即ax2+2x+1能够取(0,+)的所有值.
1当a=0时,ax2+2x+1=2x+1满足要求;
a>0
2当a≠0时,应有0 △=4-4a≥0
∴实数a的取值范围是[0,1].
变式2:
解法一:
(转化为最值)
f(x)2在2,2上恒成立,即f(x)x2ax1a0在2,2上恒成立.
⑴a41a0,
2a2;
2
a24(1a)0
f
(2)0
⑵f
(2)0,5a2.
a2或
a222
综上所述5a222.解法二:
(运用根的分布)⑴当
a5
2,即a4时,应有g(a)f
(2)73a2,即a,a不存在;23
aa2a
a32,⑵当22,即4a4时,应有g(a)f(
224
即-222a222,4a222;⑶当
a
2,即a4时,应有g(a)f
(2)7a2,即a5,5a42
综上所述5a222.
变式3:
证明:
(I)依题意,f(sin)=f
(1)≥0,f(2+cos)=f
(1)≤0,
2
∴f
(1)=01+b+c=0b+c=-1,(II)由(I)得:
f(x)=x2-(c+1)x+c(*)
∵f(2+cos)≤0(2+cos)2-(c+1)(2+cos)+c≤0
(1+cos)[c-(2+cos)]≥0,对任意成立.
∵1+cos≥0c≥2+cos,∴c≥(2+cos)max=3.
(III)由(*)得:
f(sin)=sin2-(c+1)sin+c,
设t=sin,则g(t)=f(sin)=t2-(c+1)t+c,-1≤t≤1,这是一开口向上的抛物线,对称轴为t=3+1
由(II)知:
t≥=2,
2
∴g(t)在[-1,1]上为减函数.
∴g(t)max=g(-1)=1+(c+1)+c=2c+2=8,∴c=3
∴b=-c-1=-4.
9.(北师大版第54页B组第1题)根与系数关系
变式1:
解:
二次函数yaxb与一次函数图象yaxb交于两点(o,b)、(1,ab),由二次函
2
c+1
,2
数图象知a,b同号,而由B,C中一次函数图象知a,b异号,互相矛盾,故舍去B,C.
又由ab知,当ab0时,与D中图形相符.变式
2:
解:
原命题可变为:
求方程mx3x25mx4m,
bb
1,此时与A中图形不符,当0ab时,1,aa
mx3x2(2m1)xm23,
“三个方程均无实mx3x23mx2m3中至少有一个方程有实数解,而此命题的反面是:
数解”,于是,