2、平移两腰：
例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。
解：
过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得
∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°
则△EGH是直角三角形
因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点
所以
3、平移对角线：
例4、已知：
梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．
解：
如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点．
∵AD∥BC∴四边形ACED是平行四边形
∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4
∵在△DBE中，BD=3，DE=4，BE=5
∴∠BDE=90°．
作DH⊥BC于H，则
．
例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=
，求证：
AC⊥BD。
解：
过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，
易得四边形BCED是平行四边形，
则DE=BC，CE=BD=
，
所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。
在等腰梯形ABCD中，AC=BD=
，
所以在△ACE中，
，
从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。
例6如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。
解：
过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E，
则四边形ACED是平行四边形，
即
。
所以
由勾股定理得
（cm）
（cm）
所以
，即梯形ABCD的面积是150cm2。
（二）、延长
即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。
解：
延长BA、CD交于点E。
在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。
所以∠E=50°，从而BC=EC=5
同理可得AD=ED=2
所以CD=EC－ED=5－2=3
例8.如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.
解：
四边形ABCD是等腰梯形.
证明：
延长AD、BC相交于点E，如图所示.
∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，
∴△DAB≌△CBA.
∴∠DAB＝∠CBA.
∴EA＝EB.
又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.
而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，
∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.
又AD不平行于BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形.
（三）、作对角线
即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：
AD=DE。
解：
连结BD，
由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；
由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。
所以∠ADB=∠BDE。
又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，
所以Rt△BAD≌Rt△BED，
得AD=DE。
（四）、作梯形的高
1、作一条高
例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：
四边形ABFE是等腰梯形。
证：
过点D作DG⊥AB于点G，
则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。
因为AB=2DC，所以AG=GB。
从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。
又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。
2、作两条高
例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，
求：
（1）腰AB的长；
（2）梯形ABCD的面积．
解：
作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形，EF=AD=3cm
∵AB=DC
∵在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=1cm
∴AB=2BE=2cm，
∴
例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：
BD>AC。
证：
作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
因为AB>CD，AE=DF。
所以由勾股定理得BE>CF。
即BF>CE。
在Rt△BDF和Rt△CAE中
由勾股定理得BD>AC
（五）、作中位线
1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。
例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：
AB＋CD=AD。
证：
取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=
（AB＋CD）①
在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE
所以
②
由①、②得AB＋CD=AD。
2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。
例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：
（1）EF//AD；
（2）
。
证：
连接DF，并延长交BC于点G，易证△AFD≌△CFG
则AD=CG，DF=GF
由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位线
从而EF//BG，且
因为AD//BG，
所以EF//AD，EF
3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
例15、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。
解：
分别延长AE与BC，并交于F点
∵∠BAD=900且AD∥BC
∴∠FBA=1800－∠BAD=900
又∵AD∥BC
∴∠DAE=∠F（两直线平行错角相等）
∠AED=∠FEC（对顶角相等）
DE=EC（E点是CD的中点）
∴△ADE≌△FCE（AAS）
∴AE=FE
在△ABF中∠FBA=900且AE=FE
∴BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴在△FEB中∠EBF=∠FEB
∠AEB=∠EBF+∠FEB=2∠CBE
例16、已知：
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中点，试问：
线段AE和BE之间有怎样的大小关系？
解：
AE=BE，理由如下：
延长AE，与BC延长线交于点F．
∵DE=CE，∠AED=∠CEF，
∠DAE=∠F
∴△ADE≌△FCE
∴AE=EF
∵AB⊥BC，∴BE=AE．
例17、已知：
梯形ABCD中，AD//BC，E为DC中点，EF⊥AB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积．
解：
如图，过E点作MN∥AB，分别交AD的延长线于M点，交BC于N点．
∵DE=EC，AD∥BC
∴△DEM≌△E
四边形ABNM是平行四边形
∵EF⊥AB，
∴S梯形ABCD=S□ABNM=AB×EF=15cm2．
【模拟试题】（答题时间：
40分钟）
1.若
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