高考数学第一轮复习资料1docx.docx

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高考数学一轮复习资料（共十讲，69页）

19、题印高中数学复习专题讲座,一不等式知识的综合应用高考要求*

不等式是继函数与方程之后的乂一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类匸一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考牛能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方血的问题.

重难点归纳；

L应用不等式知识可以解决函数、方程等方血的问题，在解决这些问题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要注意等价性.

2.对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其木质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题.典型题例示范讲解;：

例1用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的止以棱锥形

有盖容器（如右图）设容器高为力米，盖子边长为a米，

（1）求a关于/?

的解析式；

（2）设容器的容积为V立方米，则当力为何值吋，V最大？

求出V的最大值（求解本题时，不计容器厚度）

命题意图*本题主要考查建立函数关系式，棱锥表血积和体积的计算及用均值定论求函数的最值.

知识依托$本题求得体积V的关系式后，应用均值定理可求得最值,错解分析$在求得a的函数关系式时易漏力>0・

技巧与方法<木题在求最值时应川均值定理・

»①设I是正四棱锥的斜高，山题设可得;

°1

带+4—2

a12^-a2=h[2

消去痢得“芹心）

得V=—而〃+丄=2』/?

.丄=2

3（〃+丄）hYhh

所以UW丄,当且仅当屁丄即屁1时取等号

故当辰1米时，V有最大值，V的最大值为丄立方米・

例2己知a,b,c是实数，函数f（x）=ax2+bx+cfg（x）=ax+b,当一lWxW1时!

/（x）IW1・

⑴证明；IclWl；

（2）证明匸当_1WxWl时，lg（x）IW2；

（3）设a>0,有一10W1时，g⑴的最大值为2,求胁

命题意图$本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质,以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力・

知识依托］二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂・

错解分析；木题综合性较强，其解答的关键是对函数./U）的单调性的深刻理解,以及对条件“-lWxWl时问IWI”的运用;绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题廿陷于僵局・

技巧与方法<本题

（2）问有三种证法，证法一利用g（x）的单调性；证法二利用绝对值不等式$llal—⑹IWIa土bIWIal+l汕而证法三则是整体处理g（x）与几丫）的关系・

（1）证明匸由条件当1时,［/WIW1,

取*0得Icl=|/（O）IW1,即IcIWl.

（2）证法一5依题设枫O）IW1而/（0）=c,

所以lclWl・当。

>0时，g（x）=ax+b在［—1,I］上是增函数，

于是g（—l）Wg（x）Wg（l）,（―lWxWl、

・・・|/U）IW1,（—lWxWl）,IcIWl,

・・・g（l）=a+b=f

（1）一cW以l）l+lcl=2,

g（—\）=—a+h=—f（—l）+c2—（］/（—2）l+lcl）N—2,

因此得lg（x）IW2（—lWxWl）；

当q<0时，g（x）=ax+b在［—1,1］上是减函数，

于是g（—l）MgCr）2g（l）,（—lWxWl）,

•••J/WIWl（—IWxWI）,IcIWl

・・・lg（Q=!

/U）—clW|/（l）l+lclW2・

综合以上结果，当一lWxWl吋，都有lg⑴IW2，

证法二・.・!

/wiwi（—

・・・飒一1）101,|/

（1）IW1,|/（O）IW1,

*.*/（x）=6ZX24-Z?

x4-c,/.\a~b+c\W1,la+b+olW1,IclW1,

因此，根据绝对值不等式性质得I

la—方1=l（a—b+c）—clWId—b+c1+lcIW2,

ld+bl=l（a+b+c）—clWld+b+cl+lclW2,

g（x）=ax+b,・：

lg（土l）l=l±d+bl=la±blW2,

函数g（x）=ax+h的图象是一条直线，

因此lg⑴I在[—1，1]上的最大值只能在区间的端点Q—1或*1处取得,于是由lg（±l）lW2得lg⑴IW2,（-1

证法三:

X=21

（2）'=（*2_（兰二1）2

422

X+17x—12sX—1、

.•・g（x）=ax+b=a[（—^）-_（—^）]+b（—）

X+l2卩/兀+l、sr/兀—1=S（亍）+风〒）+c]-[a（h

x+l\“X-1

r—I

—1W「WO,

•・・!

/U）IWl,（一KW1）,・•・『（±OIW1,

耳1）时（耳）旦

1]上是增函数，当x=l时取得最大值2,

①

Ac=/（0）=-l.

即何湫0）,

V4-1

当一lWxWl时，有0W—Awi,

因此当一IWxWI时，lg⑴（

（3）解；因为a>0,g（x）在[―1,

即g（\）=ci+b=f（\）-f（0）=2,

•・•一1W/（0）=/（l）-2W1—2=—1,

因为当一lWxWl时,—1,

）2+%¥）+（•]

根据二次函数的性质，直线x=0为/（x）的图象的对称轴，山此得一'-VO,即方=0・

山①得a=2,所以/（x）=2r2—1.

例3设二次函数f（x）=ax2+hx+c（a>O）,方程./U）—x=0的两个根占、x2

满足0<兀]VqV—«

（1）当XG[0,X|）时，证明X

（2）设函数7U）的图像关于直线ex。

对称，证明$丸<乞・

解$⑴令F⑴寸（x）—X，幽X],X2是方程Ax）-x=0的根，所以F（x）=a（x—X]）（X—x2）>当xW（0,X1）吋，由于X]0,

又«>0,得F（x）=a（x—xi）（x—x2）>0,即x

xj—/（x）=xi—[x+F（x）l=x\—x^a（x\—x）（x—%2）=（^i~x）[\+a（x—X2）l

VO0,1+d（兀一X2）=l+dX—。

兀2>1—d*2>0a

.*•x>0,由此得f（x）

（2）依题意；Xo=——,因为X]、兀2是方程f（x）—x=0的两根，即X],X22a

是方程ax2+（b~l）x+c=0的根.

・,b-1

.」i+X2=—

5=—2=心+兀2）一1=呵+唱一1,因为站<1,2ala2a

・5<竺=生

2a2

学生巩固练习「

1«定义在R上的奇函数/（x）为增函数，偶函数g（x）在区间[0,+8）的图像与./U）的图像重合，设a>b>0,给出下列不等式，其中正确不等式的序号是（）

A，①③B、②④G①④D②③

Z下列四个命题中*①a+b^2y^ah②siJx+―一24③设x,ysi”兀

都是止数，若一+—=1,则x+y的最小值是12④若Lr—21<,ly—21<

兀y

则k-yl<2E,其中所有真命题的序号是.

3>某公司租地建仓库，每月土地占川费八与车库到车站的距离成反比，而每力库存货物的运费力与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用J1和），2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站公里处.

4-已知二次函数f（x）=ax2+hx+1（«,/?

eR,。

>0）,设方程f（x）=x的两实数根为兀],%2*

（1）如果Xi<2-1:

（2）如果MIV2,k2-xil=2,求b的取值范围,

5.某种商品原來定价每件〃元，每月将卖出n件，假若定价上涨x成（这里x成即命，0

（1）设其中a是满足丄WaVI的常数，用。

来表示当售货金额最

大时的兀的值；

（2）若y=-x,求使售货金额比原來有所增加的x的取值范围，

6.设函数/U）定义在R上，对任意m、n恒有f（m+n）=f（m）*且当Q0吋，OV/（x）Vl・

（1）求证；人0）=1,且当xVO时，沧）>1；

（2）求证；/（X）在R上单调递减；

（3）设集合A={（X,y躺）•血2）>夬］）},集合B={&y）畑一計2）=1,dWR},若AHB=0f求a的取值范围.

7.已知函数心）="严（/?

<0）的值域是［1,3］,

x+1

（1）求方、C的值;

（2）判断函数F（x）=lgf（x），当用［-1,1］时的单调性，并证明你的结论；

71113

（3）若fGR,求证；lg—WF（I/-—I—1/+—l）Wlg二・

5665

参考答案亍

1，解栃由题意几z）=g（a）>0,弘）之的>0,且加）>〃），g（a）>g（b）・•・〃）一几_。

）廿^）七/@）=^@）+£（方）

而g（a）—g（—b）=g（a）—g（b）:

.g（a）+g（b）—［g（a）—g（b）］

=2g（b）>0,：

.f（b）—f（—a）>g（a）—g（—b）

同理可证Wf（a）-f（-b）>g（b）-g（-a）答案*A

2，解栃①②③不满足均值不等式的使川条件“正、定、等”，

④式Lr-yl=l（x-2）-（y-2）Kl（x-2）-（y-2）l^k-2l+ly-2l<£+£=2£.答案$④

3-解析？

由Ll^yi=—；y2=0.8心为仓库与车站距离）

2（）I20

费用Z和y=yi+y2=^弘+—^2J0.8x—=8

xVx

2（）

当且仅当0.8x=—即x=5时成立

答案*5公里处

4-证明；

（1）设g（x）寸（x）—x=ax2+（b—l）x+1,且x>0-

丁・是得兀0=-—=~•（）=—（-^1+xo）~—XiX2>—（^1+乳2）-（兀］+七）+2

2a2aa222

=--（X）+兀2）+2>--（2+4）+2=—1

⑵解*由方程g（x）=or2+（b—1）X+1=O可知X\*%2=—>0,所以X］,兀2同号

1°若0<兀］<2,则x2-xi=2,/.x2=xi+2>2,

・・・g

（2）<0,即4+2方一1<0①

又血—切2=怦1_乡=4

cra

・・・加+1二J@-l）2+1C：

a>0）代入①式得，

2J（b-1）2+1<3-2/?

②

解②得b<-

2°若一2<兀|<0,则兀2=—2+X|V—2

・・・g（—2）<0,即滋一2方+3<0③

乂加+1二J（b_l）2+1,代入③式得

2J（b-1）2+1<211④

解④得/?

>—

综上，当0—・

5-解⑴由题意知某商品定价上涨兀成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每刀售货金额分别是*“（1+命）元、71（1—计）元、"Z元，

因而npz=p（l+希）•n（l-盍）,.•・Z二需（10+兀）（10-y）,

在y=or的条件下，z=—^—[~aEx——~]2+100+~]-

100aa

由于丄Wovi,则ov5（1-^^10-

要使售货金额最大，即使z值最大，此时X二翌二

⑵由沪一（10+x）（10--x）>l,解得0

1003

（1）证明*令加>0,川=0得*・人0）・T/SOHO,：

.f（0）=\

取加二加，n=~m1（m<0）,得几0）寸（加笊―加）

—-—,・.・加<0,・•・一血>0,A0

f（-tn）

（2）证明*任取心，兀2丘&则/Ui）—/U2）^/U1）—/L（x2—X1）+X1]h（xi）~/（也一兀】）•/Ui）^i）[i-/（勺一兀1）],

・・・朋）>0,l-/（X2—Q）>0,・・・炉）>/（也），・・・函数nx）在R上为单调减函数.

⑶由卩（宀0〉/•⑴得[宀八],

f（ax-y+2）=1=/（0）[ax_y+2=0

由题意此不等式组无解，数形结合得*严1*解得/W3

a[—V3,]

7、⑴解*设尸_,则（>'—2）x2—bx+y—c=（）①

x+1

VxeR,・・・①的判别式420,即沪一4©—2）0，—。

）20,即4y2-4（2+c）.y+8c4-Z?

2^0②

由条件知，不等式②的解集是[1,3]

L3是方程4『一4（2+c、）y+8c+/?

2=0的两根

l+3=2+c«8c+b?

・・e2,/?

=—2,方=2（舍）

1x3=—

（2）任取X],乳2丘[—1,1],且X2>X],则也一X]>0,II

（兀2一兀1）（1一兀1兀2）>0,

・・.您）-炉匸-在-（亠）=2（「Jd-爭>0,

1+1+兀]（1+坷）（1+兀2）

・・/>2）>/g），1畝也）>1畝灯，即F（x2）>F（xi）・・.F（x）为增函数.

（3）记%=lr--l-lr+-ljMl

66663

即一丄WuW-,根据F（兀）的单调性知

F（—丄）WF（“）WF（丄），

71113

Alg-^F（lr--|-lr+-l）^lg一对任意实数/成立.

5665

课前后备注；

数学中的不等式关系

数学是研究空间形式和数最关系的科学，恩格斯在《自然辩证法》一书屮指出，数学是辩证的辅助工具和表现形式，数学屮蕴含着极为丰富的辩证唯物主义因素，等与不等关系止是该点的牛动体现，它们是对立统一的，又是相互联系、相互影响的；等与不等关系是屮学数学中最基本的关系・

等的关系体现了数学的对称美和统一美，不等关系则如同仙苑奇腿呈现岀了数学的奇异美’不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系,简旳不等式，不等式的基本性质，如果把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式，不等式发展为一个人丁兴旺的大家族，由简到繁，形式各异，如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不筹式、均值不筹式等・不等式是永恒的吗？

显然不是，山此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题，解不等式即寻求不等式成立吋变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式乂有不同的解法；不等式证明则是推理性问题或探索性问题.推理性即在特定条件下，阐述论证过程,揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与口然数〃有关的证明问题，常采用观察一归纳一猜想一证明的思路，以数学归纳法完成证明•另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等.

数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之I'可的联系.不等式的知识渗透在数学屮的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式乂可作为一•个工具來解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程（纽）的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三饬、数列、复数、立体儿何、解析儿何屮的最人值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系.许多问题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还可以解决现实世界中反映出來的数学问题・不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程・总Z,不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，等与不等形影不离，存在着概念上的亲缘关系，是中学数学中最广泛、最普遍的关系.数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨

性，而不等关系是深刻而生动的体现・不等虽没有等的温柔，没有等的和谐，没有等的恰到好处，没有等的天衣无缝，但它如山之挺拔，峰之隽秀,海Z宽阔，天Z高远，怎能不让人心旷神怡，魂牵梦绕呢？

20>题引高中数学复习专题讲座直线方程及其应用高考要求,

直线是故简单的几何图形,是解析几何最基础的部分，本章的基本概念;基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、垂合的判定都是解析儿何重要的基础内容.应达到熟练掌握、灵活运川的程度，线性规划是冇线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较软手的.

重难点归纳？

1.对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等・

2-对称问题是直线方程的一个重要应川，屮学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于垃线的对称.中点坐标公式和两条立线垂直的条件是解决对称问题的重要工具・

3，线性规划是直线方程的又一应用・线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平而区域.求线性目标函数z=ax+hy的最人值或最小值吋，设纱，则此直线往右（或左）平移时，f值随之增大（或减小），要会在可行域中确定最优解.

4.由于一次函数的图彖是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考杳学牛的综合能力及创新能力.典型题例示范讲解；

例1某校一年级为配合索质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利川课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出,已知镜框对桌面的倾斜角为。

（90°WaV180°）镜框中,画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距am,bm,（a>b），问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？

命题意图*木题是一个非常实际的数学问题，它不仅考査了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力，

知识依托£三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值,错解分析*解决木题有儿处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析儿何问题求解；二是把问题进一步转化成求UnACB的最大值・如果处标系选择不当，或选择求sinACB的最大值.都将使问题变得复杂

起來.

技巧与方法*欲使看画的效果最佳，应使ZACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值.

解；建立如图所示的直角坐标系，A0为镜框边，AB为画的宽度，0为下边缘上的一点，在兀轴的止半轴上找一-点C（x,0）（x>0）,欲使看画的效果最佳，应使ZACB取得最大值・

灯cnanxCA二

as\na

acosa-x

=tanxCB=

bsina

bcosa-x

于是

tanACB=

kjjC-

l+kBC-kAC

（a一b）・xsina_（a一b）・sina

血-（a+mCOSQ+d一冬+_@+b）cosq

由于ZACB为锐角,

（a-b）・sina

2^[ab-（ab）cosa

由三角函数的定义知：

A、B两点坐标分别为（acosa,asin。

）、（方coso,/jsina）,于是直线AC、BC的斜率分别为了

当且仅当竺即x=^b时，等号成立，

此时ZACB取最大值，对应的点为C（亦,0）,因此，学生距离镜框下缘临cm处时，视角最人，即看画效果最佳，

例2预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1，5倍，问桌、椅各买多少才行？

命题意图*利川线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应川，木题主要考查找岀约束条件与口标函数、准确地描画可行域,再利用图形直观求得满足题设的最优解.

知识依托；约束条件，目标函数，可行域，最优解・

错解分析*解题屮应当注意到问题屮的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整,直至满足题设・

技巧与方法*先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和,再由此在可行域内求出最优解.

解,设桌椅分别买张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件

50x+20y<2000y>x

y<1.5x

兀>0,y>0

l+l

50兀+20y=2000,解得

200

・・.A点的坐标为（学

200

7丿

[tl

5。

;+严2。

。

解得

V=L.3X

.•.B点的坐标为（25,y）

x=25

｝，=T

所以满足约束条件的可行域是以A罟

200.

\\/y«i5x

5ax+2Dy«2DQ0

3（25,y）,0（0,。

）为顶点的三角形区域（如右图）

由图形垃观可知，目标函数z二x+y在可行域内的最优解为（25,—）,

2但注意到XWN,yWN：

故取〉=37・

故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.

例3抛物线有光学性质$由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行丁抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px（p>0）.一•光源在点M（巴,4）处，山其发出的光线沿平行于抛物线的轴

y2=2px

*4丄仃=0''-

的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q,再折射后，乂沿平行于抛物线的轴的方向射出，途屮遇到直线R2x~4y-17=0上的点N,再折射后又射回点M（如下图所示）

（1）设P、Q两点坐标分别为（X],yi）、（兀2丿2），证明*yi・）々=—/，;

（2）求抛物线的方程；

（3）试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？

若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理山・

命题意图*对称问题是立线方程的又一个重要应用・本题是一•道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力・

知识依托*韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的

点斜式方程，两点式方程.

错解分析；在证明第

（1）问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时.技巧与方法*点关丁•直线对称是解决第

（2）、第（3）问的关键.

（1）证明£山抛物线的光学性质及题意知

光线PQ必过抛物线的焦点F（2,0）,

-2

设直线PQ的方程为y=k（x~£）①

由①式得%=-y+纟，将其代入抛物线方程

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